2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（ ）
A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）
2．（5分）若{a→，b→，c→}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）
A．b→+c→，b→，-b→-c→B．a→，a→+b→，a→-b→C．a→+b→，a→-b→，c→D．a→+b→，a→+b→+c→，c→
3．（5分）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f，则第四个单音的频率为（ ）
A．5fB．214fC．4fD．213f
4．（5分）“点（a，b）在圆x2+y2＝1外”是“直线ax+by+2＝0与圆x2+y2＝1相交”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ）
A．6种B．12种C．18种D．24种
6．（5分）A，B两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息（xi，yi）．A小组根据表中数据，直接对（x，y）作线性回归分析，得到：回归方程ŷ=0.4699x+0.235，决定系数R2＝0.8732．B小组先将数据按照变换u＝x2，v＝y2进行整理，再对u，v作线性回归分析，得到：回归方程v̂=-0.5006u+0.4922，决定系数R2＝0.9375．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ）
A．0.4699x﹣y+0.235＝0
B．0.5006x+y﹣0.4922＝0
C．+y20.4922=1
D．x20.4922+
7．（5分）设A，B，C，D是半径为1的球O的球面上的四个点．设OA→+OB→+OC→=0→，则|AD|+|BD|+|CD|不可能等于（ ）
A．3B．72C．4D．32
8．（5分）设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上不与顶点重合的一点，记I为△PF1F2的内心．直线PI交x轴于A点，|OA→|=14c，且PF1→⋅PF2→=116a2，则椭圆C的离心率为（ ）
A．12B．22C．34D．32
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）若函数f（x）导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．x1是f（x）的一个极大值点
B．x2是f（x）的一个极小值点
C．x3是f（x）的一个极大值点
D．x4是f（x）的一个极小值点
（多选）10．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件A：“两次向上的点数之和大于7”，事件B：“两次向上的点数之积大于20”，事件C：“两次向上的点数之和小于10”，则（ ）
A．事件B与事件C互斥
B．P(AB)=572
C．P(B|A)=25
D．事件A与事件C相互独立
（多选）11．（5分）设双曲线C：x2a-y2a2-a+4=1(a＞0)，直线l与双曲线C的右支交于点A，B，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线C离心率的最小值为4
B．离心率最小时双曲线C的渐近线方程为3x±y=0
C．若直线l同时与两条渐近线交于点C，D，则|AC|＝|BD|
D．若a＝1，点A处的切线与两条渐近线交于点E，F，则S△EOF为定值
（多选）12．（5分）已知曲线f(x)=xex，g(x)=lnxx，及直线y＝a，下列说法中正确的是（ ）
A．曲线f（x）在x＝0处的切线与曲线g（x）在x＝1处的切线平行
B．若直线y＝a与曲线f（x）仅有一个公共点，则a=1e
C．曲线f（x）与g（x）有且仅有一个公共点
D．若直线y＝a与曲线f（x）交于点A（x1，y1），B（x2，y2），与曲线g（x）交于点B（x2，y2），C（x3，y3），则x1x3=x22
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（x﹣y）（x+y）8展开式中，x3y6项的系数为 ．
14．（5分）曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率K=|f″(x)|[1+(f'(x))2]32．已知f（x）＝cs（x﹣1）﹣lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的曲率为 ．
15．（5分）已知数列{an}满足a2＝8，an=[2(-1)n+n]an-1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝lg2（a2n+2•a2n﹣1）﹣lg2（a2n•a2n+1），则满足Sn﹣5＞0的正整数n的最小值为 ．
