2023-2024学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知复数（i是虚数单位，i2＝﹣1），则（ ）
A．1B．±1C．D．
2．（5分）已知向量（k﹣1，1），（k+3，k）．若，则实数k的值为（ ）
A．3B．﹣1C．3或﹣1D．
3．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，（ ）
A．若b∥a，a⊂α，则b∥α
B．若a⊂α，b⊂α，c⊥a，c⊥b，则c⊥α
C．若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β
D．若a⊥α，a∥b，b⊂β，则α⊥β
4．（5分）已知a＞0，b∈R，则a＞b是a＞|b|的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝2，A＝45°，C＝75°，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）为了得到函数y＝sin2x的图象，可以将函数y＝cs2x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
7．（5分）在某种药物实验中，规定100ml血液中药物含量低于20mg为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为0.8mg/ml，若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少经过（ ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：lg2≈0.3010）
A．4B．5C．6D．7
8．（5分）已知sinθ，csθ是方程x2﹣2sinα•x+sin2β＝0的两个实根，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知a＞b，则（ ）
A．0.1a＞0.1b
B．10a＞10b
C．a4+b4＜ab3+a3b
D．
（多选）10．（6分）如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形的两个锐角分别为α，β（α＜β），若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则（ ）
A．每一个直角三角形的面积为1
B．sinα＝2sinβ
C．csα＝2csβ
D．cs（α﹣β）
（多选）11．（6分）在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点P（a，b），|OP|＝m（m≠0），定义函数，则（ ）
A．是函数y＝f（θ）的一条对称轴
B．函数y＝f（θ）f（﹣θ）是周期为π的函数
C．f（θ）+f2（θ）≤2
D．若a＝2b，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣a，a2+3}，若A∪B＝{1，2，4}，则实数a的值为 ．
13．（5分）已知x+lny＝1，则ex+y的最小值为 ．
14．（5分）一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为的正三角形，高为6，有一个半径为1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）设函数．
（1）判断函数f（x）在区间[﹣1，1]上的单调性，并用定义证明结论；
（2）若，求函数的值域．
16．（15分）如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的点，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若P是DC的中点，M1，M2，…，M2024依次为边AB的2025等分点．求的值．
17．（15分）已知实数a＜0，设函数f（x）＝cs2x+asin2x﹣a2，且．
（1）求实数a，并写出f（x）的单调递减区间；
（2）若x0为函数f（x）的一个零点，求cs2x0．
18．（17分）在三棱锥A﹣BCD中，AB＝9，其余各棱的长均为6，点E在棱AC上，AE＝2EC，过点E的平面与直线CD垂直，且与BC，CD分别交于点F，G．
（1）求线段FG的长度；
（2）求二面角A﹣CD﹣B的余弦值；
（3）求点C到平面DEF的距离．
19．（17分）已知函数f（x），g（x），h（x）的定义域均为R．
定义：①若存在n个互不相同的实数x1，x2，…，xn，使得f（g（xi））＝h（f（xi））（i＝1，2，3，…，n），则称g（x）与h（x）关于f（x）“n维交换”；
②若对任意x∈R，恒有f（g（x））＝h（f（x）），则称g（x）与h（x）关于f（x）“任意交换”．
