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考点12二次函数（精练）2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版
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这是一份考点12二次函数（精练）2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版，文件包含考点12二次函数精练原卷版docx、考点12二次函数精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
1．（2023·广东云浮·校考一模）关于x的函数是二次函数的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵是二次函数，∴，解得：，故选A．
【点睛】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0．
2．（2023·重庆·九年级校考阶段练习）若抛物线C1与抛物线C2关于原点成中心对称，其中C1的解析式为，则C2的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】关于原点对称的两个函数的函数图象上的对应点也关于原点对称，再结合关于原点对称的两个点的坐标关系可得答案.
【详解】解：∵抛物线C1与抛物线C2关于原点成中心对称，C1的解析式为，
∴C2解析式为： 整理得： 故选：A.
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“关于原点对称的两个函数的函数图象上的对应点也关于原点对称”是解本题的关键.
3.（2023·广东·校考二模）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴b＜0，
A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴与b＜0矛盾，B错误；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴与b＜0矛盾，C错误；
D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＜0，b＜0，c＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
4．（2023·山东·中考模拟）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．
【详解】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个；故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
5.（2023.湖北.中考模拟）下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线B．图象与轴没有交点
C．当时，随增大而增大D．图象的顶点坐标是
【答案】D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点个数，由此解答即可．
【详解】解：A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、，，
即图象与轴有两个交点，故此选项不符合题意；
C、抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随增大而减小，故此选项不符合题意；
D、，图象的顶点坐标是，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
6．（2023·山东德州·九年级校考阶段练习）已知，，是抛物线上的点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线的增减性的应用，计算对称轴，比较点与对称轴的距离大小，结合性质判断即可．
【详解】∵抛物线，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，距离对称轴越远的点的函数值越小，
∵，∴，故选：B．
7．（2023上·河北廊坊·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当自变量取两个不同的值，时，函数值相等，则当自变量取时函数值与（ ）
A．时的函数值相等 B．时的函数值相等 C．时的函数值相等 D．时的函数值相等
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的轴对称性质，根据解析式找到对称轴，结合对称性求解即可得到答案；
【详解】解：二次函数的对称轴为：，
∵自变量取两个不同的值，时，函数值相等，∴，∴的对称点为：，
∴当自变量取时函数值与时的函数值相等，故选：D．
8．（2023·浙江·统考一模）二次函数，当时，若图象上的点到x轴距离的最大值为4，则m的值为（ ）
A．-1或1B．-1或1或3C．1或3D．-1或3
【答案】D
【分析】按对称轴所在位置情况进行分别作图，由二次函数图像性质可知取到轴距离的最大值的点是图像顶点或两端点，分类讨论即可．
【详解】解：由题意得，抛物线开口向上，对称轴为直线．
当时，，记作顶点M）；
当时，；记作点P（1，）；当时，，记作点Q（0，-3）；
当时，图象上的点到轴距离的最大值为4，
I．若图像位于抛物线对称轴右侧，即对称轴，如图1：
则点Q为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，此时有 ，解得：，
II．若对称轴在PQ两点之间（包含PQ两点）时，即：对称轴满足，如图2，
①若P为为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，则 ，此时无解，
②若M为为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，则，，解得：，
III．若图像位于抛物线对称轴左侧，即对称轴，如图3：
此时P为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，则，
，此时没有符合的解，综上，或3，故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，根据二次函数图像的性质找到到轴距离的最大值是解题关键．
9．（2023·山东济南·校考模拟预测）已知抛物线，现将其图象向上平移个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】二次函数图象平移中，将和时代入直线和抛物线解析式，当点重合时求出的值，从而获得的取值范围．
【详解】抛物线的解析式为，时，，
将代入得，，
将代入和中得，，
，解得，（舍，
当直线与抛物线相切时，，则，
，则，解得，
的取值范围为．故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键．
10．（2023·广东·校联考模拟预测）二次函数与轴的两个交点横坐标，满足．当时，该函数有最大值，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据已知条件求出，与关系，再根据根与系数的关系以及分类讨论即可．
【详解】解：∵当时，该函数有最大值，
∴，解得：，∴，，
∵，∴，至少有一个负数，
当，都小于时，，不符合题意，
当，时，，∴，∴，解得：，
当，时，，∴，
∴，解得：，综上所述，的值为．故选：A．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
11．（2023上·山西太原·九年级校考阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可．
【详解】解：根据题意，得展开得：
整理得： 根据题意，得解得：．
∴y与x之间的函数关系式为，故答案为：
12．（2023·四川南充·统考二模）如图，平移抛物线，使顶点在线段上运动，与x轴交于，D两点．若，，四边形的面积为，则 ．
【答案】
【分析】根据梯形面积求出，结合一元二次方程根与系数的关系及完全平方公式之间关系化简即可得到答案；
【详解】四边形是梯形，下底，高为3，
由，得，设，，则，，
∵，∴．∴．∴①，
又顶点纵坐标②，①÷②，得，∴，故答案为；
【点睛】本题考查二次函数性质与几何图形应用，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系及二次函数的性质．
13．（2023·四川成都·统考二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，则 ；若，则m的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】若，先求二次函数的对称轴，再利用二次函数的对称性对称两点的横坐标之和的一半等于对称轴横坐标即可解答；若，分两种情况：当对称轴在y轴右侧时，当对称轴在y轴左侧时，结合二次函数图象的特性分别进行解答即可．