16．（5分）设函数f(x)=2|x+2|+cs(π2x)，则使得f（x+1）＞f（2x）成立的x的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，在四面体ABCD中，AE→=λAB→，AH→=λAD→，CF→=(1-λ)CB→，CG→=(1-λ)CD→，λ∈（0，1）．
（1）求证：E、F、G、H四点共面．
（2）若λ=13，设M是EG和FH的交点，O是空间任意一点，用OA→、OB→、OC→、OD→表示OM→．
18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n=2an+1(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）若{an}中的部分项abn组成的数列{abn+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，∠A1AC＝60°，A1B=6．
（1）证明：平面A1ACC1⊥平面ABC；
（2）求二面角B﹣A1B1﹣C1的正弦值．
20．（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．
（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001）
单位：人
（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成M（M∈N*）段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为pn，易知p1＝1，p2＝0
①试证明{pn-14}为等比数列；
②设第n次David选择共享单车的概率为qn，比较p5与q5的大小．
附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．
21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2．
（1）求抛物线C的标准方程．
（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D．
①求证：直线CD过定点；
②求△PAB与△PCD面积之和的最小值．
22．（12分）设函数f（x）＝（x﹣1）2ex﹣ax，若曲线f（x）在x＝0处的切线方程为y＝﹣2x+b．
（1）求实数a，b的值．
（2）证明：函数f（x）有两个零点．
（3）记f′（x）是函数f（x）的导数，x1，x2为f（x）的两个零点，证明：f'(x1+x22)＞-a．
2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．
1．（5分）直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（ ）
A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）
【解答】解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量，
∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3），
故选：A．
2．（5分）若{a→，b→，c→}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）
A．b→+c→，b→，-b→-c→B．a→，a→+b→，a→-b→C．a→+b→，a→-b→，c→D．a→+b→，a→+b→+c→，c→
【解答】解：-b→-c→=-(b→+c→)，
则b→+c→，b→，-b→-c→共面，故b→+c→，b→，-b→-c→不能构成基底，故A错误；
a→=12[(a→+b→)+(a→-b→)]，因此向量a→，a→+b→，a→-b→共面，故不能构成基底，故B错误；
假设c→=λ(a→+b→)+μ(a→-b→)，即c→=(λ+μ)a→+(λ-μ)b→，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；
(a→+b→)+c→=a→+b→+c→，因此向量a→+b→，a→+b→+c→，c→共面，故不能构成基底，故D错误．
故选：C．
3．（5分）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f，则第四个单音的频率为（ ）
A．5fB．214fC．4fD．213f
【解答】解：由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为f，公比为122的等比数列{an}，
第四个单音的频率为a4=f×(122)3=214f．
故选：B．
4．（5分）“点（a，b）在圆x2+y2＝1外”是“直线ax+by+2＝0与圆x2+y2＝1相交”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：①若点（a，b）在圆x2+y2＝1外，则a2+b2＞1，
∵圆x2+y2＝1的圆心（0，0）到直线ax+by+2＝0的距离d=|2|a2+b2=2a2+b2，
∴d与半径1的大小无法确定，
∴不能得到直线ax+by+1＝0与圆x2+y2＝1相交，∴充分性不成立，