（1）判断函数g（x）＝x+1与h（x）＝x﹣1是否关于f（x）＝x2“n维交换”，并说明理由；
（2）设f（x）＝a（x2+2）（a≠0），g（x）＝x2+bx﹣1，若存在函数h（x），使得g（x）与h（x）关于f（x）“任意交换”，求b的值；
（3）设g（x）＝k|x2﹣2x|，h（x）若g（x）与h（x）关于f（x）＝x“3维交换”，求实数k的值．
2023-2024学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
二．多选题（共3小题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数（i是虚数单位，i2＝﹣1），则（ ）
A．1B．±1C．D．
【分析】先进行复数的除法运算，整理成最简形式，再求模长．
【解答】解：，i，∴||＝1．
故选：A．
【点评】本题考查复数的模，复数的计算，属于基础题．
2．（5分）已知向量（k﹣1，1），（k+3，k）．若，则实数k的值为（ ）
A．3B．﹣1C．3或﹣1D．
【分析】根据平行向量的坐标关系求解．
【解答】解：∵向量（k﹣1，1），（k+3，k），且，
∴（k﹣1）k﹣（k+3）＝0，
解得k＝﹣1或3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行向量的坐标关系，属于基础题．
3．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，（ ）
A．若b∥a，a⊂α，则b∥α
B．若a⊂α，b⊂α，c⊥a，c⊥b，则c⊥α
C．若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β
D．若a⊥α，a∥b，b⊂β，则α⊥β
【分析】根据线面的位置关系，面面的位置关系，根据判定定理即可逐项判断．
【解答】解：选项A：若b∥a，a⊂α，则b∥α或b⊂α，故A错误；
选项B：只有当a，b相交时，c⊥α，故B错误；
选项C：只有当a，b相交时，α∥β，证明面面平行时，
需证明一个平面内两条相交直线分别与另一个平面平行，故C错误；
选项D：若a⊥α，b∥a，则b⊥α，又b⊂β，所以α⊥β，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查线面位置关系的判断，属于中档题．
4．（5分）已知a＞0，b∈R，则a＞b是a＞|b|的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解．
【解答】解：令a＝2，b＝﹣3，满足a＞b，但a＜|b|，故a＞b不能推出a＞|b|，
当a＞0，a＞|b|时，
①当b＞0时，a＞b，②当b＜0时，a＞0＞b，
故a＞|b|能推出a＞b，
故a＞b是a＞|b|的必要不充分条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝2，A＝45°，C＝75°，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知利用三角形内角和定理可求B的值，进而利用正弦定理即可求解a的值．
【解答】解：因为b＝2，A＝45°，C＝75°，
所以B＝180°﹣A﹣C＝60°，
由正弦定理，可得a．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
6．（5分）为了得到函数y＝sin2x的图象，可以将函数y＝cs2x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【分析】利用诱导公式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：只需将函数y＝cs2x＝sin（2x）的图象上的所有点沿x轴向右平移个单位长度，
可得函数y＝sin2x的图象，
故选：A．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
7．（5分）在某种药物实验中，规定100ml血液中药物含量低于20mg为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为0.8mg/ml，若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少经过（ ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：lg2≈0.3010）
A．4B．5C．6D．7
【分析】由题意得到不等式，两边取对数求出答案．
【解答】解：设经过t小时药物失效”，
由0.8（1﹣20%）t＜0.2，即，两边取对数可得，
6.206，
故至少经过7个小时才能驾驶．
故选：D．
【点评】本题考查对数的应用，属于基础题．