【详解】解：二次函数图象开口向上，对称轴是直线，
①∵，∴点P、Q关于对称轴对称，∴，解得；
②∵抛物线与y轴的交点为，当时，或，
∴与关于对称轴对称，当对称轴在y轴右侧时，，
∵，∴，且，解得；
当对称轴在y轴左侧时，，此时，
P、Q两点都在对称轴的右侧，y的值随x值增大而增大，
∵，∴，解得；
∴综上，m的取值范围是或．故答案为：；或．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质，并能够熟练运用数形结合是解题关键．
14．（2023·山东·统考一模）若不等式对恒成立则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将不等式整理得，当x=0时，-6＜0，不等式不成立，得出x≠0，令y=，y是关于a的一次函数，即，根据一次函数的性质得出x2＞0，关于a的函数y随a的增大而增大，当a=-1时，当时y＞0恒成立，解不等式即可
【详解】解：不等式整理得
当x=0时，-6＜0，不等式不成立，∴x≠0，令y=,
∴y是关于a的一次函数，即，∵x2＞0，关于a的函数y随a的增大而增大，
当a=1时，，当a=-1时，，
当时y＞0恒成立，∴＞0，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的性质，二次不等式，掌握一次函数的性质，二次不等式解法是解题关键，
15．（2023·浙江·统考二模）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点为，点A和点B均在直线上．①；②；③抛物线与x轴的另一个交点为；④方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为．上述五个结论中，其中正确的结论是 （填写序号即可）．
【答案】①⑤/⑤①
【分析】根据抛物线的对称轴是，即可判断①；由抛物线的开口方向，对称轴以及图象与坐标轴的交点位置得出的取值范围，即可判断②；利用抛物线的对称性可得出抛物线与x轴的另一个交点为，即可判断③；利用抛物线与直线只有一个交点，即可判断④；结合一次函数和二次函数的图象即可判断⑤．
【详解】∵抛物线的对称轴是，∴，即．故①正确；
∵抛物线开口向上，∴．∴．
∵抛物线与轴的交点在轴下方，∴．∴．故②错误；
∵抛物线的对称轴是，抛物线与x轴的一个交点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为．故③错误；
∵抛物线的顶点坐标为，∴抛物线与直线只有一个交点．
∴方程有两个相等的实数根．故④错误；
∵当时，，∴不等式的解集为．故⑤正确；故答案是①⑤．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象，二次函数与方程，利用一次函数与二次函数的图象求不等式的解集等知识，准确识图，从图象中获取相关信息是解题的关键，体现了数形结合的数形思想．
16．（2023·湖南岳阳·校考一模）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则的最大值为
【答案】8
【分析】由二次函数解析式求出对称轴，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的的取值范围，将转化为二次函数求最值即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线：，
①当时，抛物线开口向上，∵时，y随x的增大而减小，
∴，即．解得，∴，
∵，∴．
②当时，抛物线开口向下，∵时，y随x的增大而减小，
∴，即，解得， ∴，
∵，当时，有最大值，
∵，∴此情况不存在．综上所述，最大值为8．
【点睛】本题考查二次函数的性质．解题的关键是将的最大值转化为二次函数求最值．
17．（2023·浙江宁波·校考模拟预测）已知关于的方程的两个根分别是，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为 ．
【答案】
【分析】先利用一元二次方程根与系数的的关系得出，，进而得出，B点的纵坐标为，将点的坐标代入二次函数解析式，解方程求得，进而即可求解．
【详解】解：∵，∴，，
∴，∴，令，∴，
∵轴，∴轴，∴B点的纵坐标为，
把代入，得，
解得，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的性质、抛物线与x轴的交点以及根与系数的关系，把求二次函数 (是常数，) 与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．
18．（2023·广西贺州·统考模拟预测）如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点A(，)，与x轴交于点B，当时，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】过A作AC⊥x轴于C，则当x取值在CB之间时，即有，所以只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答．
【详解】解：如图，过A作AC⊥x轴于C，令，则：，解得：x=0或4，所以=4，
由题意可得=，所以当，．故答案为．
【点睛】本题考查函数图象应用，正确求解函数图象交点坐标及函数图象与坐标轴的交点坐标是解题关键．
19．（2024·江苏无锡·校考模拟预测）二次函数的图像与x轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为 ．
【答案】或或
【分析】先求得，，，直线解析式为，直线的解析式为，1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，直线过中点，②如图2，直线过中点，直线解析式为，中点坐标为，待入直线求得；③如图3，直线过中点，中点坐标为，直线与轴平行，必不成立；2）当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为．④如图4，直线，根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5，直线，⑥如图6，直线，同理可得，进而根据，即可求解．
【详解】解：由，令，解得：，令，解得：，
∴，，，设直线解析式为，
∴解得：
∴直线解析式为，当时，，则直线与y轴交于，
∵，∴，∴点必在内部．
1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线
设直线的解析式为
∴解得：则直线的解析式为
①如图1，直线过中点，中点坐标为，代入直线求得，不成立；
②如图2，直线过中点，直线解析式为，
中点坐标为，待入直线求得；
③如图3，直线过中点，中点坐标为，直线与轴平行，必不成立；
2）、当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为．④如图4，直线，∴
∴，∴，解得；
⑤如图5，直线，，则∴，又，∴，
∵，∴不成立；
⑥如图6，直线，同理可得，
∴，，，∴，解得；
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．
20．（2023·浙江杭州·校考二模）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（a，b是常数，a≠0）的函数值相等．(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．(2)若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a，b的值．(3)记（2）中的抛物线为y1，将抛物线y1向上平移2个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，求m的值．
【答案】(1)函数表达式为：，顶点坐标为(2)，(3)
【分析】（1）根据当和时，二次函数的函数值相等，求出抛物线对称轴，再根据该函数的最大值为1，可写出抛物线的顶点式和顶点坐标，即可解答；
（2）根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，得出的判别式，以及，可求出a，b的值；（3）根据（2）中抛物线的解析式，再根据二次函数的平移规律求出平移后的解析式，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵当和时，二次函数（a，b是常数，）的函数值相等，∴二次函数的对称轴为直线，∵该函数的最大值为1，∴该函数的顶点坐标为，
设函数的解析式为，即，∴，解得，
∴函数表达式为：，∴该函数的顶点坐标为；
（2）∵该函数的图象与x轴有且只有一个交点，
∴一元二次方程，该函数的顶点坐标为，∴，