②若直线ax+by+1＝0与圆x2+y2＝1相交，
则圆x2+y2＝1的圆心（0，0）到直线ax+by+1＝0的距离d=|2|a2+b2=2a2+b2＜1，
即a2+b2＞4，点（a，b）在圆x2+y2＝1外．
∴点（a，b）在圆x2+y2＝1外是直线ax+by+1＝0与圆x2+y2＝1相交的必要不充分条件．
故选：B．
5．（5分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ）
A．6种B．12种C．18种D．24种
【解答】解：先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，
若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有C31C32A22=18种．
故选：C．
6．（5分）A，B两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息（xi，yi）．A小组根据表中数据，直接对（x，y）作线性回归分析，得到：回归方程ŷ=0.4699x+0.235，决定系数R2＝0.8732．B小组先将数据按照变换u＝x2，v＝y2进行整理，再对u，v作线性回归分析，得到：回归方程v̂=-0.5006u+0.4922，决定系数R2＝0.9375．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ）
A．0.4699x﹣y+0.235＝0
B．0.5006x+y﹣0.4922＝0
C．+y20.4922=1
D．x20.4922+
【解答】解：由统计学知识可知，R2越大，拟合效果越好，
又A小组的决定系数R2＝0.8732，B小组的决定系数R2＝0.9375，
∴B小组的拟合效果好，则回归方程为v̂=-0.5006u+0.4922，
又u＝x2，v＝y2，∴y2＝﹣0.5006x2+0.4922，即+y20.4922=1．
故选：C．
7．（5分）设A，B，C，D是半径为1的球O的球面上的四个点．设OA→+OB→+OC→=0→，则|AD|+|BD|+|CD|不可能等于（ ）
A．3B．72C．4D．32
【解答】解：因为AD→+BD→+CD→=（OD→-OA→）+（OD→-OB→）+（OD→-OC→）＝3OD→-（OA→+OB→+OC→）＝3OD→，
且|OD→|＝1，所以|AD→+BD→+CD→|＝3，
而|AD→+BD→+CD→|≤|AD→|+|BD→|+|CD→|=|AD|+|BD|+|CD|，当且仅当AD→，BD→，CD→同时时，等号成立，
而A，B，C，D在球面上，不可能共线，即AD→，BD→，CD→不同向，
所以|AD|+|BD|+|CD|＞|AD→+BD→+CD→|＝3，
且|AD|，|BD|，|CD|均小于直径长2，即|AD|+|BD|+|CD|＜6，
综上，3＜|AD|+|BD|+|CD|＜6，
根据选项可知A不符合．
故选：A．
8．（5分）设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上不与顶点重合的一点，记I为△PF1F2的内心．直线PI交x轴于A点，|OA→|=14c，且PF1→⋅PF2→=116a2，则椭圆C的离心率为（ ）
A．12B．22C．34D．32
【解答】解：不妨设点P位于第一象限，如图所示，
因为I为△PF1F2的内心，所以PA为∠F1PF2的角平分线，
所以PF1PF2=F1AAF2，因为|OA→|=14c，所以|PF1||PF2|=|F1A||AF2|=53，
设|PF1|＝5t，则|PF2|＝3t，由椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|＝8t＝2a，
可得t=a4，所以|PF1|=5a4，|PF2|=3a4，
又因为PF1→⋅PF2→=|PF1→|⋅|PF2→|cs∠F1PF2=54a×34a⋅cs∠F1PF2=116a2，
所以cs∠F1PF2=115，在△PF1F2中，由余弦定理可得，
cs∠PF1F2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2|PF1||PF2|=17a28-4c215a28=115，
所以a2＝2c2，则e=c2a2=22．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）若函数f（x）导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．x1是f（x）的一个极大值点
B．x2是f（x）的一个极小值点
C．x3是f（x）的一个极大值点
D．x4是f（x）的一个极小值点
【解答】解：由图象可知，当x＜x1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x2＜x＜x4时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞x4时，f′（x）＜0，函数单调递减，
故x1，x4是f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点，x3不是的极值点．
故选：AB．
