新人教版高二暑期数学衔接第07讲空间向量基本定理讲义(学生版+解析)

这是一份新人教版高二暑期数学衔接第07讲空间向量基本定理讲义(学生版+解析)，共21页。学案主要包含了学习目标，基础知识，考点剖析，真题演练，过关检测等内容，欢迎下载使用。

1.了解空间向量基本定理及其意义，
2.掌握空间向量的正交分解
【基础知识】
一、空间向量基本定理
1.如果三个向量a,b,c不共面 ,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc .我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底 ,a,b,c都叫做基向量 .空间任意三个不共面 的向量都可以构成空间的一个基底
2.基向量的选择和使用方法
用已知向量表示未知向量时,选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行,选择和使用向
量应注意:
(1)所选向量必须不共面,可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断;
(2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运算表示未知
向量;
(3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底.【解读】
3.用基底表示向量的步骤
(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则或平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
(3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量,即结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.
二空间向量的正交分解
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直 ,且长度都为1 ,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i, j,k}表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
【考点剖析】
考点一：对平面向量基本定理的理解
例1．(多选)(2022学年河北省邯郸市高二上学期期末)已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是( )
A．若，则
B．，，两两共面，但，，不共面
C．一定存在实数x，y，使得
D．，，一定能构成空间的一个基底
考点二：对基底的理解
例2．设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有( )
A．1B．2C．3D．4
考点三：选择基底表示某一向量
例3．(2022学年河南省郑州市高二上学期期末)已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于( )
A．B．C．D．
考点四：选择基底求解向量的模或线段长度
例4．(2022学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中)如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为( )
A．B．C．D．
考点五：选择基底求解角度问题
例6．(2022学年重庆市四川外语学院高二上学期10月月考)二面角的棱上有两个点、，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为_________.
考点六：选择基底求解数量积问题
例7．(2022学年江苏省南通市海安市实验中学高二下学期期中)已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则( )
A．1B．2C．-1D．-2
【真题演练】
1. (2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期期中)已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有( )
A．，，共线B．O，A，B，C中至少有三点共线
C．与共线D．O，A，B，C四点共面
2. (2022学年福建省福安市第一中学高二下学期第三次月考)如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则( )
A．B．
C．D．
3.(2022学年安徽省六安中学高二上学期期中)如图，已知空间四边形，其对角线为，分别为的中点，点在线段上，，若，则( )
A．B．C．D．
4. (2022学年福建省福州市八县(市)一中高二上学期期中)若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是( )
A．B．
C．D．
5.(多选) (2022学年福建省福州市高二下学期期中)如图，在平行六面体中，，，．若，，则( )
A．B．
C．A，P，三点共线D．A，P，M，D四点共面
6. (多选)(2022学年上海市控江中学高二下学期期中)如图，在四面体中，是的中点，设，，，请用､､的线性组合表示___________.
7. (2022学年河北省邯郸市高二上学期期末)已知平行六面体的棱长均为4，，E为棱的中点，则___________.
8.(2022学年江苏省徐州市王杰中学高二下学期3月阶段性测试)如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，，，，求的值．
【过关检测】
1.(2022学年江苏省苏州市昆山市七校高二上学期12月联考)如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形．若，且，则的长为( )
A．B．C．D．2
2. (2022学年广东省佛山市南海区桂城中学高二下学期第二次段考)四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则( )
A．B．
C．D．
3. (2022学年广东省揭阳市揭西县高二上学期期末)若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是( )
A．，，B．，，
C．，，D．，，
4.(2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期3月月考)已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
5. (多选)(2022学年江苏省徐州市沛县高二下学期第一次学情调研)若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A．，，B．，，C．，，D．，，
6. (多选)(2022学年江苏省镇江中学高二下学期期中)如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是( )
A．B．
C．的长为D．
7．(多选)(2022学年浙江省金华市曙光学校高二上学期10月月考)已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且(，)，则，的值可能为( )
A．，B．，C．，D．，
8. (2022学年陕西省宝鸡市渭滨区高二上学期期末)已知向量，，不共线，点在平面内，若存在实数，，，使得，那么的值为________.
9. (2022学年河南省名校联盟高二上学期期末)在平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，，若，则___________.
10. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长．
第07讲 空间向量基本定理
【学习目标】
1.了解空间向量基本定理及其意义，
2.掌握空间向量的正交分解
【基础知识】
一、空间向量基本定理
1.如果三个向量a,b,c不共面 ,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc .我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底 ,a,b,c都叫做基向量 .空间任意三个不共面 的向量都可以构成空间的一个基底
2.基向量的选择和使用方法
用已知向量表示未知向量时,选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行,选择和使用向
量应注意:
(1)所选向量必须不共面,可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断;
(2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运算表示未知
向量;
(3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底.【解读】
3.用基底表示向量的步骤
(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则或平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
(3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量,即结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.
二空间向量的正交分解
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直 ,且长度都为1 ,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i, j,k}表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
【考点剖析】
考点一：对平面向量基本定理的理解
例1．(多选)(2022学年河北省邯郸市高二上学期期末)已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是( )
A．若，则
B．，，两两共面，但，，不共面
C．一定存在实数x，y，使得
D．，，一定能构成空间的一个基底
【答案】ABD
【解析】∵，，是空间的一个基底，则，，不共面，且两两共面､不共线，
∴若，则，A正确，B正确；
若存在x，y使得，则，，共面，与已知矛盾，C错误；
设，则，此方程组无解，
∴，，不共面，D正确.故选ABD.