8．（5分）已知sinθ，csθ是方程x2﹣2sinα•x+sin2β＝0的两个实根，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】利用同角函数关系即可得．
【解答】解：∵sinθ，csθ是方程x2﹣2sinα•x+sin2β＝0的两个实根，
则sinθ+csθ＝2sinα，sinθcsθ＝sin2β，
∵sin2θ+cs2θ＝1，∴（sinθ+csθ）2＝1+2sinθcsθ，
∴4sin2α＝1+2sin2β，∴2（1﹣cs2α）＝1+（1﹣cs2β），
整理即得2cs2α＝cs2β，则2．
故选：C．
【点评】本题考查同角函数关系，属于基础题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知a＞b，则（ ）
A．0.1a＞0.1b
B．10a＞10b
C．a4+b4＜ab3+a3b
D．
【分析】根据题意，利用指数函数的性质分析A、B，利用作差法分析C，利用对数函数的性质分析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝0.1x，是减函数，若a＞b，则有0.1a＜0.1b，A错误；
对于B，y＝10x，是增函数，若a＞b，则有10a＞10b，B正确；
对于C，a4+b4﹣ab3﹣a3b＝a3（a﹣b）﹣b3（a﹣b）＝（a﹣b）（a3﹣b3），
由于a＞b，则a﹣b＞0，a3﹣b3＞0，则a4+b4﹣ab3﹣a3b＞0，即a4+b4＞ab3+a3b，C错误；
对于D，ln（a）＝ln（），ln（b）＝ln），
由于a＞b，则，则有ln（）＜ln（），
即ln（a）＜ln（b），D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查不等式的性质和应用，注意作差法的应用，属于中档题．
（多选）10．（6分）如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形的两个锐角分别为α，β（α＜β），若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则（ ）
A．每一个直角三角形的面积为1
B．sinα＝2sinβ
C．csα＝2csβ
D．cs（α﹣β）
【分析】根据正方形的性质算出图中直角三角形的两条直角边长，计算出它的面积，判断出A项的正误；根据锐角三角函数的定义，求出α、β的正弦和余弦，由此判断出B、C两项的正误；根据两角差的余弦公式，列式算出cs（α﹣β），进而判断出D项的正误．
【解答】解：根据题意，可得小正方形的边长为1，大正方形的边长为，
对于A，图中的直角三角形的斜边长为，一条直角边长为1，
所以它的另一条直角边长为2，可得直角三角形的面积S2×1＝1，故A项正确；
对于B，由锐角三角函数的定义，可得sinα，sinβ，所以sinαsinβ，可知B项不正确；
对于C，根据锐角三角函数的定义，得csα＝2csβ，故C项正确；
对于D，由前面的分析，可得cs（α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ，故D项正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查正方形的性质、锐角三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式等知识，属于基础题．
（多选）11．（6分）在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点P（a，b），|OP|＝m（m≠0），定义函数，则（ ）
A．是函数y＝f（θ）的一条对称轴
B．函数y＝f（θ）f（﹣θ）是周期为π的函数
C．f（θ）+f2（θ）≤2
D．若a＝2b，则
【分析】由已知结合三角函数定义先求出f（θ），然后结合正弦函数的性质，同角基本关系，二倍角公式，辅助角公式，正弦函数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：由题意可得sinθ+csθ，
A，f（θ）＝sinθ+csθsin（），
因为f（）＝1，不是函数的最值，显然x不是函数的最值，A错误；
B，y＝f（θ）f（﹣θ）＝（sinθ+csθ）（﹣sinθ+csθ）＝cs2θ，周期为π，B正确；
C，f（θ）+f2（θ）+f2（θ）＝sinθ+csθ+（sinθ+csθ）2＝1+sinθ+csθ+2sinθcsθ，
令t＝sinθ+csθ，则t2＝1+2sinθcsθ，
所以2sinθcsθ＝t2﹣1，
f（θ）+f2（θ）＝1+sinθ+csθ+2sinθcsθ＝t2+t，
又t＝sinθ+csθ∈[]，
根据二次函数的性质可知，当t时，上式取得最大值2，C正确；
D，若a＝2b，即csθ＝2sinθ，
因为1+f（2θ）＝1+cs2θ+sin2θ＝2cs2θ+2sinθcsθ，