（多选）10．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件A：“两次向上的点数之和大于7”，事件B：“两次向上的点数之积大于20”，事件C：“两次向上的点数之和小于10”，则（ ）
A．事件B与事件C互斥
B．P(AB)=572
C．P(B|A)=25
D．事件A与事件C相互独立
【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次，
设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m、n，
以（m，n）为一个基本事件，则基本事件的总数为62＝36，
事件A包含的基本事件有：（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、（5，3）、
（5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共15种，
事件B包含的基本事件有：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共6种，
事件C包含的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、
（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、
（3，6）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、
（6，1）、（6，2）、（6，3），共30种，
对于A，事件B与事件C互斥，故A正确；
对于B，事件AB包含的基本事件有：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共6种，
所以，P(AB)=636=16，故B错误；
对于C，P(B|A)=n(AB)n(A)=615=25，故C正确；
对于D，P(A)=1536=512，P(C)=3036=56，
事件AC包含的基本事件有：（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，4）、（4，5）、（5，3）、（5，4）、
（6，2）、（6，3），共9种，
所以，P(AC)=936=14≠P(A)⋅P(C)，故D错误．
故选：AC．
（多选）11．（5分）设双曲线C：x2a-y2a2-a+4=1(a＞0)，直线l与双曲线C的右支交于点A，B，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线C离心率的最小值为4
B．离心率最小时双曲线C的渐近线方程为3x±y=0
C．若直线l同时与两条渐近线交于点C，D，则|AC|＝|BD|
D．若a＝1，点A处的切线与两条渐近线交于点E，F，则S△EOF为定值
【解答】解：由题意可得e2=a2+4a=a+4a，因为a＞0，
所以e2=a2+4a=a+4a≥2m⋅4m=4，即e≥2，当且仅当a=4a，即a＝2 时，等号成立．
此时双曲线方程是x22-y26=1，渐近线方程是3x±y=0．故A错误，B正确；
设直线为x＝my+n代入双曲线C：x2a-y2a2-a+4=1(a＞0)，
可得（m2a2﹣m2a+4m2）y2+2mn（a2﹣a+4）y+n2（a2﹣a+4）﹣a（a2﹣a+4）＝0，
又双曲线的渐近线方程为x2a-y2a2-a+4=0，
直线方程代入可得（m2a2﹣m2a+4m2）y2+2mn（a2﹣a+4）y+n2（a2﹣a+4）＝0，
∵直线l与双曲线右支交于两点A，B，与渐近线交于两点C，D，A在B，C两点之间，
∴AB、CD的中点重合，∴|AC|＝|BD|，故C正确．
当a＝1，双曲线的方程为x2-y24=1，双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
设A（m，n），故双曲线在A（m，n）的切线方程为mx-14ny＝1，
与y＝2x联立可得E的横坐标为44m-2n，
与y＝﹣2x联立可得E的横坐标为44m+2n，
∴S△EOF=12|OE|•|OF|•sin∠EOF=12×1+22×44m-2n×1+22×44m+2n×sin∠EOF
=52×1616m2-4n2×sin∠EOF=52×1616×sin∠EOF=52sin∠EOF为定值，故D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）已知曲线f(x)=xex，g(x)=lnxx，及直线y＝a，下列说法中正确的是（ ）
A．曲线f（x）在x＝0处的切线与曲线g（x）在x＝1处的切线平行
B．若直线y＝a与曲线f（x）仅有一个公共点，则a=1e
C．曲线f（x）与g（x）有且仅有一个公共点
D．若直线y＝a与曲线f（x）交于点A（x1，y1），B（x2，y2），与曲线g（x）交于点B（x2，y2），C（x3，y3），则x1x3=x22
【解答】解：对于A选项：f（0）＝0，f'(x)=x'⋅ex-x⋅(ex)'(ex)2=1-xex，f′（0）＝1，
所以曲线f（x）在x＝0处的切线为：y＝x；
同理g（1）＝0，g'(x)=1-lnxx2，g′（1）＝1，曲线g（x）在x＝1处的切线为y＝x﹣1，
