抢分秘籍15 一次函数和反比例函数综合-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（全国通用）（原卷版+解析版）

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【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】一次函数的图象和性质
【题型二】反比例函数的图象和性质
【题型三】一次函数和反比例函数与不等式综合问题
【题型四】一次函数和反比例函数中求三角形面积问题
【题型五】一次函数和反比例函数中由面积求点的坐标问题
【题型六】一次函数和反比例函数中求线段长问题
【题型七】一次函数和反比例函数中求线段和最小值问题
【题型八】利用反比例函数的图象和性质探究平移问题
【题型九】反比例函数与三角形的综合问题
【题型十】反比例函数与四边形的综合问题
：一次函数和反比例函数的综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，一次函数占比更高，常考图像性质、解析式求解、实际应用；反比例函数侧重图像与k的几何意义、与一次函数综合，选择填空及解答题均常见，前者出现频率略高于后者。
2．从题型角度看，一次函数多为求解析式、图像平移、行程/费用类应用题；反比例函数以求k值、面积计算、交点问题为主，常与一次函数结合命题，解答题中多为中等难度题型。
：在中考数学备考中，牢记解析式形式与图像特征，针对一次函数强化实际问题建模训练，针对反比例函数掌握k的几何意义与面积转化；多练综合题，注重数形结合，规范解题步骤，总结易错题避免计算失误。
【题型一】一次函数的图象和性质
【例1】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数向上平移2个单位，与的图象交于点．
(1)求的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)且．
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式、一次函数图象平移问题
【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的平移，两直线的交点问题，确定不等式的取值范围，掌握一次函数的图象和性质是解题关键．
（1）根据一次函数的平移得到新函数，再求出两直线的交点坐标，得到的值，再代入函数解析数求出的值即可；
（2）根据题意得：当时，且，然后对每个不等式分两种情况分析求解，最后确定取值范围即可．
【详解】（1）解：将函数向上平移2个单位，得到新函数，
当时，，
即函数与函数的图象交于点，
将点代入函数，
则，
解得：；
（2）解：由（1）得：，
根据题意得：当时，且，
，
当时，，最大值在时，得，
当时，，恒成立，得，
综合得：；
，
当时，，最小值在时，得，
当时，，恒成立，得，
综合得：；
综上可得：且．
【例2】（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值，直接写出m和n的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
【知识点】一次函数图象平移问题、比较一次函数值的大小
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移和函数性质，熟练掌握函数图象平移的技巧和结合图像分析函数值大小是解题的关键．
（1）根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行求解即可；
（2）从函数位置关系入手，根据的图象和的图象平行即可确定m的值，再结合与y轴交点即可确定n的范围．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到，
∴．
（2）解：∵对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值，
∴函数的图象在的图象和的图象之间，
∵的图象和的图象平行，且与y轴交点分别为和0，
∴，．
【变式1】（2024·北京·三模）在平面直角坐标xOy中，函数 的图象经过点和， 与过点且平行于x轴的直线交于点 C．
(1)求该函数的解析式及点 C的坐标；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于5，直接写出n的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】求一次函数解析式、比较一次函数值的大小
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，
（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；
（2）当时，，当时，，根据题意可得，问题随之得解．
【详解】（1）解：把点，代入得：，
解得：，
∴该函数的解析式为，
由题意知：点C的纵坐标为4，
当时，
解得：，
∴；
（2）解：由（1）知：当时，，
当时，，
∵当时，函数的值大于函数的值且小于5，
∴，
解得：．
【变式2】（2024·河北邢台·模拟预测）如图，已知直线经过点、点，点P是x轴上一个动点，过点C、P作直线．
(1)求直线的表达式；
(2)已知点，当时，求点P的坐标；
(3)设点P的横坐标为m，点，是直线上任意两个点，若时，有，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)．
【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数、一次函数与几何综合
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识．
（1）由待定系数法可求解析式；
（2）求出，设点，由面积公式可求解；
（3）结合图象可求解．
【详解】（1）解：设直线的表达式为，
∵、点在直线上，
∴
解得
∴；
（2）∵，，
∴，
过点C作轴于E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点，
∴，
∴或，
∴P的坐标为或；
（3）过点C作轴于E，
∵，
∴，
∵的图象是y随x的增大而减小，经过，
∴当点P在的左侧时，符合题意，
∴．
【变式3】（2025·河北石家庄·一模）如图，直线分别与轴及直线交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点，连接．
(1)直接写出点的坐标，并求直线的表达式；
(2)设，求的值；
(3)设直线关于轴对称的直线为，请通过计算说明点是否在上．
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)点不在直线上，见解析．
【知识点】求一次函数解析式、比较一次函数值的大小、一次函数与几何综合
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、求一次函数的解析式．
因为当时，可得，解方程求出，从而可得点的坐标为，根据点与点关于轴对称，可得点的坐标为；设直线的表达式为，利用待定系数法求直线的解析式即可；
分别求出和四边形的面积，把两个面积相加即可；
因为点与点关于轴对称，可知直线与直线关于轴对称，利用待定系数法求出直线的解析式，即为直线的解析式，把代入解析式，可得：，所以可知点不在直线上．
【详解】（1）解：当时，，
解得：，
点的坐标为，
又点与点关于轴对称，
点的坐标为；
设直线的表达式为，
把，分别代入，
可得：，
解得：，
直线的表达式为；
（2）解：当时，，
点的坐标为，
，
，
，
，
，，，
，
；
（3）解：直线与关于轴对称，
直线经过点．
设直线的表达式为，
把，分别代入，
可得：，
解得：，
直线的表达式为，
当时，，
点不在直线上．
【题型二】反比例函数的图象和性质
【例1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)已知点、都在反比例函数的图象上，且满足，比较的大小．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、比较反比例函数值的大小，正确利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
（1）把点的坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可得到反比例函数的解析式；
（2）根据，可得反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，据此增减性即可得到答案．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点
∴，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：∵反比例函数的解析式为，，
反比例函数图象经过第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，
点、均在反比例函数的图象上，且，
．
【例2】（2025·天津红桥·一模）已知在反比例函数（m为常数，且）的图象上．
(1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限；
(2)判断点，，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由：
(3)当时，求该反比例函数的函数值y的取值范围．
【答案】(1)；第二、四象限
(2)点，在反比例函数的图像上，点不在反比例函数的图像上，理由见解析
(3)
【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值、已知反比例函数的增减性求参数
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练求得反比例函数的解析式是解题的关键．
（1）将代入反比例函数解析式即可求得m的值，再根据反比例函数的性质即可解答；
（2）将各个点的横坐标代入反比例函数解析式，再对比纵坐标即可；
（3）将代入反比例函数解析式，求得横坐标，即可解答．
【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式可得，
解得，
反比例函数的解析式为，
该反比例函数的图象所在的象限为第二、四象限；
（2）解：当时，，故点在反比例函数上；
当时，，故点不在反比例函数上；
当时，，故点在反比例函数上；
（3）解：当时，；
当时，，
故当时，该反比例函数的函数值y的取值范围为．
【变式1】（2024·江苏泰州·二模）如图，已知，，三点在反比例函数的图像上，且．
(1)当时，请比较与的大小关系，并说明理由；
(2)若，，求该函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查了反比例函数的几何综合以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先因为，所以，，，再代入，得出，再比较与的大小关系，即可作答．