∵对称轴为，∴，将代入中，解得（舍去），，
∴，∴，；
（3）由（2）可得的解析式为：，
∵将抛物线向上平移2个单位得到抛物线，∴，即
∴当时，，
∵的顶点坐标为，且当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，
且，∴，随x的增大而增大，
∴当时，，，
∴，∴，∴，∵，∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与x轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
限时检测2：最新各地中考真题（60分钟）
1．（2023年江苏省南通市中考数学真题）若实数，，满足，，则代数式的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：依题意，，解得：
设∴
∵∴有最大值，最大值为故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）已知二次函数，下列说法正确的是( )
A．点在该函数的图象上 B．当且时，
C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，当时：，
∵，∴，即：点不在该函数的图象上，故A选项错误；
当时，，∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，，∴当时，有最大值为，
当时，有最小值为，∴，故B选项错误；
∵，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；
当时，抛物线的对称轴为：，
∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
3．（2023·四川自贡·中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）
A．10B．12C．13D．15
【答案】B
【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线
∵抛物线经过两点∴，即，
∴，
∵抛物线与轴有交点，∴，即，
即，即，∴，，
∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2023·四川绵阳·统考中考真题）将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b＞8B．b＞﹣8C．b≥8D．b≥﹣8
【答案】D
【分析】先根据平移原则：上加下减，左加右减写出解析式，再列方程组，有公共点则△≥0，则可求出b的取值．
【详解】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：，
则，，，
△=（﹣8）2﹣4×1×（8﹣b）≥0，b≥﹣8，故选：D．
【点睛】主要考查的是二次函数图象的平移和两函数的交点问题，二次函数与一次函数图象有公共点．
5．（2023年甘肃省兰州市中考数学真题）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为B．顶点坐标为C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．
【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为
∵∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为
∴A、B、D选项错误，C选项正确故选：C
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
6．（2022·浙江温州·中考真题）已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】画出二次函数的图象，利用数形结合的思想即可求解．
【详解】解：当时，画出图象如图所示，
根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项C错误，选项D正确；
当时，画出图象如图所示，
根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项A、B都错误；故选：D
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，借助图象，利用数形结合的思想解题的解决问题的关键．
7．（2023年湖北省中考数学真题）拋物线与轴相交于点．下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，且，则．其中正确的结论有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】二次函数整理得，推出，可判断①错误；根据二次函数的的图象与x轴的交点个数可判断②正确；由，代入可判断③正确；根据二次函数的性质及数形结合思想可判断④错误．
【详解】解：①由题意得：，∴，
∵，∴，∴，故①错误；
②∵抛物线与x轴相交于点．
∴有两个不相等的实数根，∴，故②正确；
③∵，∴，故③正确；
④∵抛物线与x轴相交于点．∴抛物线的对称轴为：，
当点在抛物线上，且，
∴或，解得：，故④错误，综上，②③正确，共2个，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．
8．（2023年青海省西宁市中考数学真题）直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；②抛物线与x轴一定有两个交点
③关于x的方程有两个根，；④若，当或时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①④
【答案】B
【分析】①可得，从而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判断抛物线也过，从而可得方程的一个根为，可求抛物线的对称轴为直线，从而可得抛物线与轴的另一个交点为，即可求解；④当，当时，，即可求解．
【详解】解：①直线经过点，，，
抛物线的对称轴为直线，故①正确；
②，由①得，，，，
抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；
③当时，，抛物线也过，
由得方程，方程的一个根为，
抛物线，，
抛物线的对称轴为直线，
与轴的一个交点为，，解得：，
抛物线与轴的另一个交点为，
关于x的方程有两个根，，故③正确；
④当，当时，，故④错误；故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键．
9．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可．
【详解】解：∵二次函数，∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，
∵点是该函数图象上一点，当时，，
∴①当时，对称轴，此时，当时，，即，解得；
②当时，对称轴，当时，随增大而减小，则当时，恒成立；
综上，的取值范围是：或．故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
10.（2023年浙江省杭州市中考数学真题）设二次函数是实数，则（ ）
A．当时，函数的最小值为B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为D．当时，函数的最小值为
【答案】A
【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解．
【详解】解：令，则，解得：，，
∴抛物线对称轴为直线
当时， 抛物线对称轴为直线，把代入，得，
∵∴当，时，y有最小值，最小值为．故A正确，B错误；
当时， 抛物线对称轴为直线，把代入，得，
∵∴当，时，y有最小值，最小值为，故C、D错误，故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题关键．
11．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．
【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，和至少有一个交点，
令，整理得：，
则，解得，
，∴，
∴或
当时，，即，解得，
当时，，即，解得，
综上，c的取值范围是，故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题，熟练掌握相关性质是关键．
12．（2023年四川省巴中市中考数学真题）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，则下列结论正确的个数为（ ）
①；②；③当线段长取最小值时，则的面积为；
