专题24.5 弧、弦、圆心角（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题24.5  弧、弦、圆心角（知识讲解）

【学习目标】

1.   了解圆心角的概念；
2.   掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．

【要点梳理】

1.圆心角定义
　　如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.定理：
　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.推论：
　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
特别说明：
　　(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
　　(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
4.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：

在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

   *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。

【典型例题】

类型一、用弧、弦、圆心角关系求解

1．如图，在⊙O中，，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．

 【分析】延长AD交⊙ O于E,可得、AB=AE，可得出结论.

解：延长AD交⊙O于E，

∵OC⊥AD，

∴，AE=2AD，

∵，

∴，

∴AB=AE，

∴AB=2AD．

【点拨】本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角之间的关系，灵活做辅助线是解本题的关键.

举一反三：

【变式1】 如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．

（1）求证：∠BCO=∠D；

（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半径．

【答案】（1）见解析；（2）3．

【解析】试题分析：根据OC=OB得到∠BCO=∠B，根据弧相等得到∠B=∠D，从而得到答案；根据题意得出CE的长度，设半径为r，则OC=r，OE=r－2，根据Rt△OCE的勾股定理得出半径．

（1）证明：∵ OC=OB，∴ ∠BCO=∠B ∵， ∴ ∠B=∠D， ∴ ∠BCO=∠D．

（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴ CE=．

在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2， 设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA－AE=r－2，

∴，解得：r=3， ∴⊙O的半径为3

考点：圆的基本性质

【变式2】如图，D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点， ．

（1）求证：CD=CE．

（2）若∠AOB=120°，OA=x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式．

【分析】

（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠COA=∠COB，证明△COD≌△COE，根据全等三角形的性质证明；
（2）连接AC，根据全等三角形的判定定理得到△AOC为等边三角形，根据正切的定义求出CD，根据三角形的面积公式计算即可．

解：（1）证明：连接OC，

∵，
∴∠COA=∠COB，
∵D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，
∴OD=OE，
在△COD和△COE中，

，
∴△COD≌△COE（SAS）
∴CD=CE；
（2）连接AC，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=60°，又OA=OC，
∴△AOC为等边三角形，
∵点D是OA的中点，
∴CD⊥OA，OD=OA=x，
在Rt△COD中，CD=OD•tan∠COD=，
∴四边形ODCE的面积为y=×OD×CD×2=x2．

【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定定理和性质定理是同角的关键．

【变式3】 如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．

（1）求证：△APE是等腰直角三角形；

（2）若⊙O的直径为2，求的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）4．

解：试题分析：（1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证.

（2）根据题意可知，AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.

   （1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠C=∠ABC=45°,

∴∠PEA=∠ABC=45°

又∵PE是⊙O的直径，

∴∠PAE=90°,

∴∠PEA=∠APE=45°,

∴△APE是等腰直角三角形.

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=AB,

同理AP=AE,

又∵∠CAB=∠PAE=90°,

∴∠CAP=∠BAE,

∴△CPA≌△BAE,

∴CP=BE,

在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,

∴PB2+BE2=PE2,

∴CP2+PB2=PE2=4.

考点：1、全等三角形的判定与性质，2、等腰三角形的判定与性质，3、勾股定理，4、圆心角、弧、弦的关系，5、等腰直角三角形

类型二、用弧、弦、圆心角关系证明

2．已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点．

求证：MC=NC．

【答案】证明见解析

【分析】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得OM=ON，利用SAS判定△MOC≌△NOC，继而证得结论．

证明：∵弧AC和弧BC相等，

∴∠AOC=∠BOC，

∵OA=OB

又∵M、N分别是OA、OB的中点

∴OM=ON，

在△MOC和△NOC中，

∴△MOC≌△NOC（SAS），

∴MC=NC．

【点拨】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．

举一反三：

【变式1】 已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：.

【分析】过点O作于点M.由等腰三角形的性质可证，，从而可得，然后根据相等的圆心角所对的弧相等即可求得结论.

   证明：如图，过点O作于点M.

，

.

同理，.

.

.

【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形三线合一的性质.

【变式2】已知：如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，BD平分∠ADC，且BC=CD．求证: AB=CD．

 【分析】根据BD平分∠ADC可得，进而得到AB=BC，问题得证.

 解：∵BD平分∠ADC，

∴∠ADB=∠CDB，

∴，

∴AB=BC，

∵BC=CD，

∴AB=CD.