（2）先表示，再结合，，解方程组，即，得出，再代入，即可作答．
【详解】（1）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上，且
∴，，
则
则，
∵
∴
（2）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上
∴
∵，，
∴
整理得，
∴
解得，（舍去）
经检验：是原分式方程的解，
∴．
∴
【变式2】（2024·浙江宁波·一模）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上．
(1)求的值；
(2)若点都在该反比例函数图象上；
①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标；
②当时，求的取值范围．
【答案】(1)3
(2)①；②
【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数图象的对称性求点的坐标、比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】（1）根据反比例函数图象与性质，利用待定系数法列方程求解即可得到答案；
（2）①利用反比例函数图象与性质，结合题意求出，利用待定系数法列方程求解即可得到答案；②利用反比例函数图象与性质，利用待定系数法求出，列不等式求解即可得到答案．
【详解】（1）解：反比例函数，点都在该反比例函数图象上，
，解得，
；
（2）解：点都在该反比例函数图象上，且点和点关于原点中心对称，
，
，则，解得，
，
将代入得，解得，
；
②，则，
，
，
，
．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，涉及待定系数法确定、点的对称性质、解不等式等知识，熟练掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
【变式3】（2024·天津红桥·一模）已知在反比例函数 (m为常数， 且 的图象上．
(1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限；
(2)判断点， 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由；
(3)若Q为x轴上一点，且，求的面积．
【答案】(1)，该反比例函数的图象在第一、 三象限
(2)点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上，理由见解析
(3)6
【知识点】坐标与图形、求反比例函数解析式、判断反比例函数图象所在象限、等腰三角形的定义
【分析】（1）由点在该反比例数的图象上， 可得，可求，由，判断反比例函数的图象所在的象限即可；
（2）由（1）可知，该反比例函数的解析式为，然后将3个点坐标代入判断即可；
（3）由Q为x轴上一点，且，可知是等腰三角形，且点Q的坐标为，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵ 点在该反比例数的图象上，
∴，
解得．
∵，
∴该反比例函数的图象在第一、 三象限．
（2）解：由（1）可知，该反比例函数的解析式为，
当时，；
当时，；
当时，；
∴点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上．
（3）解：∵Q为x轴上一点，且，
∴是等腰三角形，且点Q的坐标为，
∴，
∴的面积为6．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形等知识．熟练掌握反比例函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形是解题的关键．
【题型三】一次函数和反比例函数与不等式综合问题
【例1】（2025·湖南·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数（，为常数且）的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)请结合函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)反比例函数解析式为；
(2)
【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析，图象法求不等式的解集是关键．
（1）把点代入一次函数得到点坐标，再代入反比例函数，运用待定系数法求解析式即可；
（2）联立方程组求出点的坐标，根据图象求不等式的解集．
【详解】（1）解：把点代入一次函数得，，
∴，
把点代入反比函数中，，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立方程组得，，
解得，，
∴，
∴当时，，
∴不等式的解集为．
【例2】（2025·河南周口·一模）如图，已知一次函数与反比例函数相交于，两点，其中点的坐标为．
(1)求，的值；
(2)求的坐标；
(3)直接写出不等式的解．
【答案】(1)，
(2)点的坐标
(3)或
【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点，函数的图象，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键．
（1）把点的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可；
（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，即可求出点坐标；
（3）根据、的坐标结合图象即可得出答案．
【详解】（1）解：把点代入反比例函数，
可得，，
的值为；
把点代入一次函数，
可得，，
解得，
的值为1；
（2）解：由（1）可知，一次函数解析式为，反比例函数解析式为，
根据题意，联立一次函数和反比例函数解析式，得
解得，；，
一次函数与反比例函数相交于，两点，其中点，
（3）解：，，
根据图像可知，当或时一次函数值的图象在反比例函数图象的上方，
不等式的解集为或．
【变式1】（2025·河南周口·一模）如图所示，一次函数：的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点，若的面积为3．
(1)分别求出m和n的值；
(2)求点B的坐标；
(3)结合图像直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【知识点】因式分解法解一元二次方程、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图像的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图像与性质是解题的关键．
（1）根据点C坐标及的面积，求出点A的坐标，再分别代入反比例函数及一次函数解析式即可解决问题；
（2）将（1）中所得函数解析式，组成方程即可解决问题．
（3）利用数形结合的数学思想，得到一次函数图像位于反比例函数图像上方部分的点的横坐标的取值范围即可解决问题．
【详解】（1）解：点的坐标为，
，
轴，且的面积为3，
，
，
点的坐标为，
将点代入，得，
将点代入，得；
（2）解：由（1）可知，，，
令，
解得，，
经检验，是原方程的解，
当时，，
点的坐标为；
（3）解：由函数图像可知，
关于的不等式的解集为或．
【变式2】（2025·山东滨州·一模）如图，直线（，为常数）与双曲线（为常数）相交于两点．
(1)求的值．
(2)在双曲线上任取两点和．若，试确定和的大小关系，并写出判断过程．
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)当或时，；当时，，判断过程见详解
(3)或
【知识点】求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的结合，以及数形结合，
（1）利用待定系数法求得，即可求得点中a的值；
（2）根据反比例函数k，可知反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，分情况讨论即可；
（3）结合一次函数和反比例函数的交点，以及图象位置关系即可求得满足条件的x．
【详解】（1）解：将代入，得，
双曲线的解析式为．
将代入，得．
则，；
（2）解：对于，故反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，
当或时，；
当时，根据图象可得．
综上所述，当或时，；当时，．
（3）解：∵交于两点，且，
∴或．
【变式3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．
(1)求k和b的值；
(2)连接，取线段上一点C，连接，使得与的面积比为，将线段绕点O逆时针旋转，得到，判断点是否落在函数（）的图象上，并说明理由．
(3)请直接写出当时，x的取值范围；
【答案】(1)k和b的值分别为，5
(2)点是落在函数的图象上．理由见解析
(3)或
【知识点】反比例函数与几何综合、根据旋转的性质求解、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】（1）将代入可求出b的值；将代入可求出k的值；
（2）由一次函数的解析式求出B点坐标为．根据与的面积比为，得出C为中点，利用中点坐标公式求出C点坐标为．过点C作轴，垂足为D，过点作轴，垂足为E．根据证明，得出，又在第二象限，得出，进而判断点是落在函数的图象上；
（3）根据函数图象可直接进行求解．
【详解】（1）解：将代入，得，，
∴，
将代入得，，
解得，；
（2）解：点是落在函数的图象上．理由如下：
∵，
∴时，，解得，
∴．
∵与的面积比为，
∴C为中点，
∵，，
∴，即．
如图，过点C作轴，垂足为D，过点作轴，垂足为E．
∵将线段绕点O逆时针旋转，得到，
∴．
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
∵在第二象限，
∴，
∴点是落在函数的图象上．
（3）解：由题意可联立：，
解得：或，
∴反比例函数与一次函数的另一个交点坐标为，
由图象可知：当时，x的取值范围为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，都是基础知识，需熟练掌握．
【题型四】一次函数和反比例函数中求三角形面积问题
【例1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，双曲线与直线交于A，C两点，轴于B，且．
(1)求直线的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，据此求解即可；
（2）先求出反比例函数解析式，再求出点C坐标，设与x轴交于D，则，再根据列式求解即可．
【详解】（1）解：∵轴，，且点A在双曲线的图象上，
∴，
∴，
∵反比例函数图象经过第二、四象限，
∴，
∴，
∴直线的表达式为；
（2）解：由（1）可知反比例函数解析式为，
联立，解得或，
∴，.