④若点，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数与一次函数的图象和性质，根与系数的关系，进行解答，即可．
【详解】直线与抛物线交于、两点，
∴，整理得：，∴，∴正确；
∵，解得：，，
∴，，∴；∴正确；
∵，当时，即轴时，有最小值，
∴，∴；∴正确；
当点时，假设，则：是直角三角形，
取的中点为点，连接，∴，
∵，∴，，
∴点，∴点，∵点，∴，
∴时，，即与不一定垂直；∴错误；∴正确的为：．故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，直角三角形的性质，两点间的距离公式．
13．（2023年湖北省十堰市中考数学真题）已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为
联立解得：或∴，
由，则，对称轴为直线，
设，则点在上，
∵且，∴点在点的左侧，即，，
当时，对于，当，，此时，
∴，∴∵对称轴为直线，则，
∴的取值范围是，故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键．
14.（2023年广东广州中考数学真题）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”）
【答案】
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：的对称轴为y轴，∵，∴开口向上，当时， y随x的增大而增大，
∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．
15．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．
【答案】4
【分析】与抛物线与x轴相交于点、点，可得抛物线的对称轴为直线，由轴，可得，关于直线对称，可得，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线与x轴相交于点、点，
∴抛物线的对称轴为直线，∵当时，，即，
∵轴，∴，关于直线对称，∴，∴；故答案为：4
【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键．
16．（2023·四川·统考中考真题）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为___________．
【答案】或
【分析】根据题意与x轴的交点坐标和它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标关于y轴对称，再进行分类讨论，即和两种情况，求出与x轴的交点坐标，即可解答．
【详解】解：①当时，函数的解析式为，此时函数的图象与x轴只有一个交点成立，
当时，可得，解得，与x轴的交点坐标为，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为；
①当时，函数的图象与x轴只有一个交点，
，即，解得，
函数的解析式为，当时，可得，解得，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为，
综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为或，故答案为：或．
【点睛】本题考查了轴对称，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点问题，理解题意，进行分类讨论是解题的关键．
17．（2023年山东省青岛市中考数学真题）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是 ．（只填写序号）
【答案】①③
【分析】依据题意，根据所给图象可以得出，，再结合对称轴，同时令，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．
【详解】解：由图象可得，，，又，．．①正确．
由题意，令，．
又二次函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为2，的两根之和为，两根之积为．
，．．又，．②错误，③正确．
，，．④错误．故答案为：①③．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
18．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．
【答案】①③④
【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，∵一元二次方程，∴；
∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确；
当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误；抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；由，则，解得：或；故④正确；
∴正确的结论有①③④；故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．
19．（2023·江苏·统考中考真题）已知二次函数（为常数）．
(1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为，
①则的值是_______，点的坐标是_______；②当时，借助图像，求自变量的取值范围；
(2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；(3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
【答案】(1)①②或(2)(3)
【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可；（2）求出二次函数的最小值，即可得解；
（3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为，
∴，∴，∴，
∴当时，，∴，
∴点的坐标是；故答案为：；
②，列表如下：
画出函数图像如下：
由图可知：当时，或；
（2）∵，∴当时，有最小值为；
∵对于一切实数，若函数值总成立，∴；
（3）∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为，
又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，
∴关于对称轴对称，∴，∴，
∴，∴，
当时，有最小值，∴．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．
20．（2022·贵州遵义·中考真题）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．(1)写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；
(2)若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．
①当时，求点的坐标；②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【答案】(1)，顶点为(2)①或；②或．
【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①设，则，，根据题意建立方程解方程即可求解；②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．
(1)解：抛物线的“关联抛物线”为，
根据题意可得，的解析式
顶点为
(2)解：①设，则，
∴
当时，解得，当时，方程无解或
②的解析式
顶点为，对称轴为
， 当时，即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，且即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为即
即解得（舍去） 综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．
1
3
4
5
0
0
5
1．（2023·广东云浮·校考一模）关于x的函数是二次函数的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵是二次函数，∴，解得：，故选A．
【点睛】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0．
2．（2023·重庆·九年级校考阶段练习）若抛物线C1与抛物线C2关于原点成中心对称，其中C1的解析式为，则C2的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】关于原点对称的两个函数的函数图象上的对应点也关于原点对称，再结合关于原点对称的两个点的坐标关系可得答案.