即曲线f（x）在x＝0处的切线与曲线g（x）在x＝1处的切线平行，正确；
对于B选项：f'(x)=1-xex，令f′（x）＝0，解得x＝1，
所以曲线f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，f(1)=1e，
又当x→﹣∞时f（x）→﹣∞，当x→+∞时f（x）→0，
若直线y＝a与曲线f（x）仅有一个公共点，则a=1e或a≤0，错误；
对于C选项：曲线g（x）的定义域为：（0，+∞），g'(x)=1-lnxx2，
令g′（x）＝0，解得x＝e，
所以g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，且g(1)=0，g(e)=1e，
所以曲线f（x）与曲线g（x）的大致图像为：
易知当x∈（0，1）时，f（x）＞0，g（x）＜0，即曲线f（x）与曲线g（x）在区间（0，1）上无交点；
当x∈[1，e]时，f（x）单调递减，g（x）单调递增，且f(1)=1e＞g(1)=0，
f（e）＝e1﹣e＜g（e）＝e﹣1，即曲线f（x）与曲线g（x）在区间（1，e）上有一个交点；
当x∈（e，+∞）时，记h（x）＝x﹣lnx，h'(x)=1-1x，当x＞e时h′（x）＞0恒成立，
即h（x）在（e，+∞）上单调递增，即h（x）＞h（e）＝e﹣1＞0，即x＞lnx＞1，
又曲线f（x）在（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（lnx），即xex＜lnxelnx=lnxx，
即f（x）＜g（x）恒成立，即曲线f（x）与曲线g（x）在区间（e，+∞）上没有交点；
所以曲线f（x）与g（x）有且仅有一个公共点，正确；
对于D选项：当直线y＝a经过曲线f（x）与g（x）的交点时，恰好有3个公共点，
且0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，x1ex1=x2ex2=lnx2x2=lnx3x3，
由f（x1）＝f（x2）＝f（lnx2），所以x1＝lnx2，
由g(x2)=g(x3)=g(ex2)，所以x3=ex2，
即x1⋅x3=lnx2⋅ex2=x22，正确．
故选：ACD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（x﹣y）（x+y）8展开式中，x3y6项的系数为 ﹣28 ．
【解答】解：（x﹣y）（x+y）8＝x（x+y）8﹣y（x+y）8，二项展开式x（x+y）8的通项为xC8rx8-ryr=C8rx9-ryr，二项展开式y（x+y）8的通项为yC8kx8-kyk=C8kx8-kyk+1，
令r=6k+1=6，解得r=6k=5，因此，x3y6项的系数为C86-C85=28-56=-28，
故答案为：﹣28．
14．（5分）曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率K=|f″(x)|[1+(f'(x))2]32．已知f（x）＝cs（x﹣1）﹣lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的曲率为 0 ．
【解答】解：因为f（x）＝cs（x﹣1）﹣lnx，
所以f'(x)=-sin(x-1)-1x，f″(x)=1x2-cs(x-1)，
则f'(1)=-11-sin0=-1，f″(1)=11-cs0=0，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的曲率为K=|f″(1)|[1+(f'(1))2]32=|0|[1+(-1)2]32=0．
故答案为：0．
15．（5分）已知数列{an}满足a2＝8，an=[2(-1)n+n]an-1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝lg2（a2n+2•a2n﹣1）﹣lg2（a2n•a2n+1），则满足Sn﹣5＞0的正整数n的最小值为 63 ．
【解答】解：因为an=[2(-1)n+n]an-1(n≥2，n∈N*)，a2＝8＞0，
所以an＞0，anan-1=2(-1)n+n，
所以bn＝lg2（a2n+2•a2n﹣1）﹣lg2（a2n•a2n+1）
=lg2(a2n+2⋅a2n-1a2n⋅a2n+1)=lg2(a2n+2a2n+1)-lg2(a2na2n-1)
=lg2(2(-1)2n+2+2n+2)-lg2(2(-1)2n+2n)
＝lg2（2n+4）﹣lg2（2n+2）
所以Sn=lg26-lg24+lg28-lg26+⋯+lg2(2n+4)-lg2(2n+2)=lg22n+44，
因为Sn﹣5＞0，所以lg22n+44＞5=lg232，即n+22＞32，解得n＞62，
因为n∈N*，所以正整数n的最小值为63．
故答案为：63．
16．（5分）设函数f(x)=2|x+2|+cs(π2x)，则使得f（x+1）＞f（2x）成立的x的取值范围是 (-53，1) ．
【解答】解：由f(x)=2|x+2|+cs(π2x)向右平移2个单位，得g(x)=2|x|+cs(π2x-π)=2|x|-cs(π2x)为偶函数，
所以g（x）关于y轴对称，