设与x轴交于D，则，
∴，,
∴．
【例2】（2025·甘肃临夏·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）在第一象限内的图象相交于点，点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的解析式及点的坐标；
(2)求直线与两坐标轴围成的的面积．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，点的坐标为；
(2)．
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
（1）由点可求得，联立得，求得，据此可求得点的坐标；
（2）利用待定系数法求得直线的解析式，再求得，，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
联立得，
解得，
∵点在第一象限，
当时，，
∴点的坐标为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，当时，，
∴，，
∴．
【变式1】（2025·广东中山·一模）如图，直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，其中点D坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在x轴上取一点，当的面积为12时，求m的值．
(3)当时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围；
【答案】(1)反比例函数解析式为；
(2)或；
(3)x的取值范围为或．
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）分别求出点的坐标，再结合，得出点D的坐标为，再把点D的坐标代入，进行计算，即可作答．
（2）因为直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，则，解得，得出，结合的面积为12，列式计算，即可作答；
（3）由，，运用数形结合思想，即可作答．
【详解】（1）解：在直线中，当时，，
∴点A的坐标为，
当时，，
解得：，
∴点B的坐标为，
当时，，
∴点D的坐标为，
将点D的坐标代入反比例函数解析式得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，
∴，
得或，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得或；
（3）解：∵，，
观察图象可得：当时，x的取值范围为或．
【变式2】（2025·山东济南·一模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接，，求的面积；
(3)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的表达式为；
(2)16
(3)点E的坐标为．
【知识点】用勾股定理解三角形、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解；
（2）利用的面积，即可求解；
（3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题．
【详解】（1）解：将代入反比例函数，
解得，
∴，
将代入，
得，
将，点代入，
，解得，
∴；
（2）解：设一次函数与x轴交于点D，
令，则，令，则，
∴的面积；
（3）解：设点E的坐标为，
过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，
，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∵，点E的坐标为，
∴，，
∴点F的坐标为．
∵点F在函数的图象上，
∴，
解得，（舍去），
所以点E的坐标为．
【变式3】（2025·山东济南·一模）直线与双曲线交于点，交y轴于点．
(1)求k，m的值；
(2)如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，．
①当时，求的面积；
②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)①；②
【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、坐标系中的平移
【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
（1）把坐标代入一次函数解析式求出的值，确定出一次函数解析式，再求出点坐标，将坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可确定出反比例解析式；
（2）①设的坐标为，表示出的坐标，两点纵坐标之差即为的长，由已知的长求出的值，确定出的坐标，三角形面积以为底，横坐标为高，求出即可；
②连接，由平移可得：，根据两直线平行时的值相同确定出直线的解析式，与反比例函数解析式联立求出交点的坐标，根据平移的性质，由平移到的路径确定出平移到的路径，进而确定出的坐标即可．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
，
解得：，
∴一次函数解析式为，
∵在的图象上，
∴，
∴，
∵在的图象上，
，
解得：．
（2）解：①由（1）得反比例函数解析式为，一次函数解析式为，
设，则有，
，
，
，
解得：（舍去）或，
，
，
；
②连接，由平移可得：，即，
∴直线的解析式为，
联立得：，
解得：或（不合题意，舍去），
，
即通过往右平移个单位，往上平移个单位得到，又由①中知，
∴点往右平移个单位，往上平移个单位得到．
【题型五】一次函数和反比例函数中由面积求点的坐标问题
【例1】（2025·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若是直线上的一个动点，的面积为21，求点坐标；
(3)若，请直接写出关于的不等式的解．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题：
（1）把代入可得反比例函数解析式；把代入反比例函数解析式求出n的值，再利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）记直线与直线的交点为，求出点C的坐标，设点，根据即可求解．
（3）运用数形结合思想，得出当时，则或，即可作答．
【详解】（1）解：依题意把代入，得出，
解得，
反比例函数的解析式为：；
把代入中，得出，
，
则把和分别代入，
得出，
解得，
；
（2）解：如图，记直线与直线的交点为，
当时，则
，
是直线上的一个动点，
设点，
的面积为21，
，
即，
，
解得或，
点坐标为或．
（3）解：依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
则结合图象，当时，则或．
【例2】（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，与双曲线交于点C、D，连接并延长与双曲线交于点E，连接．
(1)求直线的解析式；
(2)若的面积为8，求点D的坐标；
(3)若，求k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）利用中心对称的性质可得，则可得，表示出坐标，再代入反比例函数解方程即可；
（3）列方程得到，表示出点的坐标，根据即可得到点的坐标，代入反比例函数即可解答．
【详解】（1）解：把代入，可得，
，即，
，
，
把代入可得，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：延长与双曲线交于点E，
点关于原点中心对称，
，
,
设点的横坐标为，点的横坐标为，
，
，
设，则点的横坐标为，
把代入直线解析式可得，
，
点都在双曲线上，
，
解得，
；
（3）解：列方程，
整理得，
直线与双曲线交于点C、D，
点的横坐标即为方程的两个解，
，
设，则，且，
把代入直线解析式可得，
，
，
，
，
，
解得（舍去），
，
把代入反比例函数可得，
【变式1】（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C．
(1)求一次函数解析式；
(2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
(3)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．
（1）利用待定系数法求出，的坐标即可解决问题．
（2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题．
（3）根据，求出的面积，设，构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，，
，，
解得，，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：观察图象，不等式的解集为：或．
（3）解：连接，，由题意，
，
设，
由题意，
解得，
或．
【变式2】（2025·山东济南·一模）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当线段时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长，与轴交于点，点为轴上一点，且满足，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】等边对等角、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的其他综合应用、坐标与图形综合
【分析】（1）结合正比例函数先求出点，再利用待定系数法求解，即可解题；
（2）根据题意设，进而得到，，再结合建立方程求解，即可解题；
（3）方法一：根据坐标得到，结合等腰直角三角形性质证明，利用相似三角形性质进而求出，即可解题； 方法二：根据坐标得到，结合等腰直角三角形性质证明，利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到，最后利用相似三角形性质进而求出，即可解题．
