内蒙古包头市青山区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份内蒙古包头市青山区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．2024年李强总理政府工作报告指出，今年发展的主要预期目标是：国内生产总值增长左右；城镇新增就业1200万人以上．将数据“1200万”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则∠2等于（ ）
A．B．C．D．
4．对任意整数，都能（ ）
A．被3整除B．被4整除C．被5整除D．被6整除
5．如图，实数在数轴上对应的点到原点的距离为5．下列各数中，与最接近的是（ ）
A．B．C．D．
6．某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：168，184，187，188，197．现用一名身高为178cm的队员换下场上身高为197cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变小，方差变小B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小D．平均数变大，方差变大
7．如图，已知点在上，为的中点．若，，则的长等于（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，点B在y轴正半轴上，点，将沿x轴正方向平移得到，若点E恰好落在直线上，则此时点D的坐标为（ ）

A．B．C．D．
9．如图，在菱形中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：①，②如果，那么，③，④；其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．如图，正方形的边长为，的边，分别与边相交于点，，若的面积为，则与的长度比为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．因式分解： ．
12．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ．
13．化简：的结果是 ．
14．如图，圆O的直径垂直于弦，垂足是E，的长为 ．
15．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
16．如图，反比例函数的图象上有一动点A，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，，则 ．

三、解答题
17．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
18．某班数学教师给七（1）班学生推荐《数学密码》、《数学家的故事》、《原来数学》三本数学课外读物，小明和小聪商量做一个数学游戏，将这三本书的书名写在形状与质地完全相同且不透明的三张卡片上，并将这三张卡片倒扣在桌面上，第一步：由小明在这三本书中随机抽取一本；第二步：由小聪在剩下的两本书中随机抽取一本，
(1)小明抽到的《生活中的数学》是__________事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）
(2)请用画树状图法或列表法，求小明抽中《原来数学》、小聪抽中《数学家的故事》的概率．
19．如图，我市在三角形公园旁修建了两条骑行线路：①E—A—C；②E—D—C．经勘测，点A在点B的正西方10千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西方向，点D在点C的正南方20千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东方向．
（参考数据：，）
(1)求的长度．（结果精确到1千米）
(2)由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？
20．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）：
(1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
(2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？请说明理由.
21．如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别与，交于点，，过点作的切线，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．（用两种方法求解）
22．（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．

【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
23．如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围；
(3)已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标．
《2024年内蒙古包头市青山区中考二模数学试题》参考答案
1．D
解：A、是有理数，不符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是有理数，不符合题意；
D、开方开不尽，是无理数，符合题意；
故选：D．
2．B
解：1200万，
故选B．
3．D
解：∵直角三角板的直角顶点在直线上，，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
4．B
∵，
∴故一定能被4整除，
故选B．
5．A
根据题意，得到，
因为
所以
所以在之间，
所以
所以数轴上表示数m与的距离小于表示数m与的距离，
即数m与 最接近，
故选A．
6．A
解：原来数据的平均数：（cm），
方差：
现在数据的平均数：（cm），
方差：
∴平均数变小了，方差变小了．
故选：A．
7．B
解：连接，如图：
C为的中点，
，
，
，
，
，
故选：B．
8．B
解：∵点，
∴，
∵是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵E是点B沿x轴向右平移得到的点，
∴点E的纵坐标为2，
将代入中，得，
∴点，
∴点E是点B向右平移4个单位长度得到的，
∴点D也是点A向右平移4个单位长度得到的，
∴点，即点，
故选：B．
9．B
解：连接，如图，
由作法得垂直平分，
，，，
四边形为菱形，
，，
，
和都为等边三角形，
，所以①正确；
，
，，
在中，，
，，
，
，
，所以②正确；
，，
，所以③错误；
，，
而，
，所以④正确．
故选：B．
10．C
解：如图，过点作于，交于，

在正方形中，，，
又，
四边形是矩形，
，且正方形的边长为，
正方形的面积，
，
的面积为，
，
，
，
，，
，，
，
故选：C．
11．/
解：
故答案为：．
12．
解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且，
∴，
解得：，
故答案为：．
13．
原式
故答案为
14．
解：∵，
∴，
∵圆的直径垂直于弦，
∴，则为等腰直角三角形，
∵
∴，
∴．
故答案为：．
15．-3．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴
=
=1+2×（-2）
=-3
故答案为：-3．
16．
解：连接，作轴于点M，轴于点N，如图，

由题意可知，点A、点B关于原点对称，
∴，
∵
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
而，
∴，
∵，
而，
∴
故答案为：.
17．（1）；（2）
解：（1）
；
（2）
解①得：；
解②得：，
故不等式组的解集为：．
18．(1)不可能
(2)
（1）解：因为是随机抽取，则抽中的结果是随机的，
从《数学密码》、《数学家的故事》、《原来数学》三本数学课外读物中，小明抽到的《生活中的数学》是不可能事件．
故答案为：不可能；
（2）将《数学密码》、《数学家的故事》、《原来数学》三本数学课外读物分别记为A，B，C，画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小明抽中《原来数学》、小聪抽中《数学家的故事》的结果有：1种，
∴小明抽中（原来数学）、小聪抽中（数学家的故事）的概率为．
19．(1)千米
(2)②
（1）解：过点作，交的延长线于点，
，
根据题意得：，
四边形是矩形，
，
在中，（千米），
（千米），
（千米），
（千米），
在中，，
（千米），
（千米）；
（2）解：应该选择路线②；
在中，，
，
路线①总路程（千米），
路线②总路程（千米），
，
故选路线②．
20．(1)第30分钟学生的注意力更集中；
(2)能，理由见解析
（1）设线段所在直线的解析式为，
把代入得,
∴，
∴，
设，所在双曲线的解析式为，
把代入得，
∴．
当时，；
当时，．
∴．
∴第30分钟学生的注意力更集中；
（2）能
令，则，
∴．
令，则，
∴．
∵，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目
21．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：连接，
，，
，
是直径，
，即，
，
，，
是的中位线，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
在中，根据勾股定理得，，
点是中点，
，
是的直径，
，
，
，
，
．
（方法二）连接，
在中，根据勾股定理得，，
∵，
∴，
∵，
∴F为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
得.
22．（1）见解析 （2）见解析 （3）3
（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
23．(1)
(2)
(3)
（1）解：设抛物线的表达式为，
将点的坐标代入上式得：，
解得，
故抛物线的函数表达式为；
（2）如图，过点作轴交于，过点作轴交于，

设直线的解析式为，把，代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
设，且，则，
，
将代入，得到
，
，，
轴，轴，
，
，
，
，
当时，取得最大值，
，
，
的最大值为，
；
（3）当点绕着点顺时针旋转得到点时，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，
，，
，
，
，
，
，，
点在直线：上，设点，
则，，
，，
点的坐标为，
点在抛物线上，代入抛物线解析式得：，
解得：，，
点的坐标为或
当点绕着点逆时针旋转得到点时，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，

同理可得点的坐标为
点在抛物线上，代入抛物线解析式得：，
解得：，，
点的坐标为或；
综上所述点M的坐标为或或或．