精品解析：黑龙江省哈尔滨市双城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．
2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内．
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效．
4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1. 下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，被开方数应大于或等于0．
【详解】A、是二次根式；
B、是二次根式；
C、∵，故不是二次根式；
D、是二次根式．
故选：C．
【点睛】主要考查了二次根式的概念．二次根式的概念：式子叫二次根式．
2. 下列运算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据分母有理化对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【详解】A、计算正确，不符合题意；
B、计算正确，不符合题意；
C、计算正确，不符合题意；
D、符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3. 在运动会中，有15名选手参加了400米预赛，取前8名进入决赛．已知参赛选手成绩各不同，某选手要想知道自己是否进入决赛，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 平均数和众数
【答案】B
【解析】
【分析】中位数是一组数据最中间一个数或两个数据的平均数；15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】解：由于总共有15个人，且他们的分数互不相同，第8的成绩是中位数，
所以要判断是否进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数．
故选：B．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
4. 若点在一次函数的图象上，则k的值是（ ）
A. 2B. C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，把点代入即可求出k的值．
【详解】解：把点代入，
得：，
故选：C．
5. 中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，根据三角形内角和定理即可判断A、C；如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断B、D．
【详解】解：A、∵，，
∴，，，
∴不是直角三角形，符合题意；
B、∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
C、∵，且，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴设，，，且，
∴是直角三角形，不符合题意；
故选：A．
6. 在中，点、、分别在AB、、上且，，下列四个判断中不正确的是（ ）
A. 四边形是平行四边形
B. 如果，那么四边形是矩形
C. 如果，那么四边形是菱形
D. 如果AD平分，那么四边形是菱形
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；
又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；
如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，故D正确；
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法．
7. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边、，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由翻折易得，在直角三角形中，利用勾股定理即可求得长．
【详解】解：由题意得；
设，则
，
，
，
解得；
即．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠问题和勾股定理综合运用．解题的关键是得到．
8. 如图，一次函数y=kx+bk≠0与的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，解题的关键是正确理解方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【详解】解：把代入得，解得，
所以点坐标为，
所以关于，的二元一次方程组的解是，
故选：．
9. 如图，平行四边形的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，再根据勾股定理即可求得BC的长，最后根据三角形的面积公式即可求出．
【详解】解：∵AC=2，，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=AC=1，，
∵，
∴AB2+AO2=BO2，
∴∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，，
，
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
10. A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中和分别表示甲、乙两人所走路程S（千米）与时间t（小时）之间的关系．下列说法错误的是（ ）
A. 乙晚出发1小时B. 甲的速度是4千米/小时
C. 乙出发3小时后追上甲D. 乙先到达B地
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象横、纵坐标的实际意义逐一判断，即可求解，
本题考查了，函数图像的意义，解题的关键是：正确理解题意，熟练掌握函数图像所表达的信息．
【详解】解：由图象可知：乙比甲晚出发1小时，故A正确；
由图象可知：甲的速度是千米/小时，故B正确；
由图象可知：乙出发小时后追上甲，故C错误；
乙的速度为千米/小时
∴乙到达B地对应的横坐标，甲到达B地对应的横坐标，
∵，
∴乙先到达B地，故D正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
∴．
故答案为：
12. 战士甲在射击比赛中，射击8次，命中的环数分别为：8，5，5，8，9，10，7，4，则这组数据的方差是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差公式解题即可．
【详解】解：这组数据的平均数是：，
则这组数据的方差为：
故答案为：4．
【点睛】本题考查方差，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13. 如果将直线沿x轴向左平移4个单位，那么所得直线的表达式是 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟知一次函数图象平移的规律是解题的关键．平移规律为：上加下减，左加右减，直接根据“左加右减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将直线沿x轴向左平移4个单位，那么所得直线的表达式是： ，即．
故答案为：．
14. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，交AB于点F，F为垂足，连接DE，则∠CDE＝ ____度
【答案】60°
【解析】
【分析】连接BE，根据菱形的性质得到∠BAC=40°，再根据垂直平分线的性质得到AE=BE，故∠ABE=∠BAC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，再求出∠CBE，故可得到∠CDE的度数.
【详解】如图，连接BE，
在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE=BE
∴∠ABE=∠BAC=40°
∵菱形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠BAD=100°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=60°，
由菱形的对称性可得∠CDE=∠CBE=60°
【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知垂直平分线的性质定理.
15. 已知2＜a＜3，化简：__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据，则有，然后利用二次根式的性质进行化简即可．
详解】解：∵，
∴，
∴原式=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键．
16. 若一次函数 的函数值随x的增大而增大，且函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是 _________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握当k大于零时，函数值随x的增大而增大；图像与y轴的交点不高于原点，列式计算即可．
【详解】∵一次函数 的函数值随x的增大而增大，且函数的图像不经过第二象限，
∴，
解得，
故答案为：．
17. 如图，四边形，，，，，点E为中点，则的长为________．
【答案】13
【解析】
【分析】取的中点F，连接，由三角形中位线性质，得，于是，可证得四边形是平行四边形，所以．中，勾股定理求得，所以．
【详解】解：取的中点F，连接，
∵分别是的中点，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∴．
中，，
∴，．
∴．
∴．
故答案为：13
【点睛】本题考查平行四边形判定和性质，中位线性质，勾股定理；添加辅助线构造平行四边形是解题的关键．
18. 在矩形中，E为边的中点，F为边上的一点，连接，若，，，则______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，学会运用分类讨论的思想与巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．分两种情况考虑，①当时，②当时，然后过F作于G，根据勾股定理进行求解．
【详解】解：①如图所示，当时，过F作于G，则，
在中，，
又∵E是的中点，，
∴，
∴，
∴中，；
②如图所示，当时，过F作于G，则，
在中，，
又∵E是的中点，，
∴，
∴，
∴中，中，，
故答案为：或．
19. 如图，正方形的边长是4，点E是上一个点，且，P点在上移动，则的最小值是______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知识，将的最小值转化为的长是解题的关键．连接，交于点，连接，即为所求的点，则的长即为的最小值，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，
∵四边形是正方形，
∴点B与点D关于直线对称，
连接，交于点，连接，
∴由正方形的对称性可得，
，
则的长即为的最小值，
又∵，
在中，
，
∵，
∴，
即的最小值为5，
故答案为：5．
20. 如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】由中点四边形的含义可得矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，而中点四边形的面积是原四边形的面积的一半，可得原矩形的面积为1，矩形的中点四边形（菱形）的面积为 再得到菱形的中点四边形（矩形）的面积为： 从而总结归纳出规律，可得答案．本题考查了中点四边形的性质，是一道找规律的题目．
【详解】已知第一个矩形的面积是1，
第二个矩形的面积为
第三个矩形的面积是
则第n个矩形的面积是
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，共60分）
21. 已知，，求代数式的值．
【答案】14
【解析】
【分析】根据，得，变形，代入计算即可．本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握公式法计算二次根式是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∴．
22. 如图，每个小正方形的边长都是的方格纸中，有线段和线段，点、、、的都在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出一个以线段为一边的菱形，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，并且其面积为．
（2）在方格纸中以为底边画出等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为．
（3）在（1）、（2）的条件下，连接，请直接写出线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了应用设计与作图，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确应用菱形的性质．
（1）直角利用菱形的性质结合勾股定理即可得出符合题意的图形；
（2）结合等腰三角形的性质以及三角形的面积即可求解；
（3）根据勾股定理即可的出答案．
【小问1详解】
解：如图，菱形即为所求；
【小问2详解】
如图，等腰三角形即为所求；
【小问3详解】
如图，．
23. 某校学生的上学方式分为A步行、B骑车、C乘公共交通工具、D乘私家车、E其它，该校数学兴趣小组成员在全校随机抽取了若干名学生进行抽样调查，并整理样本数据，得到如下两幅不完整的统计图：