【详解】（1）解：∵正比例函数过点，
∴，
∴点，
∵反比例函数过点，
∴，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵点是在线段的延长线上，
∴设，
∵轴，且与的图象交于点，与x轴的交点为点，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得（负值舍去），
∴；
（3）解：方法一：由（2）得，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴ ，
解得，
∴；
方法二：由（2）得得，，
，
∵，
∴，
∵，，
∴ ，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
解得，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形，一元一次方程的应用，等腰直角三角形性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
【变式3】（2025·四川成都·一模）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为，点B的横坐标为2．
(1)求k和b的值；
(2)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点M，且，求点C的坐标；
(3)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标．
【答案】(1)，
(2)点C的坐标为或
(3)点C的坐标为或
【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式可得点B的坐标为，将点A，B的坐标分别代入，即可得到结论；
（2）由（1）得，求得直线的函数表达式为，设．①当点M在线段上时；②当点M在线段的延长线上时；③，知，则点M不在线段的延长线上，于是得到结论；
（3）设点C的坐标为，①当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N，②当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式，得，
∴点B的坐标为，
将点A，B的坐标分别代入，得，
解得，
∴；
（2）解：由（1），得，，
∴直线的函数表达式为，
∵直线与直线交于点M，
∴点M在直线上，
设，
①如图1，当点M在线段上时，
∵，
∴，
由相似比及线段长度与坐标的关系，得，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
此时直线的函数表达式为x，
由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
②如图2，当点M在线段的延长线上时，
∵，
∴同①，得，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
∴直线的解析式为，由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
③由，知，则点M不在线段的延长线上，
综上所述，点C的坐标为 或；
（3）设点C的坐标为，且，
①如图3，当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，
分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N，
则，
∴，
即，
化简，得，
解得，（（与点B重合，舍去），
∴点C ；
②如图4，当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q，
则，
∴，
∴，
化简，得，
解得，（负值舍去），（负值舍去），（与点B重合，舍去）；
∴点C的坐标为 ，
综上所述，点C的坐标为 或 ．
【题型六】一次函数和反比例函数中求线段长问题
【例1】（2025·湖北孝感·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点是轴上一点，过点作轴的垂线分别交反比例函数的图像和一次函数图像于点．
(1)求的值；
(2)若，求的长．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，函数解析式求点的坐标等知识，解题的关键是熟练掌握点的坐标和函数解析式的关系．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用函数表达式求出点的坐标，利用点的特殊位置关系求线段长度．
【详解】（1）解：将代入，
解得，，
将代入，得，
解得，．
（2）解：由（1）知，反比例函数解析式为，一次函数的解析式为，
轴于，
轴，
，
点的纵坐标都为1，将代入，得，
将代入，得，
，
．
【例2】（2025·河南安阳·一模）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)将直线向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与的图象交于点C，求的长．
【答案】(1)反比例函数的解析式为
(2)
【知识点】一次函数图象平移问题、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）作平移后的直线，过点C作轴于D，根据平移求出，得出点B的坐标为，求出C点坐标为，根据勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：作平移后的直线，过点C作轴于D，如图：
将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为，
当时，，
∴点B的坐标为，
联立解析式得：，
解得：，
∴C点坐标为，
∴，
在中，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，勾股定理，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
【变式1】（2025·甘肃平凉·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，连接，求的长．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了待定系数法求函数的表达式、反比例函数与一次函数的交点问题和反比例函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键．
（1）先将点的坐标代入中得到的值，从而得出反比例函数的表达式，再把点代入中，求出的值，最后根据待定系数法求出一次函数的表达式；
（2）先把代入中求出点的坐标，再由题意可以知道轴，得到点与点的纵坐标相等，从而求出点的坐标，最后根据勾股定理求出的长．
【详解】（1）解：将代入中，得
反比例函数的表达式为．
将代入中，得，
．
将，分别代入中，得
，解得，
一次函数的表达式为．
（2）把代入得，
点坐标为，
由题意知点，点纵坐标相等，
把代入中，得，
点坐标为，
，
在中，．
【变式2】（2025·辽宁·一模）如图，点在反比例函数：（，）的图象上，过点，过点作的切线：（）交、轴于、，连接．
(1)求的值；
(2)求证：的面积为常数．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】求反比例函数解析式、已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】（1）将点代入，计算即可求解；
（2）求出的解析式，联立直线与反比例函数的解析式整理得，由双曲线与直线的位置关系是相切得，设，将式代入可知：，过作轴于点，即轴，，证明，即为中点，根据三线合一的性质，得，又，所以，最后根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：将代入，得，
解得：；
（2）解：设：（），
联立，
得到：，
，
上式化简为：，
双曲线与直线的位置关系是相切，
，
设，将式代入可知：，
过作轴于点，即轴，，
，即为中点，
，即，
根据三线合一的性质，得，
根据双曲线的性质，得，
，
，
，即知的面积为常数．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，联立直线与反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
【变式3】（2025·山东日照·一模）如图1，反比例函数（）的图象过点，直线：与轴交于点．
(1)求和的值．
(2)点，点均在第一象限，且满足，直接写出的取值范围．
(3)如图2，若直线与反比例函数（）的图象只有一个公共点．连接，，求证：．
【答案】(1)，
(2)
(3)见解析
【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合运用，正确运用待定系数法求函数解析式是解答本题的关键．
（1）把点代入反比例函数解析式和一次函数的解析式中可求出和的值，
（2）先判断出点，点分别在反比例函数和直线上，得出交点坐标，根据可得结论．
（3）联立和，根据直线与反比例函数（）的图象只有一个公共点求出，求出C点和B点的坐标，根据两点间距离公式求出，，从而可得结论．
【详解】（1）解：把点代入反比例函数解析式和一次函数的解析式中可得：
，，
解得，，；
（2）解：由（1）知，
∴点，点，
∴点P在反比例函数的图象上，点Q在直线上，
∴由（1）知两函数图象交点坐标为，
∴当，的取值范围是．
（3）解：由（1）知直线的解析式为，
联立方程组得，，
整理得，，
∵直线与反比例函数（）的图象只有一个公共点，
∴，
解得，，
∴反比例函数的解析式为；
∵与轴交于点，
∴令，则
∴，
联立方程组，
解得，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
【题型七】一次函数和反比例函数中求线段和最小值问题
【例1】（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，过点作轴的垂线，垂足为点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在轴上求一点，使的值最小，并求出此时点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)见解析，