【详解】解：∵抛物线C1与抛物线C2关于原点成中心对称，C1的解析式为，
∴C2解析式为： 整理得： 故选：A.
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“关于原点对称的两个函数的函数图象上的对应点也关于原点对称”是解本题的关键.
3.（2023·广东·校考二模）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴b＜0，
A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴与b＜0矛盾，B错误；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴与b＜0矛盾，C错误；
D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＜0，b＜0，c＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
4．（2023·山东·中考模拟）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．
【详解】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个；故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
5.（2023.湖北.中考模拟）下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线B．图象与轴没有交点
C．当时，随增大而增大D．图象的顶点坐标是
【答案】D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点个数，由此解答即可．
【详解】解：A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、，，
即图象与轴有两个交点，故此选项不符合题意；
C、抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随增大而减小，故此选项不符合题意；
D、，图象的顶点坐标是，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
6．（2023·山东德州·九年级校考阶段练习）已知，，是抛物线上的点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线的增减性的应用，计算对称轴，比较点与对称轴的距离大小，结合性质判断即可．
【详解】∵抛物线，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，距离对称轴越远的点的函数值越小，
∵，∴，故选：B．
7．（2023上·河北廊坊·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当自变量取两个不同的值，时，函数值相等，则当自变量取时函数值与（ ）
A．时的函数值相等 B．时的函数值相等 C．时的函数值相等 D．时的函数值相等
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的轴对称性质，根据解析式找到对称轴，结合对称性求解即可得到答案；
【详解】解：二次函数的对称轴为：，
∵自变量取两个不同的值，时，函数值相等，∴，∴的对称点为：，
∴当自变量取时函数值与时的函数值相等，故选：D．
8．（2023·浙江·统考一模）二次函数，当时，若图象上的点到x轴距离的最大值为4，则m的值为（ ）
A．-1或1B．-1或1或3C．1或3D．-1或3
【答案】D
【分析】按对称轴所在位置情况进行分别作图，由二次函数图像性质可知取到轴距离的最大值的点是图像顶点或两端点，分类讨论即可．
【详解】解：由题意得，抛物线开口向上，对称轴为直线．
当时，，记作顶点M）；
当时，；记作点P（1，）；当时，，记作点Q（0，-3）；
当时，图象上的点到轴距离的最大值为4，
I．若图像位于抛物线对称轴右侧，即对称轴，如图1：
则点Q为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，此时有 ，解得：，
II．若对称轴在PQ两点之间（包含PQ两点）时，即：对称轴满足，如图2，
①若P为为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，则 ，此时无解，
②若M为为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，则，，解得：，
III．若图像位于抛物线对称轴左侧，即对称轴，如图3：
此时P为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，则，
，此时没有符合的解，综上，或3，故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，根据二次函数图像的性质找到到轴距离的最大值是解题关键．
9．（2023·山东济南·校考模拟预测）已知抛物线，现将其图象向上平移个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】二次函数图象平移中，将和时代入直线和抛物线解析式，当点重合时求出的值，从而获得的取值范围．
【详解】抛物线的解析式为，时，，
将代入得，，
将代入和中得，，
，解得，（舍，
当直线与抛物线相切时，，则，
，则，解得，
的取值范围为．故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键．
10．（2023·广东·校联考模拟预测）二次函数与轴的两个交点横坐标，满足．当时，该函数有最大值，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据已知条件求出，与关系，再根据根与系数的关系以及分类讨论即可．
【详解】解：∵当时，该函数有最大值，
∴，解得：，∴，，
∵，∴，至少有一个负数，
当，都小于时，，不符合题意，
当，时，，∴，∴，解得：，
当，时，，∴，
∴，解得：，综上所述，的值为．故选：A．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
11．（2023上·山西太原·九年级校考阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可．
【详解】解：根据题意，得展开得：
整理得： 根据题意，得解得：．
∴y与x之间的函数关系式为，故答案为：
12．（2023·四川南充·统考二模）如图，平移抛物线，使顶点在线段上运动，与x轴交于，D两点．若，，四边形的面积为，则 ．
【答案】
【分析】根据梯形面积求出，结合一元二次方程根与系数的关系及完全平方公式之间关系化简即可得到答案；
【详解】四边形是梯形，下底，高为3，
由，得，设，，则，，
∵，∴．∴．∴①，
又顶点纵坐标②，①÷②，得，∴，故答案为；
【点睛】本题考查二次函数性质与几何图形应用，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系及二次函数的性质．
13．（2023·四川成都·统考二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，则 ；若，则m的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】若，先求二次函数的对称轴，再利用二次函数的对称性对称两点的横坐标之和的一半等于对称轴横坐标即可解答；若，分两种情况：当对称轴在y轴右侧时，当对称轴在y轴左侧时，结合二次函数图象的特性分别进行解答即可．
【详解】解：二次函数图象开口向上，对称轴是直线，
①∵，∴点P、Q关于对称轴对称，∴，解得；
②∵抛物线与y轴的交点为，当时，或，
∴与关于对称轴对称，当对称轴在y轴右侧时，，
∵，∴，且，解得；
当对称轴在y轴左侧时，，此时，
P、Q两点都在对称轴的右侧，y的值随x值增大而增大，
∵，∴，解得；
∴综上，m的取值范围是或．故答案为：；或．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质，并能够熟练运用数形结合是解题关键．