（1）求本次抽样调查的人数，并补全条形统计图；
（2）写出这5组频数的中位数；
（3）若该校共2000名学生，请估计该校选择B骑车上学的人数；
【答案】（1）人，图见解析
（2）30人 （3）680人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体、中位数定义
（1）利用C乘公共交通工具的人数除以其所占的百分比求得样本总量，再减去其他乘车方式的人数求得D乘私家车的人数，进而补全条形统计图即可；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）利用选择B骑车上学的人数除以样本总量求得其所占百分比，再乘以2000即可求解．
【小问1详解】
解：本次抽样调查的人数（人），
∴D乘私家车的人数为（人），
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：这5组频数按从小到大排序为：9，15，30，45，51，
∵处于最中间的数为30，
则这5组频数的中位数为30人．
【小问3详解】
解：校选择B骑车上学的人数约是人，
答：该校选择B骑车上学的人数为680人．
24. 已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，过点作的垂线交于点F，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明，利用证明，得出，因此，证出四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）过点作于点，由菱形的性质得出，，，在中，求出，在中，求出，再求出，得出，中，由勾股定理即可得出的长．
小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，
∵四边形是菱形，，，，
∴，，，，
在中，，，
在中，，，
∴，
在中，，
∴的长为．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、等角对等边、全等三角形的判定和性质、角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质、勾股定理是解题的关键．
25. 红肠作为哈尔滨的特色美食，成为了哈尔滨的重要标签．某经销商准备从一红肠加工厂购进甲、乙两种红肠进行销售，加工厂的厂长为了答谢经销商，对甲种红肠的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种红肠按80元/千克的价格出售，设经销商购进甲种红肠x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种红肠共100千克，其中甲种红肠不少于40千克且不超过70千克，如何分配甲、乙两种红肠的购进量，才能使经销商付款总金额w最少？
【答案】（1）
（2）购进甲种红肠70千克，乙种红肠30千克
【解析】
【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的实际应用，（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据x的取值范围列出w关于x的一次函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：当时，
设，将代入，可得：，
解得
所以当时，，
当时，
设，将代入，得，
解得，
所以当时，，
所以y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：由题意可得：，
当时，．
，
∴w随x的增大而增大，
当时，w最小，最小值为8400.
当时，．
，
∴w随x的增大而减小，
当时，w最小，最小值为8300.
，
∴当时，付款总金额最少，最少金额为8300元，
此时购进乙种卷蹄（千克）．
答：当购进甲种红肠70千克，乙种红肠30千克时，才能使经销商付款总金额最少．
26. 如图，在中，，点是上动点，连接．