【知识点】一次函数与几何综合、求反比例函数解析式、坐标与图形变化——轴对称、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点的坐标为，再由三角形面积公式计算即可得解；
（3）作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接，交轴于点，点即为所求．先求出直线的解析式，即可得解．
【详解】（1）解：将点代入，得，
．
一次函数的解析式为．
将点代入，得，
．
反比例函数的解析式为．
（2）解：在反比例函数中，令，得．
点的坐标为．
．
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接，交轴于点，点即为所求．
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为．
令，得．
点的坐标为．
【例2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数的表达式与的值．
(2)若为轴上的一点，求的值最小时点的坐标．
【答案】(1)，
(2)点的坐标为
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）把A点坐标代入反比例函数解析式，进而求出反比例函数解析式，把点代入反比例函数，求出B点坐标即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为满足条件的点．先求出直线的表达式，然后求出直线与y轴的交点坐标即可．
【详解】（1）解：反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为，
点在反比例函数的图象上，
，
．
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为满足条件的点，连接．
根据轴对称可知：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小，
点的坐标为，
点的坐标为，
设直线的表达式为，
，
解得：，
直线的表达式为．
当时，，
点的坐标为．
【变式1】（2024·河南信阳·二模）如图所示，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过作轴于点，且．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)设点是轴上一点，是否存在，使得最小?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，理由见详解
【知识点】求反比例函数解析式、用SAS证明三角形全等（SAS）、特殊三角形的三角函数、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】（1）根据题意求得，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）作的垂直平分线交于点，交轴于点，连接和，根据中点坐标公式求出的坐标，进而求出，通过证明，得到是等腰直角三角形，即可得算出的值．
【详解】（1）由可得，即．
轴于点，
点的横坐标为
点在直线上
点的纵坐标为
即
反比例函数的解析式为．
（2）存在，使得最小，此时点在线段的中垂线与轴的交点上．
作的垂直平分线交于点，交轴于点，连接和
的垂直平分线交于点
要使得最小，点在线段的中垂线与轴的交点上
点坐标为，点坐标为
线段的中点坐标为．
点是与轴的交点
，解得：
轴
是等腰直角三角形
点坐标为
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、中点坐标公式、特殊角的三角函数值以及最小值问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式2】（2024·黑龙江大庆·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于 A，B两点，与x轴交于点 C，与y轴交于点 D，已知点 A的坐标为，点 B的坐标为．
(1)求反比例函数 与一次函数的解析式；
(2)结合图象，请直接写出不等式 的解集；
(3)在y轴上是否存在一点 P，使得 周长最小，若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)或
(3)存在，
【知识点】线段问题(轴对称综合题)、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了反比例函数的综合，涉及的知识有：待定系数法确定反比例解析式与一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
（1）把坐标代入反比例解析式求出的值，即可确定出反比例解析式；把坐标代入反比例解析式求出的值，确定出坐标，由与坐标，利用待定系数法确定出直线解析式即可；
（2）根据题意得出不等式的解集即为直线在反比例函数下面的部分，结合图象即可得出结果；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时三角形周长最小，求出直线解析式即可知道点的坐标．
【详解】（1）把代入反比例解析式得：，即，
则反比例解析式为；
点的坐标为，
，
解得：，
，
把与坐标代入一次函数解析式得：，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）由（1）得，，
，即为直线在反比例函数下面的部分和交点，
或；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时三角形周长最小，
根据题意和作图可知，，，
设直线解析式为，
，解得，
直线解析式为，
．
【变式3】（2024·山东济南·三模）已知反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象在同一坐标系中．
(1)如图1，当反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个公共点时，求n的值；
(2)如图2，当直线经过点A时，它与反比例函数的另一个交点记为B，在y轴上找一点M，使的周长最小，求出M的坐标及周长的最小值；
(3)如图3，点P是反比例函数图象上A点左侧一点，连接，把线段绕点A逆时针旋转，点P的对应点Q恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)周长的最小值为，点M的坐标为
(3)
【知识点】反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】（1）联立反比例函数与一次函数的解析式，根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）将代入反比例函数的解析式求得，再将代入，即可求解出n的值，联立反比例函数与一次函数的解析式，求出点B的坐标，作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴与点M，连接，此时的周长最小，为的长，利用两点的距离公式解答即可，设直线解析式为，利用待定系数法求出解析式，令，即可求出点M的坐标；
（3）过点作x轴的垂线，与过点作轴的平行线，分别交于点，设点，证明，根据，得到，进而得出，根据点在反比例函数上，代入解析式，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，则，
即，
反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个公共点，
，即，
；
（2）解：反比例函数的图象经过点，
，
，
，
将代入，则，
，
一次函数的解析式为：，
联立反比例函数与一次函数的解析式得，则，
即，
，
当时，，
根据题意得：，
作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴与点M，连接，
则，
，
，
此时的周长最小，为的长，
，
；
设直线解析式为，
则，解得，
直线解析式为，
令，则，
点M的坐标为；
（3）解：过点作x轴的垂线，与过点的轴的平行线，分别交于点，
设点，
，
，
，
由旋转知：，
，
，
，
，
，
，
点在反比例函数上，
，即，
解得或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，轴对称求最短距离，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质．利用待定系数法确定一次函数的解析式；熟练掌握对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
【题型八】利用反比例函数的图象和性质探究平移问题
【例1】（2024·广东深圳·一模）参照学习函数的过程与方法，探究函数 的图象与性质，因为 即 所以我们对比函数 来探究．
列表：
描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示；
(1)请把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；
(2)观察图象并分析表格，回答下列问题：
当时，y随x的增大而 ；（填“增大’或“减小”）
的图象可看作是由 的图象向 平移 个单位而得到的；
图象的两个分支关于点 中心对称； （填点的坐标）
(3)试说明函数 与直线的交点情况．
【答案】(1)见解析；
(2)①增大；②上、1；③；
(3)无交点
【知识点】从函数的图象获取信息、由反比例函数图象的对称性求点的坐标、判断反比例函数的增减性、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握描点法绘制函数图象，函数图象的平移，函数的对称性和增减性，是解题的关键．
（1）用光滑曲线顺次连接即可；
（2）利用图象法即可解决问题；
（3）联立方程根据方程组解的情况判断，即可解决问题．