14．（2023·山东·统考一模）若不等式对恒成立则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将不等式整理得，当x=0时，-6＜0，不等式不成立，得出x≠0，令y=，y是关于a的一次函数，即，根据一次函数的性质得出x2＞0，关于a的函数y随a的增大而增大，当a=-1时，当时y＞0恒成立，解不等式即可
【详解】解：不等式整理得
当x=0时，-6＜0，不等式不成立，∴x≠0，令y=,
∴y是关于a的一次函数，即，∵x2＞0，关于a的函数y随a的增大而增大，
当a=1时，，当a=-1时，，
当时y＞0恒成立，∴＞0，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的性质，二次不等式，掌握一次函数的性质，二次不等式解法是解题关键，
15．（2023·浙江·统考二模）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点为，点A和点B均在直线上．①；②；③抛物线与x轴的另一个交点为；④方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为．上述五个结论中，其中正确的结论是 （填写序号即可）．
【答案】①⑤/⑤①
【分析】根据抛物线的对称轴是，即可判断①；由抛物线的开口方向，对称轴以及图象与坐标轴的交点位置得出的取值范围，即可判断②；利用抛物线的对称性可得出抛物线与x轴的另一个交点为，即可判断③；利用抛物线与直线只有一个交点，即可判断④；结合一次函数和二次函数的图象即可判断⑤．
【详解】∵抛物线的对称轴是，∴，即．故①正确；
∵抛物线开口向上，∴．∴．
∵抛物线与轴的交点在轴下方，∴．∴．故②错误；
∵抛物线的对称轴是，抛物线与x轴的一个交点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为．故③错误；
∵抛物线的顶点坐标为，∴抛物线与直线只有一个交点．
∴方程有两个相等的实数根．故④错误；
∵当时，，∴不等式的解集为．故⑤正确；故答案是①⑤．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象，二次函数与方程，利用一次函数与二次函数的图象求不等式的解集等知识，准确识图，从图象中获取相关信息是解题的关键，体现了数形结合的数形思想．
16．（2023·湖南岳阳·校考一模）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则的最大值为
【答案】8
【分析】由二次函数解析式求出对称轴，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的的取值范围，将转化为二次函数求最值即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线：，
①当时，抛物线开口向上，∵时，y随x的增大而减小，
∴，即．解得，∴，
∵，∴．
②当时，抛物线开口向下，∵时，y随x的增大而减小，
∴，即，解得， ∴，
∵，当时，有最大值，
∵，∴此情况不存在．综上所述，最大值为8．
【点睛】本题考查二次函数的性质．解题的关键是将的最大值转化为二次函数求最值．
17．（2023·浙江宁波·校考模拟预测）已知关于的方程的两个根分别是，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为 ．
【答案】
【分析】先利用一元二次方程根与系数的的关系得出，，进而得出，B点的纵坐标为，将点的坐标代入二次函数解析式，解方程求得，进而即可求解．
【详解】解：∵，∴，，
∴，∴，令，∴，
∵轴，∴轴，∴B点的纵坐标为，
把代入，得，
解得，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的性质、抛物线与x轴的交点以及根与系数的关系，把求二次函数 (是常数，) 与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．
18．（2023·广西贺州·统考模拟预测）如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点A(，)，与x轴交于点B，当时，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】过A作AC⊥x轴于C，则当x取值在CB之间时，即有，所以只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答．
【详解】解：如图，过A作AC⊥x轴于C，令，则：，解得：x=0或4，所以=4，
由题意可得=，所以当，．故答案为．
【点睛】本题考查函数图象应用，正确求解函数图象交点坐标及函数图象与坐标轴的交点坐标是解题关键．
19．（2024·江苏无锡·校考模拟预测）二次函数的图像与x轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为 ．
【答案】或或
【分析】先求得，，，直线解析式为，直线的解析式为，1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，直线过中点，②如图2，直线过中点，直线解析式为，中点坐标为，待入直线求得；③如图3，直线过中点，中点坐标为，直线与轴平行，必不成立；2）当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为．④如图4，直线，根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5，直线，⑥如图6，直线，同理可得，进而根据，即可求解．
【详解】解：由，令，解得：，令，解得：，
∴，，，设直线解析式为，
∴解得：
∴直线解析式为，当时，，则直线与y轴交于，
∵，∴，∴点必在内部．
1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线
设直线的解析式为
∴解得：则直线的解析式为
①如图1，直线过中点，中点坐标为，代入直线求得，不成立；
②如图2，直线过中点，直线解析式为，
中点坐标为，待入直线求得；
③如图3，直线过中点，中点坐标为，直线与轴平行，必不成立；
2）、当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为．④如图4，直线，∴
∴，∴，解得；
⑤如图5，直线，，则∴，又，∴，
∵，∴不成立；
⑥如图6，直线，同理可得，
∴，，，∴，解得；
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．
20．（2023·浙江杭州·校考二模）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（a，b是常数，a≠0）的函数值相等．(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．(2)若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a，b的值．(3)记（2）中的抛物线为y1，将抛物线y1向上平移2个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，求m的值．
【答案】(1)函数表达式为：，顶点坐标为(2)，(3)
【分析】（1）根据当和时，二次函数的函数值相等，求出抛物线对称轴，再根据该函数的最大值为1，可写出抛物线的顶点式和顶点坐标，即可解答；
（2）根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，得出的判别式，以及，可求出a，b的值；（3）根据（2）中抛物线的解析式，再根据二次函数的平移规律求出平移后的解析式，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵当和时，二次函数（a，b是常数，）的函数值相等，∴二次函数的对称轴为直线，∵该函数的最大值为1，∴该函数的顶点坐标为，
设函数的解析式为，即，∴，解得，
∴函数表达式为：，∴该函数的顶点坐标为；
（2）∵该函数的图象与x轴有且只有一个交点，
∴一元二次方程，该函数的顶点坐标为，∴，
∵对称轴为，∴，将代入中，解得（舍去），，
∴，∴，；
（3）由（2）可得的解析式为：，
∵将抛物线向上平移2个单位得到抛物线，∴，即
∴当时，，
∵的顶点坐标为，且当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，
且，∴，随x的增大而增大，
∴当时，，，