【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

【变式3】 已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC＝BD．求证：AB＝CD．

 【分析】要证明两条弦AB＝CD，可以转化为证明就可以．已知AC=BD可以证明得到，进而得到．

   证明：∵AC＝BD，

∴．

∴

∴．

∴AB＝CD．

【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦其中有一组量相等，那么其它两组量也相等．

类型三、圆心角概念

3．下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等．其中真命题的是（    ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

【答案】A

【分析】必须是同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等．

 解：正确的是①②．必须是同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，因而③是错误的．故选A．

举一反三：

【变式1】 把一个圆分成4个扇形，它们分别占整个圆的10%，20%，30%，40%，那么这四个扇形的圆心角分别是_______.

【答案】36°，72°，108°，144°

【分析】根据扇形所占的百分比乘以360°进行解答即可．

解：四个扇形的圆心角分别是360°×10%=36°；

360°×20%=72°；

360°×30%=108°；

360°×40%=144°.

故答案为36°，72°，108°，144°.

【点拨】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°．

【变式2】将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数的比1：3：5，则最大扇形的圆心角的度数为_____．

【答案】200°

【分析】根据它们的圆心角的度数和为周角，则利用它们所占的百分比计算它们的度数．

解：最大扇形的圆心角的度数＝360°×＝200°．

故答案为200°

【点拨】本题考查了认识平面图形－圆心角，解答此题的关键是由题意得出三个圆心角的和为360°．

【变式3】 若将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为________．

【答案】120

【分析】根据圆的性质计算，即可得到答案．

解：根据题意，将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为：

故答案为：120．

【点拨】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握圆和圆心角的性质，从而完成求解．

类型四、圆心角与它所对弧的度数

4．如图，在O中，，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．

（1）求证：；

（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）

【分析】

（1）连接OC，由AC=BC，可得∠AOC=∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，由角平分线定理可得CD=CE；

（2）由∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC，可得∠AOC=60°，又∠CDO=90°，得∠OCD=30°，可得，由勾股定理可得，可得；同理可得，进而求出．

  （1）证明：连接OC．

∵AC=BC，

∴∠AOC=∠BOC．

∵CD⊥OA，CE⊥OB，

∴CD=CE．

（2）解：∵∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC，

∴∠AOC=60°．

∵∠CDO=90°，

∴∠OCD=30°，

∵OC=OA=2，

∴．

∴，

∴，

同理可得，

∴．

【点拨】本题主要考查了圆心角与弧的关系，角平分线的性质，勾股定理以及面积计算，熟练掌握圆中的相关定理是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 如图，A为⊙O上的一点，C为⊙O外的一点，AC交⊙O于点B，且OA=BC，∠C=24°.求∠A的度数.

【答案】48°

【分析】连接OB，利用等腰三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系解答即可．

解：连接OB

则OA=OB

∵OA=BC

∴OB=BC

∴∠C=∠BOC=24°

∴∠A=∠OBA=∠C+∠BOC=24°+24°=48°

【点拨】此题考查圆心角、弧、弦的关系．关键是利用等腰三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系解答．

【变式2】．（理论学习）学习图形变换中的轴对称知识后，我们容易在直线上找到点，使的值最小，如图所示，根据这一理论知识解决下列问题：

（1）（实践运用）如图，已知的直径为，弧所对圆心角的度数为，点是弧的中点，请你在直径上找一点，使的值最小，并求的最小值．

（2）（拓展延伸）在图中的四边形的对角线上找一点，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法）．

【答案】（1）；（2）详见解析.

【分析】

（1）先作B关于CD的对称点E，连接OA、OB、OE、AE，AE交CD于P，求出∠AOE=90°，求出△AOE是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AE，即可求出答案；
（2）画点B关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P．则点P即为所求．

解：（1）作点关于的对称点，则点在圆上，连接交于点，则最短，连接.

，是弧的中点，

，

关于的对称点，

又，是等腰直角三角形，

∴

（2）如图，作点关于的对称点B′，连接DB′交于点，

由AC是BB′的垂直平分线，可得∠APB=∠APD.

【点拨】此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．

【变式3】 如图所示，为的直径，为延长线上一点，交于，连，，，求的度数.

【答案】.

【分析】由AB=OC得到AB=BO，则∠A=∠2，而∠1=∠E，因此∠EOD=3∠A，即可求出∠EOD．

解：连OB，如图，

∵AB=OC，OB=OC，
∴AB=BO，
∴∠A=∠1，
而∠2=∠A+∠1，
∴∠2=2∠A，
∵OB=OE，
∴∠2=∠E，
∴∠E=2∠A，
∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°．

【点拨】本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质和三角形外角定理．