【详解】（1）把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来，如图，
（2）当时，y随x的增大而增大；
故答案为：增大；
的图象可看作是由 的图象向上平移1个单位而得到的；
故答案为：上、1；
图象的两个分支关于点中心对称；
故答案为：；
（3）解方程组，
代入，消去y，得，，
去分母，得，，
矛盾，x值不存在，
故函数 与直线无交点．
【例2】（2024·湖南株洲·一模）小明学习正比例函数和反比例函数时，见到如下“叠合”函数，其中函数图象经过，两点，请帮小明完成一下问题：
(1)求该“叠合”函数的表达式；
(2)如图是该函数图象的一部分，完成表格中的数据，并补全y关于x的函数图象；
(3)下列结论：①该函数图象关于直线对称；②该函数图象关于直线对称；③当时，随的增大而增大；④当函数值时，x的取值范围是或．其中结论正确的是_______（填序号）．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)③④
【知识点】用描点法画函数图象、正比例函数的定义、求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性
【分析】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，叠合”函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
（1）把，代，利用待定系数法即可求解；
（2）利用解析式计算填表即可，然后描点、连线画出函数的图象；
（3）利用函数的图象判断即可．
【详解】（1）解：把，代，
得：，解得：，
∴该“叠合”函数的表达式为；
（2）令，1，2，3，4，则，0，，，，
完成表格中的数据如下：
补全y关于x的函数图象如图：
（3）观察图象：
①该函数图象关于直线对称，结论错误；
②该函数图象关于直线对称，结论错误；
③当时，随的增大而增大，结论正确；
④当函数值时，的取值范围是或，结论正确．
故答案为：③④．
【变式1】（2024·山东济南·模拟预测）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验．以下是探究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题．
(1)①列表，表中________，________；
②描点：根据表中数值，描出①中的点；
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象；
(2)观察画出的图象，请写出该函数的两条性质：① ；② ；
(3)结合函数图象，写出函数的图象可由函数的图象如何变换得到．
【答案】(1)①5；；②见解析；③见解析
(2)见解析
(3)函数的图象可由函数先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值、判断（画）反比例函数图象、判断反比例函数的增减性
【分析】本题主要考查了画反比例函数图象，求反比例函数值，反比例函数图象的性质等等：
（1）①先把，代入解析式求出函数解析式，再分别求出当时，当时y的值即可得到答案；②在坐标系中描点即可；③根据所描的点连线即可；
（2）根据所画函数图象进行求解即可；
（3）观察函数图象可得函数的图象可由函数先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．
【详解】（1）解：∵当时，，
∴，
∴，
∴对应的函数解析式为，
∴当时，，当时，，
故答案为：①5；；
②如图所示，即为所求；
③如图所示，即为所求；
（2）解：由函数图象可知，当时，y随x增大而减小；当，函数有最小值；
（3）解：观察函数图象，可知函数的图象可由函数先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的．
【变式2】（2024·四川达州·模拟预测）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，请补充完整：
(1) ，再根据表格数据，利用描点法在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)结合函数的图象，说出两条不同类型的性质；
① ； ．
②的图象是由的图象如何平移得到？ ．
(3)当函数值时，x的取值范围是 ．
【答案】(1)5，见解析
(2)①函数图象为双曲线；关于点中心对称；②向左平移一个单位，再向上平移一个单位
(3)或
【知识点】反比例函数与几何综合、比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，数形结合解决问题．
（1）把代入解析式即可求得的值，利用描点法画出函数图象即可
（2）①根据图象解答问题即可；②根据平移的性质解决问题即可．
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）解：把代入 得，，
，
画出函数图象如图：
故答案为：5；
（2）解：观察图象，
①函数图象为双曲线；关于点中心对称；
故答案为：函数图象为双曲线；关于点中心对称；
②的图象是由的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到；
故答案为：向左平移一个单位，再向上平移一个单位；
（3）解：由图象可知，当函数值时，的取值范围是或．
故答案为：或．
【变式3】（2024·山东济南·二模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．数学兴趣小组的同学们准备结合已有的学习函数的经验，画出函数的图象并探究该函数的性质，
(1)【图象初探】列表，写出表中的值：______，______；并观察表格中数据的特征，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象．
(2)【性质再探】观察函数图象，下列关于函数的结论正确的是_______．
①函数的图象关于y轴对称．②函数的图象不经过第三、四象限．③当时，函数有最大值，最大值为6．④在自变量的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大．
(3)【学以致用】写出直线与函数有两个交点时，a的取值范围，并说明理由．
【答案】(1)，，补全该函数的图象见解析
(2)①②③
(3)，理由见解析
【知识点】求自变量的值或函数值、用描点法画函数图象、判断反比例函数的增减性、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了函数的图象，会画函数的图象和识别图象是解题的关键．
（1）分别将，代入函数解析式求解即可，再根据表格中数据即可补全函数图象；
（2）根据图象的增减性和最值及对称性求解；
（3）仿照函数，作出图象，结合图象可知函数的函数值的取值范围为，进而结合图象即可求解．
【详解】（1）当时，，当时，，
即：，，
补全该函数的图象如下：
故答案为：，；
（2）由表格中的数据知：图象关于轴对称，故①是正确的；
∵，
∴，
∴图象不经过三、四象限，故②是正确的；
∵，
∴，
∴的最大值为6；
由图象得，当时，随的增大而减小，故④是错误的；
故答案为：①②③；
（3）类比函数，作出的图象如图所示，
由图象可知，函数的函数值的取值范围为，
结合图象可知，直线与函数有两个交点时，．
【题型九】反比例函数与三角形的综合问题
【例1】（2025·江苏宿迁·一模）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是1，点的纵坐标是．
(1)求，的值；
(2)根据图像，直接写出当时自变量的取值范围；
(3)若直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上找一点，使得以、为顶点的三角形与相似，请直接写出点坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式
【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）由待定系数法求出函数解析式，即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）分两种情况：或讨论，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）解：对于，
当时，，
∴，
代入，得，
∴，
∴，
当时，，解得，
∴
代入，得，
解得；
（2）解：观察函数图象知：当时，自变量x的取值范围为或；
（3）解：由（1）知：，
当时，，
∴，
当时，，解得，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴
当时，如图，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴；
当时，如图，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴；
综上，点P的坐标为或．
【例2】（2024·四川内江·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A坐标为，点B的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
(2)观察图象直接写出满足时的x的取值范围；
(3)P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或；
(3)或或或．
【知识点】等腰三角形的定义、一次函数与反比例函数的其他综合应用、用勾股定理解三角形
【分析】（1）利用待定系数法求两函数的解析式；
（2）直接由图象一次函数在反比例函数上边时对应的取值；
（3）存在三种情况：，，，根据点的坐标综合图形可得点的坐标．
【详解】（1）解：点坐标为，
把点的坐标代入得：，
反比例函数的解析式是；
把点的坐标为代入得：
，
解得：，
；
把、两点的坐标代入中得：
，
解得：，
一次函数的解析式为：；
（2）如图，由图象得：时的取值范围是：或；
（3）当是等腰三角形时，存在以下三种情况：
当时，如图，
，
，
或；
当时，如图，

设，
∴，
解得：或（不符合题意舍去），
；
当时，如图，过作轴于，

设，则，，
，
，
，
；
综上，的坐标为或或或．