∴，∴，∴，∵，∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与x轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
限时检测2：最新各地中考真题（60分钟）
1．（2023年江苏省南通市中考数学真题）若实数，，满足，，则代数式的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：依题意，，解得：
设∴
∵∴有最大值，最大值为故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）已知二次函数，下列说法正确的是( )
A．点在该函数的图象上 B．当且时，
C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，当时：，
∵，∴，即：点不在该函数的图象上，故A选项错误；
当时，，∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，，∴当时，有最大值为，
当时，有最小值为，∴，故B选项错误；
∵，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；
当时，抛物线的对称轴为：，
∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
3．（2023·四川自贡·中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）
A．10B．12C．13D．15
【答案】B
【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线
∵抛物线经过两点∴，即，
∴，
∵抛物线与轴有交点，∴，即，
即，即，∴，，
∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2023·四川绵阳·统考中考真题）将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b＞8B．b＞﹣8C．b≥8D．b≥﹣8
【答案】D
【分析】先根据平移原则：上加下减，左加右减写出解析式，再列方程组，有公共点则△≥0，则可求出b的取值．
【详解】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：，
则，，，
△=（﹣8）2﹣4×1×（8﹣b）≥0，b≥﹣8，故选：D．
【点睛】主要考查的是二次函数图象的平移和两函数的交点问题，二次函数与一次函数图象有公共点．
5．（2023年甘肃省兰州市中考数学真题）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为B．顶点坐标为C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．
【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为
∵∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为
∴A、B、D选项错误，C选项正确故选：C
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
6．（2022·浙江温州·中考真题）已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】画出二次函数的图象，利用数形结合的思想即可求解．
【详解】解：当时，画出图象如图所示，
根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项C错误，选项D正确；
当时，画出图象如图所示，
根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项A、B都错误；故选：D
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，借助图象，利用数形结合的思想解题的解决问题的关键．
7．（2023年湖北省中考数学真题）拋物线与轴相交于点．下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，且，则．其中正确的结论有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】二次函数整理得，推出，可判断①错误；根据二次函数的的图象与x轴的交点个数可判断②正确；由，代入可判断③正确；根据二次函数的性质及数形结合思想可判断④错误．
【详解】解：①由题意得：，∴，
∵，∴，∴，故①错误；
②∵抛物线与x轴相交于点．
∴有两个不相等的实数根，∴，故②正确；
③∵，∴，故③正确；
④∵抛物线与x轴相交于点．∴抛物线的对称轴为：，
当点在抛物线上，且，
∴或，解得：，故④错误，综上，②③正确，共2个，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．
8．（2023年青海省西宁市中考数学真题）直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；②抛物线与x轴一定有两个交点
③关于x的方程有两个根，；④若，当或时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①④
【答案】B
【分析】①可得，从而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判断抛物线也过，从而可得方程的一个根为，可求抛物线的对称轴为直线，从而可得抛物线与轴的另一个交点为，即可求解；④当，当时，，即可求解．
【详解】解：①直线经过点，，，
抛物线的对称轴为直线，故①正确；
②，由①得，，，，
抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；
③当时，，抛物线也过，
由得方程，方程的一个根为，
抛物线，，
抛物线的对称轴为直线，
与轴的一个交点为，，解得：，
抛物线与轴的另一个交点为，
关于x的方程有两个根，，故③正确；
④当，当时，，故④错误；故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键．
9．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可．
【详解】解：∵二次函数，∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，
∵点是该函数图象上一点，当时，，
∴①当时，对称轴，此时，当时，，即，解得；
②当时，对称轴，当时，随增大而减小，则当时，恒成立；
综上，的取值范围是：或．故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
10.（2023年浙江省杭州市中考数学真题）设二次函数是实数，则（ ）
A．当时，函数的最小值为B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为D．当时，函数的最小值为
【答案】A
【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解．
【详解】解：令，则，解得：，，
∴抛物线对称轴为直线
当时， 抛物线对称轴为直线，把代入，得，
∵∴当，时，y有最小值，最小值为．故A正确，B错误；
当时， 抛物线对称轴为直线，把代入，得，
∵∴当，时，y有最小值，最小值为，故C、D错误，故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题关键．
11．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．
【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，和至少有一个交点，
令，整理得：，
则，解得，
，∴，
∴或
当时，，即，解得，
当时，，即，解得，
综上，c的取值范围是，故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题，熟练掌握相关性质是关键．
12．（2023年四川省巴中市中考数学真题）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，则下列结论正确的个数为（ ）
①；②；③当线段长取最小值时，则的面积为；
