抢分秘籍17 二次函数中求线段，线段和，面积等最值-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（全国通用）（原卷版+解析版）

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【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】利用二次函数求线段最值的问题 【题型二】利用二次函数求线段和/差最值的问题
【题型三】利用二次函数求面积最值的问题 【题型四】利用二次函数求角度的问题
【题型五】利用二次函数求特殊三角形的问题 【题型六】利用二次函数求特殊四边形的问题
【题型七】利用二次函数求相似三角形的问题
：二次函数和几何图形综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，二次函数占比约15%-20%，高频考解析式、图像性质、最值；几何图形占比25%-30%，三角形全等/相似、圆性质、坐标系几何常考，压轴题多综合考查。
2．从题型角度看，二次函数多为应用题、图像分析题、与几何结合的综合题；几何图形以证明题、计算题、动点探究题为主，常与函数、方程结合命题。
：在中考数学备考中，牢记公式定理，多练函数与几何综合题，掌握数形结合、分类讨论思想；针对动点、存在性问题专项突破，分析真题总结解题模型，强化计算与逻辑推理能力。
【题型一】利用二次函数求线段最值的问题
【例1】（2025·云南楚雄·一模）如图，已知抛物线与直线相交于点和点B．
(1)求m和b的值．
(2)若直线与线段交于点P，与抛物线交于点Q，求P，Q两点间距离的最大值．
【例2】（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为
(1)请直接写出A、B、D三点坐标．
(2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值；
(3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标．
【变式1】（2025·安徽淮北·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，点A的坐标为，直线的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M 是抛物线上位于直线下方的一个动点，过点M作轴交于点N，计算线段的最大值；
(3)若点P是抛物线上一动点，则是否存在点P，使．若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标．
【变式2】（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点P，对称轴与x轴交于点Q．
(1)求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的对称轴及点C关于对称轴的对称点的坐标；
(2)点M是线段上的一个点，过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．
①若点M在对称轴上，判断此时点M是否为线段的中点，并说明理由；
②当线段最长时，求点M的坐标．
【变式3】（2025·四川绵阳·一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，M是抛物线的对称轴上一点，连接，
若，求点M的坐标；
(3)如图②，P是直线上方抛物线上一动点，过点P作，交于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标．
【题型二】利用二次函数求线段和/差最值的问题
【例1】（2025·甘肃张掖·一模）如图⑥，抛物线与x轴交于O、A两点，与直线交于O、两点，过点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止．
(1)求抛物线的表达式：
(2)请在图⑥中过点P作轴于点F，延长交于点E，当时，求点P的坐标：
(3)如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接，求的最小值．
【例2】（2025·青海西宁·一模）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中．
(1)求抛物线的函数表达式
(2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E；求的最大值并求出此时点P的坐标；
【变式1】（2025·四川资阳·一模）已知，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点D为抛物线上位于直线上方的一点，于点E，轴交于点F，当的周长最大时，求点D的坐标；
(3)将抛物线沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G，轴交新抛物线于点P，射线与新抛物线的另一交点为Q．当时，求点Q的坐标．
【变式2】（2025·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点和点 B， 与y轴交于点 C．
(1)求a的值；
(2)如图，M是第一象限抛物线上的点，， 求点M的坐标；
(3)在直线上方的抛物线上有一动点 P，过点P作于点E， 作交于点 F．当的周长有最大值时，求点 P 的坐标和的周长．
【变式3】（2025·四川自贡·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的图象与轴交于点两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标；
(3)如图2，若抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为新抛物线上一点，点为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【题型三】利用二次函数求面积最值的问题
【例1】（2025·甘肃陇南·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，．
(1)求点，，的坐标，
(2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【例2】（2025·山西运城·一模）综合与实线
如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标．
(3)如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)点是抛物线上一个动点，连接，，交轴交于点，作轴于点．
①若点是的中点，求的面积；
②若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值．
【变式2】（2025·福建泉州·一模）如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P在x轴上方的抛物线上．
(1)求直线的解析式；
(2)求以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值；
(3)如图2，若直线与直线相交于点M，且，求点P的坐标．
【题型四】利用二次函数求角度的问题
【例1】（2025·山东济南·一模）抛物线与x轴分别交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，D是抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标．
(2)如图1，线段下方抛物线上是否存在一点E，使，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，P是抛物线第二象限上的点，连接．当时，求点P的坐标．
【例2】（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点，为轴上一动点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点在线段上时，连接，，过点作交直线于点．
①直接写出面积的最大值及此时点的坐标；
②在①的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，是平移后的抛物线上一动点，连接，若，求点的坐标；
(3)将线段绕点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出的取值范围．
【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点在抛物线上，当时，求点的横坐标．
【变式2】（2025·广东中山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)点P是x轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标；
(3)如图（2），点D是直线下方抛物线上的一个动点．过点D作于点E，问：是否存在点D，使得?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3】（2025·江苏盐城·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．其中，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)是该抛物线上一点．
①连接，若，求点的坐标；
②在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标．
【题型五】利用二次函数求特殊三角形的问题
【例1】（2025·天津红桥·一模）已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若P是该抛物线的对称轴上一点．
①当点P在第一象限，且是等腰三角形时，求点P的坐标；
②当时，求点P的坐标．
【例2】（2025·安徽淮南·二模）如图，抛物线（）.
