抢分秘籍18 二次函数中平移、翻折、旋转综合-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（全国通用）（原卷版+解析版）

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【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】二次函数中的平移综合问题 【题型二】二次函数中的翻折综合问题
【题型三】二次函数中的旋转综合问题
：二次函数中平移、翻折、旋转综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，平移为高频考点，常考解析式变化；翻折为中频，涉及对称轴变换；旋转低频，多与坐标系结合。各地差异小，平移占比约30%，翻折20%，旋转10%左右。
2．从题型角度看，平移、翻折多现选择填空（直接求解析式）或解答题第一问（基础变换）；旋转常融综合题（如与几何图形结合求坐标），压轴题占比约15%，侧重逻辑推导。
：在中考数学备考中，熟记变换规律（如平移“左加右减”、翻折符号变化、旋转坐标公式）；分类练基础题与综合题，注意变换后图形性质；压轴题需结合函数与几何，用方程思想联立求解，强化画图分析能力。
【题型一】二次函数中的平移综合问题
【例1】（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数解析式及其对称轴；
(2)将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（在原点左侧），当时，求的值；
(3)当时，二次函数的最小值为，求的值．
【例2】（2025·安徽合肥·一模）已知二次函数的图象经过点，．
(1)求，的值．
(2)求当时，二次函数的最大值．
(3)现将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为7，求平移后新的二次函数的表达式．
【变式1】（2025·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值．
(3)在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由．
【变式2】（2025·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，点是轴上的一个动点，连接，当线段长度取得最大值时，求的最大值，及此时点的坐标；
(3)如图，将抛物线，先向右平移个单位长度，再像上平移个单位长度，得到新抛物线，点是新抛物线上一点，连接，当时，请求出点的坐标．
【变式3】（2025·湖南衡阳·一模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一动点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，连接，并延长交轴于点，连接，交轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
(3)将该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线刚好经过点，点为抛物线对称轴上一点．在平面内确定一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形．
【题型二】二次函数中的翻折综合问题
【例1】（2025·湖南·二模）已知抛物线．
(1)如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值；
(2)如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D．
①当时，求的值；
②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）．
【例2】（2025·山东济南·一模）如图1，抛物线经过点、，对称轴为直线，直线与x轴所夹锐角为，与y轴交于点E．
(1)求抛物线和直线的表达式；
(2)将抛物线沿二、四象限的角平分线平移，使得平移后的抛物线与直线恰好只有一个交点，求抛物线平移的距离；
(3)如图2，将抛物线沿直线翻折，得到新曲线，与y轴交于M、N两点，请直接写出点坐标．
【变式1】（2025·广西南宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
(1)求出该抛物线的解析式；
(2)当时，求的最小值；
(3)把抛物线的图象在轴下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原抛物线位于轴下方的部分组合的图象记作图象，若直线与图象的上下部分分别交于，两点，当线段时，求的值．
【变式2】（2025·上海静安·一模）已知抛物线上，其与部分对应值如下表：
(1)求此抛物线的表达式；
(2)设此抛物线的顶点为，将此抛物线沿着平行于轴的直线翻折，翻折后得新抛物线．
①设此抛物线与轴的交点为（点在点的左侧），且的重心恰好落在直线上，求此时新抛物线的表达式；
②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线上所截得的线段长．
【变式3】（2025·吉林·一模）如图，已知抛物线经过和两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“W”，图象交轴于点．
(1)①求抛物线的解析式；
②求二次函数的最小值．
(2)①直接写出图象的解析式；
②求当图象所对应的函数随增大而增大时的取值范围．
(3)若直线与图象有3个交点时，请结合图象，直接写出的值．
【题型三】二次函数中的旋转综合问题
【例1】（2025·湖南永州·一模）如图，已知抛物线，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线相交于A，B两点．
(1)求m的值；
(2)求直线对应的一次函数表达式；
(3)抛物线位于A，B两点之间的部分图形记作W，过点M的直线l与W相交于E，F两点，连接，求面积的最大值及此时对应的E点坐标．
【例2】（2025·四川成都·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点O、，将该抛物线绕点旋转得到抛物线，两抛物线交于B、C两点，抛物线与y轴交于点D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，求的面积；
(3)若直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线的斜率为，直线的斜率为，当为定值时，求m的值．
【变式1】（2024·河南焦作·二模）已知抛物线的顶点为D．
(1)若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标；
(2)在（1）的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为．
①图象的解析式 （写出自变量的取值范围）；
②若直线与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围．
1. 用顶点式分析：设原函数为y = a(x - h)2 + k，平移后顶点为(h', k')，则新解析式为y = a(x - h')2 + k'。
2. 记平移规律：左右平移变h（左加右减），上下平移变k（上加下减）。如向右移m个单位，得y = a(x - h - m)2 + k。
3. 分步平移：先左右再上下，或反之，结果一致。
4. 一般式转换：若为一般式，先配方成顶点式再平移，避免符号错误。
1. 明确对称轴：
x轴翻折：顶点(h,k)变(h,-k)，开口反向（a变-a），解析式为y=-a(x-h)2-k。
y轴翻折：顶点变(-h,k)，开口不变，解析式为y=a(x+h)2 +k。
2. 一般式处理：先配方成顶点式再翻折，避免符号错误。
3. 利用对称点：任一点(x,y)关于轴翻折后坐标代入原函数，直接推导新解析式（如关于x轴翻折，用y→ -y替换）。
x
…
…
y
…
…
1. 确定旋转中心与角度：初中常考绕原点或顶点旋转180°。
绕原点转180°：顶点(h,k)变(-h,-k)，a变-a，解析式为y = -a(x + h)2 - k。
绕顶点转180°：顶点不变，开口反向，解析式为y = -a(x - h)2 + k。
2. 坐标变换法：任一点(x,y)旋转后坐标代入原函数，整理得新解析式（如绕原点转180°，用x→-x，y→-y替换）。
3. 验对称性：旋转后图像应关于中心对称，检查顶点与开口方向是否符合。