（1）若是菱形，，试求出的度数；
（2）若，求的长；
（3）过点作交线段于点．过点作于，交的高于点．若，求证：．
【答案】（1）
（2）5 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）过点作于设，则，，而，再建立方程求解，再利用勾股定理求解即可；
（3）连接，证明，可得，证明，再证明可得，，证明．可得，可得，从而可得结论．
【小问1详解】
解：在菱形中，．
【小问2详解】
过点作于

在中，，
，
设，则，
在中，，
中，，
．
解得：
．
，
，
，
，
在中，，
．
【小问3详解】
连接

．
在和中
，
又，
，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，
，
在和中，
又
在中，．

在和中
，
．
，
又，
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，菱形的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
27. 如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴、轴分别交于点，直线与轴、轴分别交于点，交直线于点．
（1）直线______定点1,4（填“经过”或“不经过”）；
（2）若点关于点对称，求此时直线的解析式；
（3）若直线将的面积分为两部分，请求出的值．
【答案】（1）经过； （2）；
（3）或．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形，中点坐标公式，三角形的面积公式，熟练掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键．
（）根据直线的解析式，即可判定；
（）首先可求得点的坐标，再根据求线段中点坐标公式，即可求解；
（）首先求得点的坐标，再分两种情况，根据三角形的面积公式，即可分别求得点的坐标，据此即可求解；
【小问1详解】
由得，，
当时，，
∴经过定点1,4，
故答案为：经过；
【小问2详解】
∵与轴交于点，
∴，点关于点对称，
∴，
将代入，即，
∴，
∴直线的解析式为；
【小问3详解】
∵与轴、轴分别交于点，
∴A5,0， ，
∴，
∵直线经过定点1,4，且1,4在直线上，
∴点的坐标为1,4，
∵直线将的面积分为两部分，且，
∴当时即，
∴，
∴，即，
∴；
当时，即，
∴
∴，即，
∴，
综上可知：的值为或．