【点睛】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，反比例函数与一次函数图像与性质，反比例函数与一次函数交点问题，本题难度适中，运用分类讨论思想是解答本题的关键．
【变式1】（2024·四川广安·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求k与m的值；
(2)为x轴上的一动点，当的面积为时，求a的值；
(3)已知点Q在x轴上，若以点A，B，Q为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题、用勾股定理解三角形、判断直线和圆的位置关系
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题、三角形相似的判定和性质、勾股定理等知识点，
（1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
（2）根据，构建方程求解即可；
（3）A、B、Q分别为直角顶点三种情况进行讨论即可求解；
熟练掌握分类求解是解决此题的关键．
【详解】（1）把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴；
（2）当时，，
∴，
∵为x轴上的动点，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴或，
∴点，
故a的值为3 或；
（3）当点B为直角顶点时，过点B作交x轴于点，如图所示：
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点A为直角顶点时，过点A作于点，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点Q为直角顶点时，即Q点在以为直径的圆上，作的中点P，过P作轴交坐标轴于点D，如图所示，
∵，
∴，即以为直径的圆不与x轴相交，
∴此情况不存在，
故Q点的坐标为：或．
【变式2】阅读材料：有一边是另一边的倍的三角形叫做卓越三角形，这两边中较长边称为卓越边，这两边的夹角叫做卓越角．

(1)在中，，若为卓越角，为卓越边，则的度数为________；
(2)如图①，卓越中，，是卓越角，为卓越边，若，求的长；
(3)如图②，卓越中，为卓越边，为卓越角，且，点、均在函数的图象上，点在点的上方，点的纵坐标为．当是直角三角形时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】（1）连接点C和中点D，根据题意得出，设，则，则，通过证明为等边三角形，得出，即可求解；
（2）过点B作于点H，易得，根据题意得出，求出，最后根据即可解答；
（3）根据题意得出，然后进行分类讨论：①当时，过点B作轴于点N，过点C作于点M，通过证明，设，则，得出，，即可解答；②当时，
过点B和点C作x轴的垂线，垂足分别为点F和点E，通过证明，设，则，则，设，则，得出，，即可解答．
【详解】（1）解：连接点C和中点D，
∵为卓越角，为卓越边，
∴，
设，则，
根据勾股定理可得：，
∵，点D为中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；

（2）解：过点B作于点H，
∵，，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵，
∴，
解得：，
∵是卓越角，为卓越边，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴；

（3）解：∵卓越中，为卓越边，为卓越角，
∴，
①当时，
过点B作轴于点N，过点C作于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，点的纵坐标为，
∴，，
∴，
∴，
把，代入得：
，
解得：（舍去），
∴；

②当时，
过点B和点C作x轴的垂线，垂足分别为点F和点E，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理可得：，
∴，
设，则，
∵，点的纵坐标为，
∴，，
∴，
∴，
把，代入得：
，
解得：（舍去），

综上：．
【点睛】本题主要考查了新定义，反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理，正确理解题目所给“卓越三角形”的定义是解题的关键．
【变式3】（2025·山东济南·二模）两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中，在x轴上，已知，，反比例函数的图象经过点B．
(1)求k的值．
(2)把沿射线移动，当点D落在图象上时，求点D经过的路径长．
(3)如图2，点O与点M关于点A成中心对称，连接把绕点B逆时针旋转得到三角形，所在直线与x轴交点Q，所在直线与反比例函数交于点P，试问，是否存是否存在的一个值，使得，若存在请求出点P的坐标及的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)；
【知识点】反比例函数与几何综合、求角的正切值、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）根据题意求得点B的坐标，再代入求得k值即可；
（2）设平移后与反比例函数图象的交点为，由平移性质可知，过作轴于点E，交于点F，设交y轴于点M，根据已知条件可求得点D的坐标为，设横坐标为t，则，即可得，由此可得，解方程求得t值，利用勾股定理求得的长，即可得点D经过的路径长；
（3）证明，得出，根据中心对称的性质得出，，求出点P的横坐标为，根据反比例函数的解析式为，得出点P的纵坐标为，作于点H，证明为等腰直角三角形，得出，求出，根据三角函数定义求出结果即可．
【详解】（1）解：∵和为全等三的等腰直角三角形，，
∴，
∴点B坐标为，
把代入得：
；
（2）解：设平移后与反比例函数图象的交点为，由平移性质可知，过作轴于点E，交于点F，设交y轴于点M，如图，
∵，，
∴，
∴D坐标为，
设横坐标为t，则，
∴，
∴，
∴，
∵在反比例函数图象上，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
即点D经过的路径长为．
（3）解：存在，理由如下：
当，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点O与点M关于点A成中心对称，
∴，，
∴，
∴，
∴点P的横坐标为，
由（1）可知，反比例函数的解析式为，
∴点P的纵坐标为，
∴点，
如图，作于点H，
则，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，三角形全等的判定和性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，求一个角的正切值，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
【题型十】反比例函数与四边形的综合问题
【例1】（2025·河南驻马店·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数的图象交于点D．
(1)求k的值；
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)12
(2)
【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、利用菱形的性质求面积
【分析】本题考查了反比例函数与几何问题，菱形的性质，进行数形结合的思想做题是解题的关键．
（1）把代入反比例函数解析式即可解答；
（2）求得菱形的边长，说明的面积为菱形面积的一半，再计算，即可解答．
【详解】（1）解：把代入反比例函数解析式，
可得，解得；
（2）解：根据勾股定理可得，
四边形是菱形，
，
设菱形在边上的高为，
，
．
【例2】（2025·河南信阳·三模）如图，已知点，，四边形是平行四边形，反比例函数的图象与交于点D，与的延长线交于点E，且．
(1)求点B的坐标；
(2)求反比例函数的表达式；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数表达式以及反比例函数与几何综合．
（1）根据平行四边形对边平行且相等的性质，通过点A、C的坐标来确定点B的坐标；
（2）先证明，再结合求出点D的坐标，最后将点D坐标代入反比例函数求出k的值，进而得到反比例函数表达式；
（3）先求出点E的坐标，然后通过相关线段长度和面积关系求出的面积．
【详解】（1）解：在中，且．
∵，
∴，
．
，点在点右侧且轴，
点的横坐标，纵坐标与点相同为6，
即．
（2）解：如图，分别过点B，D作x轴的垂线，垂足分别为点M，N，则，
，
∴，即，
，，
，
∴．
∵点在反比例函数图象上，
，
∴反比例函数的表达式为．
（3）解：对于，
当时， ，
，
，
由（2）可知，点D到直线的距离为，
．
【变式1】（2025·河南焦作·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴、轴分别交于点、，点在第一象限，点是轴正半轴上一点，菱形的边与反比例函数的图象交于点，且．
(1)利用无刻度的直尺，在反比例函数的图象上作出点，使（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求的值和反比例函数的表达式；
(3)将菱形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为______．
【答案】(1)见解析
(2)的值为，反比例函数的解析式为
(3)平移的距离为
【知识点】反比例函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、求反比例函数解析式、无刻度直尺作图
【分析】（1）连接交第三象限双曲线于点Q，连接，由关于原点对称的点的性质，即可知；
（2）把点C的坐标代入一次函数中，即可求得a的值；由一次函数解析式可求得点，进而求得，由菱形的性质及，可求得点G的坐标，从而可求得反比例函数解析式；
（3）在反比例函数解析式中，求出当自变量时的函数值，即可知道向下平移的距离．
【详解】（1）解：如图，连接交第三象限双曲线于点Q，连接，点Q即为所求作；
（2）解：由题意知，点在直线上，
所以，即；
在中，令，得，
即，
∴；
∵，
∴，