(1)若抛物线经过点，求的值；
(2)若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点.
①若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，求的值；
②当时，若点是该抛物线位于轴上方的一点，且，求的最大值.
【变式1】（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段的最大值；
(3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【题型六】利用二次函数求特殊四边形的问题
【例1】（2025·陕西咸阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点F为抛物线上一点，点E为直线上一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点F的坐标．
【例2】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标．
(3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式1】（2025·陕西西安·二模）已知抛物线交轴于点，交轴于点，连接，将抛物线平移后得到抛物线，且点对应点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)在轴上是否存在一点，使得以点为顶点的四边形为矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求面积的最大值；
(3)若点是平面直角坐标系中的一点，以，，，为顶点的四边形是正方形，求点的坐标．
【题型七】利用二次函数求相似三角形的问题
【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线经过A，C两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)动点M在直线上，且与相似，求点M的坐标．
【例2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图1，直线与、轴分别相交于、两点，抛物线的图象经过点，与轴交于两点（点在点左侧），且顶点也在直线上，为抛物线上第四象限内一动点且不与点重合．
(1)求该抛物线的关系式；
(2)如图2，连接、，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标；
(3)如图3，点也为抛物线一动点，连接交抛物线对称轴于点．若，点是否是一定点？若是，请直接写出点坐标；若不是，请说明理由．
【变式1】（2025·陕西商洛·一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线关于轴对称得到抛物线，点的对应点为为抛物线上一点且在轴上方，过点作轴于点，连接．当和相似时，求符合条件的点的坐标．
【变式2】（2025·陕西西安·三模）如图，已知抛物线的图象与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点．
(1)求抛物线的解析式和的值；
(2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由．
1. 设变量：设动点坐标为自变量（如x），目标线段端点用含x的式子表示。
2. 建模型：用距离公式或几何关系写出线段长度的二次函数表达式（如y = ax² + bx + c）。
3. 求最值：通过配方法或顶点公式(-b2a, 4ac−b24a)求极值，注意自变量取值范围（如线段端点限制）。
4. 验实际：结合几何意义验证最值是否符合题意，避免舍入误差。
线段和最值：利用轴对称转化（如“将军饮马”模型），设动点坐标，将线段和表示为二次函数，结合几何对称找最小值，顶点处取最值需验证路径共线。
线段差最值：三点共线时取极值（三角形不等式），建系后用坐标差表示距离差，化为二次函数，注意定义域，最大值在端点或顶点，需结合图形判断符号。
1. 设变量：选关键线段长或坐标为自变量x，用几何关系表示相关边长或高。
2. 列面积式：利用公式（如S=12ah、矩形面积）写出S关于x的二次函数，注意图形分割或坐标法。
3. 求最值：配方或顶点公式得极值，结合定义域（如线段范围、图形存在性）确定最值位置，端点值需验算。
4. 几何验证：确保函数模型符合图形实际意义，避免虚构解。
1. 设坐标：设所求点坐标为(x, ax² + bx + c)，代入二次函数解析式。
2. 转角度条件：用正切函数、斜率或向量表示角度关系（如tanθ=k2−k11+k1k2），建立方程。
3. 联立求解：结合几何图形性质（如直角、等腰三角形）列方程，化简为二次方程求x，注意判别式△≥0。
4. 验图形意义：代入验证角度是否符合题意，舍去不合理解（如坐标超出图形范围）。
1.设点坐标：设二次函数上点为(x, ax² + bx + c)，结合特殊三角形（等腰、直角等）性质。
2.转几何条件：等腰：用距离公式列两边相等方程；
直角：勾股定理或斜率乘积为-1；
等边：边相等+60°角（用向量或三角函数）。
3. 联立求解：化简得二次方程，用判别式验根，分类讨论顶点位置（如等腰顶角顶点）。
4. 验图形合理性：舍去坐标不符或构不成三角形的解。
1. 设点坐标：设二次函数上点为(x, ax² + bx + c)，结合特殊四边形（平行四边形、矩形等）性质。
2. 转几何条件：平行四边形：对边平行（斜率相等）且相等（距离公式）；
矩形：邻边垂直（斜率积-1）+ 对边相等；
菱形：四边相等或对角线垂直。
3. 联立方程：按条件列方程求解，用判别式验根，分类讨论顶点顺序。
4. 验图形存在性：舍去坐标不符或四边形退化的解。
1. 设点坐标：设二次函数上点为(x, ax² + bx + c)，确定相似三角形对应顶点。
2. 列比例式：利用相似比（如对应边成比例、对应角相等），结合距离公式或斜率表示边长/角度，建立方程。
3. 分类讨论：按对应顶点不同分情况，化简得二次方程，用判别式验根。
4. 验相似性：代入坐标验证对应角相等且比例一致，舍去图形矛盾的解。