1﹣f（﹣2θ）＝1﹣（cs2θ﹣sin2θ）＝2sin2θ+2sinθcsθ，
所以2，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了三角函数的定义，正弦函数周期，最值的求解，还考查了二倍角公式，辅助角公式及正弦函数，二次函数性质的综合应用，属于中档题．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣a，a2+3}，若A∪B＝{1，2，4}，则实数a的值为 ﹣1 ．
【分析】根据已知条件，结合并集的定义，并分类讨论，即可求解．
【解答】解：﹣a＝4，
则a＝﹣4，集合B＝{﹣4，19}，
不满足A∪B＝{1，2，4}，舍去，
当a2+3＝4，
则a＝1或a＝﹣1，
当a＝1时，集合B＝{﹣1，4}，不满足A∪B＝{1，2，4}，舍去，
当a＝﹣1时，集合B＝{1，4}，满足A∪B＝{1，2，4}，符合题意，
综上所述，a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
13．（5分）已知x+lny＝1，则ex+y的最小值为 ．
【分析】由对数的运算可得y＝e1﹣x，再由基本不等式计算可得．
【解答】解：因为x+lny＝1，所以lny＝1﹣x，所以y＝e1﹣x，
所以ex+y＝ex+e1﹣x，
当且仅当ex＝e1﹣x，即时，等号成立，
所以ex+y的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查指数、对数的运算，基本不等式的应用，属于基础题．
14．（5分）一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为的正三角形，高为6，有一个半径为1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为 72 ．
【分析】由题意可得小球能接触到的容器内壁的形状，再由三角形与矩形的面积公式求解．
【解答】解：因为直三棱柱的密闭容器的底面边长为，且为正三角形，容器的高为6，
小球的半径为1，则小球在这个容器内向各个方向自由滚动时，
小球能接触到的容器内壁分为两部分，即上下底面部分与侧面部分．
上下底面部分是正三角形，边长为，面积为；
侧面部分是底边长为4，高为4的矩形，面积为．
则小球能接触到的容器内壁的最大面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查棱柱与球位置关系的应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）设函数．
（1）判断函数f（x）在区间[﹣1，1]上的单调性，并用定义证明结论；
（2）若，求函数的值域．
【分析】（1）先判断然后利用单调性的定义即可得证；
（2）由题可得，然后利用复合函数的单调性并结合（1）的结论即可求解．
【解答】解：（1）函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，
证明：任取x1＜x2∈[﹣1，1]，
则
，
因为﹣1≤x1＜x2≤1，
所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间[﹣1，1]上为递增函数；
（2）因为，
则，，
所以，
由（1）的证明过程知，易证f（x）在[1，+∞）上单调递减，
所以由复合函数的单调性可得，函数f（x2）在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，
所以当时，g（x）在，1]递增，[1，3]递减，
所以g（x）max＝g（1）＝1+2f（1）＝2，
又g（）＝1+2f（），g（3）＝1+2f（9），
显然，故g（x）min，
所以．
【点评】本题考查了函数单调性的判定和证明及单调性的应用，属于中档题．
16．（15分）如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的点，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若P是DC的中点，M1，M2，…，M2024依次为边AB的2025等分点．求的值．
【分析】（1）由向量的线性运算和数量积运算即可求解；
（2）由向量加法的平行四边形法则即可求解．
【解答】解：（1）由题意，在矩形ABCD中，，
，
则

＝3λ+4λ＝7λ∈[0，7]，
即的取值范围是[0，7]；
（2）取AB的中点E，连接PE，
由向量加法的平行四边形法则可知，
．
【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属基础题．
17．（15分）已知实数a＜0，设函数f（x）＝cs2x+asin2x﹣a2，且．
（1）求实数a，并写出f（x）的单调递减区间；
（2）若x0为函数f（x）的一个零点，求cs2x0．