由勾股定理得：；
∵四边形是菱形，
∴；
∵，
∴；
∵，且在轴上，
∴，
∵点G在反比例函数的图象上，
∴，即，
∴；
故的值为，反比例函数的解析式为；
（3）解：当时，，
∴将菱形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，图形的平移，菱形的性质，勾股定理，无刻度直尺作图等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
【变式2】（2025·山东枣庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数的图象经过点D，反比例函数的图象经过点D，且与边交于点E，连接，已知．
(1)点D的坐标是_____；
(2)求的值；
(3)观察图象，请直接写出满足的x的取值范围；
(4)连接，在线段上取一点P，使，过点P作垂直x轴，交双曲线于点Q，请求出线段的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)的长为
【知识点】反比例函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长、求直线围成的图形面积、求角的正切值
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．
（1）根据题意写出点D坐标即可；
（2）先求出点E坐标即可得到的值；
（3）根据图象直接写出不等式解集即可；
（4）先求出解析式，过点P作，交于点F，则，进而求出直线的解析式，得到点P坐标，最后得到长．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
在函数中，当时，，
∴点D的坐标为，
故答案为：；
（2）解：∵点D的坐标为且在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∵正方形的边长为3，
∴，
把代入函数中，得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵在函数中，当时，，
∴由图象可知的x的取值范围为；
（4）解：设直线的解析式为，代入点和得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
过点P作，交于点F，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
∵直线过点，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴，
在反比例函数中，当时，，
∴，
∴．
【变式3】（2025·广东清远·一模）【问题背景】
矩形中，，分别以所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．
【构建联系】
（1）请连接，则＝______，＝______，与的位置关系为______；
（2）当k为何值时，以为直径的圆与相切；
【深入探究】
（3）在（2）的条件下，点P为线段上一动点（包含端点），连接，以线段为边，在所在的直线的右上方作等边，当动点P从点F运动到点C时，点Q也随之运动，请求出点E到点Q运动路径的最短距离．

【答案】（1）2，2，；（2）；（3）．
【知识点】反比例函数与几何综合、切线的性质定理、等边三角形的判定和性质、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）连接，由题意设点，得出，进一步得出，并根据三角函数定义得出，进一步分析即可得出答案；
（2）由题意分别过的中点，即圆心，以及点作,分别交于点，在中，由勾股定理得，并根据，列出，从而得出答案；
（3）由题意将绕点逆时针旋转得到，所在直线为点Q的运动路径，由点到直线的垂线段最短可得，点E到点Q运动路径的最短距离为的长度，随后进行分析求解即可．
【详解】解：（1）连接，由题意设点，
点F在反比例函数上，
∴，
四边形是矩形，
∴，
，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2，2，；
（2）如图当以为直径的圆与相切，分别过的中点，即圆心，以及点作，分别交于点，
由切线性质可得以为直径的圆与相切时，，
由（1）设点，，，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
,，
，
，
，
，
，解得，
，以为直径的圆与相切；
（3）由题意将绕点逆时针旋转得到，如图，
可知动点P从点F运动到点C时，点Q从点运动到点，
即所在直线为点Q的运动路径，由点到直线的垂线段最短可得，
点E到点Q运动路径的最短距离为的长度，
由（2）知，
即点E到点Q运动路径的最短距离为．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合应用，涉及到圆的切线性质以及锐角三角函数的应用以及勾股定理和全等三角形的旋转应用．考查学生对相关知识的综合应用能力，特别是最后一问，学生还需要掌握主从联动点的相关解题思路，整体难度较大．
【变式4】（2025·广东韶关·一模）【问题背景】
如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴和轴上，若反比例函数（）的图象分别交，于点，．
【构建联系】
（1）求证：．
（2）是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，且，求的值．
【深入探究】
（3）在（2）的条件下，连接，，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据正方形的性质和反比例函数的性质，即可解答；
（2）过点作轴于点，交于点，证明，由相似三角形的性质列方程，即可解答；
（3）过点作于点，过点作于点，求得的长，即可解答．
【详解】解：（1）证明：设点，，
点，都在正方形上，
，且，
，即．
（2）如图1，过点作轴于点，交于点，
四边形是正方形，，
，，
，
根据折叠的性质可得，，，
，
轴，
，
，
，
，．
，
，
解得，
点．
把点代入，解得；
（3）如图2，过点作于点，过点作于点，
，
则四边形为矩形，
由（2），可知，，，，，
，
，，
，
，
．
【变式5】（2025·广东惠州·一模）如图，矩形的顶点A、C分别在轴和轴上，点B的坐标为，D是边上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图象经过点D且与边交于点E，连接．
(1)如图1，若点D是的中点，求E点的坐标；
(2)如图2，若直线与轴、轴分别交于M点，N点，过D作轴交于P点，过E作轴交于Q点，与交于点H，连接，求证：；
(3)如图3，将沿折叠，点B关于的对称点为点，当点落在矩形内部时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)详见解析
(3)
【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）由是的中点，求出，进而求解；
（2）证明，即可求解；
（3）当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大；若点与点重合，则，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，
四边形是拒形，
轴，轴，
，是的中点，
，
双曲线经过点 ，
，
，
当时，，
点的坐标为．
（2）证明：如图2，
点、点都在双曲线上，
、，，
∴，，，
∵轴，轴
∴四边形是矩形
∴，
∴，
∴
又∵
∴
∴
∴；
（3）解：如图，连接、交于点，交于点，
，
随的增大而增大，
当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大，
垂直平分，，
，
，且
，
解得：，
则点，
则．
若点与点重合，则，
的取值范围是．
【点睛】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到三角形的判定与相似，矩形的性质、最值的确定，解直角三角形等，确定的临界点是（3）中解题的关键．
【变式6】（2025·广东湛江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，，双曲线与矩形的两边、分别交于、两点，连接、、，将沿翻折后得．
(1)探究一：如图2，若点为中点时，点又恰好落在线段上，证明：平分：
(2)探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积：
(3)探究三：如图4，若点在直线上，是否存在的值使点落在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及正方形的性质，相似三角形的判定与性质，根据，利用表示出的长度，根据相似三角形的对应边的比相等求得的长是解本题的关键．
探究一：证明平分可转化为证明，即证明是的中点即可，根据、的坐标满足函数的解析式即可证得；
探究二：证明四边形是正方形，证，即可求得，则和的比值是，则可利用的长表示出的坐标，代入反比例函数解析式，即可求得的长，则面积即可求解；
探究三：首先解方程组求得的坐标，作于点，则，利用表示出的长度，根据相似三角形的对应边的比相等求得的长，即可求得，求得的长，则的横坐标即可求得，代入反比例函数解析式即可求得纵坐标．
【详解】（1）探究一：证明：，，
的坐标是，
的坐标是：，
在线上，
，
又的横坐标是，把代入，则，
是的中点，即，
又，
，
在的平分线上，即平分；
（2）探究二：解：设正方形的边长是，则，，
则的坐标是：，的坐标是，
则，
．
四边形是正方形．
∴，，
∵，
∴
又∵，
∴，
，
又平分，
，
，
设，则，
∴的坐标是，
代入得：，
∴，
∴正方形的面积是；
（3）解：根据题意得：
解得：或 舍去，
则的坐标是．
的横坐标是，则的横坐标是，则，
在中，当时，
，，
如图所示，作于点．
折叠
又
则，
解得：，
∴在中，，
则，
，
，
把代入中得：，
．
1. 定解析式：用待定系数法，找两点坐标代入y=kx+b列方程组求解，注意交点（与坐标轴交点令x=0或y=0）。
2. 判图像：k>0过一、三象限（y随x增大而增大），k0时，图像在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小；k或