考点二：对基底的理解
例2．设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】如图，作平行六面体，，，，
则，，，，
由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，
因此可以作为空间的基底的有3组．故选C．
考点三：选择基底表示某一向量
例3．(2022学年河南省郑州市高二上学期期末)已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】.故选A
考点四：选择基底求解向量的模或线段长度
例4．(2022学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中)如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，，
因为
,所以
，所以，故选C
考点五：选择基底求解角度问题
例6．(2022学年重庆市四川外语学院高二上学期10月月考)二面角的棱上有两个点、，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为_________.
【答案】
【解析】设平面与平面的夹角为，因为，，
所以，由题意得，所以
所以，所以，所以，即平面与平面的夹角为.
考点六：选择基底求解数量积问题
例7．(2022学年江苏省南通市海安市实验中学高二下学期期中)已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则( )
A．1B．2C．-1D．-2
【答案】D
【解析】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，
则，
因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，
，
所以.故选D
【真题演练】
1. (2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期期中)已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有( )
A．，，共线B．O，A，B，C中至少有三点共线
C．与共线D．O，A，B，C四点共面
【答案】D
【解析】由于向量，，不能构成空间的一个基底知，，共面，所以O，A，B，C四点共面，故选D
2. (2022学年福建省福安市第一中学高二下学期第三次月考)如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，.
故选D
3.(2022学年安徽省六安中学高二上学期期中)如图，已知空间四边形，其对角线为，分别为的中点，点在线段上，，若，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，
又，
所以，．故选C．
4. (2022学年福建省福州市八县(市)一中高二上学期期中)若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是( )
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】由于不共面,可A,B,D中三个向量也不共面,可以作为一组基向量.对于C,有，故这三个向量是共面的,不能构成基底.故选ABD
5.(多选) (2022学年福建省福州市高二下学期期中)如图，在平行六面体中，，，．若，，则( )
A．B．
C．A，P，三点共线D．A，P，M，D四点共面
【答案】BD
【解析】，A选项错误.
，B选项正确.
则是的中点，
，
，
则不存在实数使，所以C选项错误.
，
由于直线，所以四点共面，所以D选项正确.
故选BD
6. (多选)(2022学年上海市控江中学高二下学期期中)如图，在四面体中，是的中点，设，，，请用､､的线性组合表示___________.
【答案】
【解析】在中，因为是的中点，所以，
所以.
7. (2022学年河北省邯郸市高二上学期期末)已知平行六面体的棱长均为4，，E为棱的中点，则___________.
【答案】6
【解析】设，，，则，
∴，
∴.
8.(2022学年江苏省徐州市王杰中学高二下学期3月阶段性测试)如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，，，，求的值．
【解析】 (1)解：，
，
又
(2)解：由(1)可得知
【过关检测】
1.(2022学年江苏省苏州市昆山市七校高二上学期12月联考)如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形．若，且，则的长为( )
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】，故
，
故，故选A
2. (2022学年广东省佛山市南海区桂城中学高二下学期第二次段考)四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由已知，
所以，，故选D.
3. (2022学年广东省揭阳市揭西县高二上学期期末)若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是( )
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】B
【解析】对于A：，因此A不满足题意；
对于B：根据题意知道，，不共面，而和显然位于向量和向量所成平面内，与向量不共面，因此B正确；
对于C：，故C不满足题意；
对于D：显然有，选项D不满足题意． 故选B
4.(2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期3月月考)已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，
所以，，
所以，
又点Р在正方体表面上运动，
所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；
所以，
所以的取值范围为，故选B
5. (多选)(2022学年江苏省徐州市沛县高二下学期第一次学情调研)若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A．，，B．，，C．，，D．，，
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，故，，共面；
对于B，因为，故，，共面；
对于D，因为，故，，共面；
对于C，若，，共面，则存在实数，使得：，
，故共面，
这与构成空间的一个基底矛盾，故选ABD
6. (多选)(2022学年江苏省镇江中学高二下学期期中)如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是( )
A．B．
C．的长为D．
【答案】BD
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A选项，，A错误，
对于B选项，，B正确：
对于C选项，，则，
则，C错误：
对于，则，D正确.
故选BD.
7．(多选)(2022学年浙江省金华市曙光学校高二上学期10月月考)已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且(，)，则，的值可能为( )
A．，B．，C．，D．，
【答案】CD
【解析】因为点为三棱锥的底面所在平面内的一点，
所以由平面向量基本定理可知：
，
化简得：，显然有，
而，所以有，
当，时，，所以选项A不可能；
当，时，，所以选项B不可能；
当，时，，所以选项C可能；
当，时，，所以选项D可能，
故选CD
8. (2022学年陕西省宝鸡市渭滨区高二上学期期末)已知向量，，不共线，点在平面内，若存在实数，，，使得，那么的值为________.
【答案】1
【解析】因为点在平面内，则由平面向量基本定理得：存在，使得：
即，整理得：，
又，所以，，，从而.
9. (2022学年河南省名校联盟高二上学期期末)在平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，，若，则___________.
【答案】
【解析】
.
10. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长．
【解析】因为是的中点，底面是正方形，
所以
，
又由题意，可得，，，，
，
因此
，
所以，即的长为.