【分析】（1）可得，然后将a代入原函数化简可得，再利用三角函数的单调性即可求解；
（2）由x0为函数f（x）的一个零点可得，令，则，，然后代入中即可求解．
【解答】解：（1）由题，
即，解得，
所以，
令（k∈Z），
解得：（k∈Z），
因此f（x）的减区间是，k∈Z；
（2）因为x0为函数f（x）的一个零点，
则由（1）可得，令，则，
可知，又，
所以，
则
．
【点评】本题考查了三角函数的性质及三角函数公式的应用，属于中档题．
18．（17分）在三棱锥A﹣BCD中，AB＝9，其余各棱的长均为6，点E在棱AC上，AE＝2EC，过点E的平面与直线CD垂直，且与BC，CD分别交于点F，G．
（1）求线段FG的长度；
（2）求二面角A﹣CD﹣B的余弦值；
（3）求点C到平面DEF的距离．
【分析】（1）由题设条件，用几何法即可求得FG的长；
（2）取CD中点M，可得∠AMB为二面角A﹣CD﹣B的平面角，由余弦定理即可求得；
（3）由等体积法即可求得点C到平面DEF的距离．
【解答】解：（1）因为过点E的平面与直线CD垂直，且与BC，CD分别交于点F，G，
故CD⊥EF，CD⊥EG，CD⊥FG，
在平面ACD内，过E作CD的垂线，垂足为G，
由AE＝2EC，可知EC＝2，结合△ACD为等边三角形，可知CG＝1，
过G作CD的垂线，交BC于F，
结合∠DCB＝60°，可知CF＝2，；
（2）取CD中点M，则CD⊥AM，CD⊥BM，
故∠AMB为二面角A﹣CD﹣B的平面角，
易知，
由余弦定理得；
（3）设C到平面DEF的距离为h，则由VC﹣DEF＝VE﹣CDF，
可得，
由余弦定理得，
即，同理可得，
因为，，可知，
故，
另一方面，，
解得．
【点评】本题考查几何法求解二面角，考查等体积法求解点到平面的距离，属中档题．
19．（17分）已知函数f（x），g（x），h（x）的定义域均为R．
定义：①若存在n个互不相同的实数x1，x2，…，xn，使得f（g（xi））＝h（f（xi））（i＝1，2，3，…，n），则称g（x）与h（x）关于f（x）“n维交换”；
②若对任意x∈R，恒有f（g（x））＝h（f（x）），则称g（x）与h（x）关于f（x）“任意交换”．
（1）判断函数g（x）＝x+1与h（x）＝x﹣1是否关于f（x）＝x2“n维交换”，并说明理由；
（2）设f（x）＝a（x2+2）（a≠0），g（x）＝x2+bx﹣1，若存在函数h（x），使得g（x）与h（x）关于f（x）“任意交换”，求b的值；
（3）设g（x）＝k|x2﹣2x|，h（x）若g（x）与h（x）关于f（x）＝x“3维交换”，求实数k的值．
【分析】（1）根据1维交换的定义判断即可．
（2）根据复合函数的相关知识求解即可．
（3）构造F（x）＝f（g（x））﹣h（f（x）），根据x的大小分类讨论．
【解答】解：（1）g（x）与h（x）关于f（x）是“1维交换”，
理由如下：因为f（g（x））＝（x+1）2，h（f（x））＝x2﹣1，
令f（g（x））＝h（f（x）），
所以（x+1）2＝x2﹣1，
解得x＝﹣1，所以f（g（x））＝h（f（x））有唯一解x＝﹣1，
所以g（x）与h（x）关于f（x）“1维交换”．
（2）由题意可知，对任意的x∈R，f（g（x））＝h（f（x））成立，
即对任意的x∈R，a[（x2+bx﹣1）2+2]＝h（a（x2+2））因为h（x）为函数，
且h（a（﹣x）2+2）＝h（a（x2+2）），
故b＝0，
故a[（x2﹣1）2+2]＝h（a（x2+2）），
即，
所以，
综上所述，b＝0．
（3）由题意知，令F（x）＝f（g（x））﹣h（f（x）），
即F（x）在R上有三个零点．x＝0显然是F（x）的零点．
显然k≤0时不符合题意．所以k＞0，
①当x＞2时，k（x2﹣2x）＝x2+1，即（k﹣1）x2﹣2kx﹣1＝0令m（x）＝（k﹣1）x2﹣2kx﹣1，y＝m（x）恒过点（0，﹣1）和（2，﹣5），
则当k＞1时，m（x）＝（k﹣1）x2﹣2kx﹣1在x＞2有且只有一个零点，
当0＜k≤1，y＝m（x）在x＞2没有零点，
②当0＜x≤2时，k（﹣x2+2x）＝x2+1，即（k+1）x2﹣2kx+1＝0，
令n（x）＝（k+1）x2﹣2kx+1，y＝n（x）恒过点（0，1）和（2，5），
时在0＜x≤2只有一个零点，在0＜x≤2有两个零点，时在0＜x≤2没有零点，
③当x＜0时，k（x2﹣2x）＝x2﹣1，（k﹣1）x2﹣2kx+1＝0恒过点（0，1）和（2，﹣3）当k≥1时无零点，当0＜k＜1，有一个零点，
综上所述：时，F（x）有3个零点，即g（x）与h（x）关于f（x）＝x“3维交换”．
【点评】本题以函数新定义为数学背景考查函数与方程的综合应用，属于难题．
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1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
C
B
A
D
C
题号
9
10
11
答案
BD
ACD
BCD