所以f（x）关于x＝﹣2对称，
当x≥0时，g'(x)=2xln2+π2sin(π2x)，
当x∈[0，2]时，因为sin(π2x)≥0，所以g′（x）＞0，
当x∈（2，+∞）时，g'(x)＞22ln2-π2＞0，
所以g（x）在上单调[0，+∞）递增，在（﹣∞，0）上单调递减，
所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，
由f（x+1）＞f（2x）得|x+1+2|＞|2x+2|，即（x+3）2＞（2x+2）2，解得-53＜x＜1，
所以使得f（x+1）＞f（2x）成立的x的取值范围是(-53，1)．
故答案为：(-53，1)．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，在四面体ABCD中，AE→=λAB→，AH→=λAD→，CF→=(1-λ)CB→，CG→=(1-λ)CD→，λ∈（0，1）．
（1）求证：E、F、G、H四点共面．
（2）若λ=13，设M是EG和FH的交点，O是空间任意一点，用OA→、OB→、OC→、OD→表示OM→．
【解答】（1）证明：因为EH→=AH→-AE→=λAD→-λAB→=λBD→，
FG→=CG→-CF→=(1-λ)CD→-(1-λ)CB→=(1-λ)BD→，
所以EH→=λ1-λFG→，则EH→∥FG→，因此E、F、G、H四点共面．
（2）解：由（1）知，EH→=13BD→，FG→=23BD→，因此EH→=12FG→，
EH、FG不在同一条直线上，
EH∥FG，
则EMMG=EHFG=12，则EM→=12MG→，即OM→-OE→=12(OG→-OM→)，
当λ=13时，AE→=13AB→，即OE→-OA→=13(OB→-OA→)，可得OE→=23OA→+13OB→，
因为CG→=23CD→，即OG→-OC→=23(OD→-OC→)，可得OG→=13OC→+23OD→，
所以，OM→=23OE→+13OG→=23(23OA→+13OB→)+13(13OC→+23OD→)
=49OA→+29OB→+19OC→+29OD→．
18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n=2an+1(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）若{an}中的部分项abn组成的数列{abn+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）设差数列{an}的公差为d，则由S4＝4S2，a2n=2an+1(n∈N*)
可得4a1+6d=8a1+4da1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1，解得a1=1d=2，因此an=2n-1(n∈N*)．
（2）由an＝2n﹣1，得abn=2bn-1，
又由{abn+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，得abn+1=2n，因此2bn=2n，
所以bn=2n-1，所以Tn=1-2n1-2=2n-1．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，∠A1AC＝60°，A1B=6．
（1）证明：平面A1ACC1⊥平面ABC；
（2）求二面角B﹣A1B1﹣C1的正弦值．
【解答】（1）证明：取AC中点M，连接A1M，BM，则BM⊥AC．
∵AA1＝AC，∠A1AC＝60°，∴△A1AC为等边三角形，
∴A1M⊥AC，
∵A1M=BM=3，A1B=6，
∴A1M2+BM2=A1B2，∴A1M⊥BM，
∵AC∩BM＝M，∴A1M⊥平面ABC，
∵A1M⊂平面A1ACC1，∴平面A1ACC1⊥平面ABC．
（2）解：由题可知二面角B﹣A1B1﹣C1的正弦值与二面角A1﹣AB﹣C正弦值相等．
∵A1M⊥平面ABC，过M作MN⊥AB于点N，连接A1N，
∴∠A1NM即为所求二面角A1﹣AB﹣C的平面角，
∵A1M=3，MN=A1M⋅cs60°=32，∴A1N=3+34=152，
∴sin∠A1NM=A1MA1N=255．
故二面角B﹣A1B1﹣C1的正弦值为255．
20．（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．
（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001）
单位：人
（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成M（M∈N*）段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为pn，易知p1＝1，p2＝0
①试证明{pn-14}为等比数列；
②设第n次David选择共享单车的概率为qn，比较p5与q5的大小．
附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．
【解答】解：（1）列联表如下：
零假设为H0：城市规模与出行偏好地铁无关，
χ2=200(80×40-20×60)2100×100×140×60≈9.524＞6.635，