④若点，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数与一次函数的图象和性质，根与系数的关系，进行解答，即可．
【详解】直线与抛物线交于、两点，
∴，整理得：，∴，∴正确；
∵，解得：，，
∴，，∴；∴正确；
∵，当时，即轴时，有最小值，
∴，∴；∴正确；
当点时，假设，则：是直角三角形，
取的中点为点，连接，∴，
∵，∴，，
∴点，∴点，∵点，∴，
∴时，，即与不一定垂直；∴错误；∴正确的为：．故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，直角三角形的性质，两点间的距离公式．
13．（2023年湖北省十堰市中考数学真题）已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为
联立解得：或∴，
由，则，对称轴为直线，
设，则点在上，
∵且，∴点在点的左侧，即，，
当时，对于，当，，此时，
∴，∴∵对称轴为直线，则，
∴的取值范围是，故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键．
14.（2023年广东广州中考数学真题）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”）
【答案】
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：的对称轴为y轴，∵，∴开口向上，当时， y随x的增大而增大，
∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．
15．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．
【答案】4
【分析】与抛物线与x轴相交于点、点，可得抛物线的对称轴为直线，由轴，可得，关于直线对称，可得，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线与x轴相交于点、点，
∴抛物线的对称轴为直线，∵当时，，即，
∵轴，∴，关于直线对称，∴，∴；故答案为：4
【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键．
16．（2023·四川·统考中考真题）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为___________．
【答案】或
【分析】根据题意与x轴的交点坐标和它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标关于y轴对称，再进行分类讨论，即和两种情况，求出与x轴的交点坐标，即可解答．
【详解】解：①当时，函数的解析式为，此时函数的图象与x轴只有一个交点成立，
当时，可得，解得，与x轴的交点坐标为，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为；
①当时，函数的图象与x轴只有一个交点，
，即，解得，
函数的解析式为，当时，可得，解得，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为，
综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为或，故答案为：或．
【点睛】本题考查了轴对称，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点问题，理解题意，进行分类讨论是解题的关键．
17．（2023年山东省青岛市中考数学真题）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是 ．（只填写序号）
【答案】①③
【分析】依据题意，根据所给图象可以得出，，再结合对称轴，同时令，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．
【详解】解：由图象可得，，，又，．．①正确．
由题意，令，．
又二次函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为2，的两根之和为，两根之积为．
，．．又，．②错误，③正确．
，，．④错误．故答案为：①③．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
18．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．
【答案】①③④
【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，∵一元二次方程，∴；
∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确；
当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误；抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；由，则，解得：或；故④正确；
∴正确的结论有①③④；故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．
19．（2023·江苏·统考中考真题）已知二次函数（为常数）．
(1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为，
①则的值是_______，点的坐标是_______；②当时，借助图像，求自变量的取值范围；
(2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；(3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
【答案】(1)①②或(2)(3)
【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可；（2）求出二次函数的最小值，即可得解；
（3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为，
∴，∴，∴，
∴当时，，∴，
∴点的坐标是；故答案为：；
②，列表如下：
画出函数图像如下：
由图可知：当时，或；
（2）∵，∴当时，有最小值为；
∵对于一切实数，若函数值总成立，∴；
（3）∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为，
又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，
∴关于对称轴对称，∴，∴，
∴，∴，
当时，有最小值，∴．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．
20．（2022·贵州遵义·中考真题）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．(1)写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；
(2)若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．
①当时，求点的坐标；②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【答案】(1)，顶点为(2)①或；②或．
【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①设，则，，根据题意建立方程解方程即可求解；②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．
(1)解：抛物线的“关联抛物线”为，
根据题意可得，的解析式
顶点为
(2)解：①设，则，
∴
当时，解得，当时，方程无解或
②的解析式
顶点为，对称轴为
， 当时，即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，且即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为即
即解得（舍去） 综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．
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