根据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；
（2）①证明：第n段行程上David坐地铁的概率为pn，
则当n≥2时，第n﹣1段行程上David坐地铁的概率为pn﹣1，不坐地铁的概率为1﹣pn﹣1，
则pn=pn-1⋅0+(1-pn-1)⋅13=-13pn-1+13，
从而pn-14=-13(pn-1-14)，
又p1-14=34，所以{pn-14}是首项为34，公比为-13的等比数列；
②由①可知pn=34(-13)n-1+14，
则p5=34(-13)4+14＞14，又q5=13(1-p5)＜14，故p5＞q5．
21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2．
（1）求抛物线C的标准方程．
（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D．
①求证：直线CD过定点；
②求△PAB与△PCD面积之和的最小值．
【解答】解：（1）由题意，当直线AB垂直于x轴时，x1=p2，代入抛物线方程得y1＝±p，
则|AB|＝2p，
所以2p＝2，即p＝1，
所以抛物线C：y2＝2x．
（2）①设C（x3，y3），D（x4，y4），
直线AB：x=my+12，
与抛物线C：y2＝2x联立，得y2﹣2my﹣1＝0，因此y1+y2＝2m，y1y2＝﹣1．
设直线AC：x＝ny+1，与抛物线C：y2＝2x联立，得y2﹣2ny﹣2＝0，
因此y1+y3＝2n，y1y3＝﹣2，则y3=-2y1．同理可得y4=-2y2．
所以kCD=y3-y4x3-x4=y3-y4y322-y422=2y3+y4=2-2y1+-2y2=-y1y2y1+y2=12m，
因此直线CD：x＝2m（y﹣y3）+x3，由对称性知，定点在x轴上，
令y＝0得，
x=-2my3+x3=-2my3+y322=-2m-2y1+12(-2y1)2=4my1+2y12
=2(y1+y2)y1+2y12=2+2(y2y1+1y12)=2+2⋅y1y2+1y12=2，
所以直线CD过定点Q（2，0）．
②因为S△PAB=12|PF|⋅|y1-y2|=14|y1-y2|，
S△PCD=12|PQ|⋅|y3-y4|=12|-2y1--2y2|=|1y1-1y2|=|y1-y2y1y2|=|y1-y2|，
所以S△PAB+S△PCD=54|y1-y2|=544m2+4=52m2+1≥52，
当且仅当m＝0时取到最小值52．
22．（12分）设函数f（x）＝（x﹣1）2ex﹣ax，若曲线f（x）在x＝0处的切线方程为y＝﹣2x+b．
（1）求实数a，b的值．
（2）证明：函数f（x）有两个零点．
（3）记f′（x）是函数f（x）的导数，x1，x2为f（x）的两个零点，证明：f'(x1+x22)＞-a．
【解答】解：（1）由题意可得f′（x）＝（x2﹣1）ex﹣a，
由切线方程可知其斜率为﹣2，
所以f'(0)=-2，f(0)=b，，解得a=1b=1．
（2）证明：由f（x）＝0可得（x﹣1）2ex﹣x＝0，所以(x-1)2-xex=0；
函数f（x）有两个零点即函数g(x)=(x-1)2-xex有两个零点．
g'(x)=(x-1)(2+1ex)，
当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
又g（0）＝1＞0，g(1)=-1e＜0，g(2)=1-2e2＞0，
所以g（0）g（1）＜0，g（1）g（2）＜0，
由零点存在定理可得∃x1∈（0，1）使得g（x1）＝0，
∃x2∈（1，2）使得g（x2）＝0，
所以函数f（x）有两个零点．
（3）证明：由（1）（2）知f（x）＝（x﹣1）2ex﹣x，
可得f′（x）＝（x2﹣1）ex﹣1且0＜x1＜1＜x2＜2．
要证明f'(x1+x22)＞-a，即证明((x1+x22)2-1)ex1+x22-1＞-1，
即证明x1+x2＞2．
令h（x）＝g（x）﹣g（2﹣x）（0＜x＜1），
则h'(x)=g'(x)+g'(2-x)=(x-1)(2+1ex)+(1-x)(2+1e2-x)=(1-x)(ex-e2-x)e2＜0，
因此h（x）单调递减，则h（x）＞h（1）＝0．因此h（x1）＞0，
即g（x1）＞g（2﹣x1），又0＜x1＜1＜x2＜2，又g（x2）＝g（x1）；
所以g（x2）＞g（2﹣x1），又x2，2﹣x1∈（1，2），且g（x）在（1，2）上单调递增，
因此x2＞2﹣x1，即x1+x2＞2．命题得证．出行方式
国际大都市
中小型城市
合计
偏好地铁
_____
20
100
偏好其他
60
_____
_____
合计
_____
60
_____
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
出行方式
国际大都市
中小型城市
合计
偏好地铁
_____
20
100
偏好其他
60
_____
_____
合计
_____
60
_____
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
出行方式
国际大都市
中小型城市
合计
首选地铁
80
20
100
首选其他
60
40
100
合计
140
60
200