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内蒙古自治区乌兰察布市2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含答案)
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这是一份内蒙古自治区乌兰察布市2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含答案)，共19页。
1.本试卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟．
2.答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置．
3.答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1. 若，则括号内应填的单项式是( )
A. aB. C. D.
答案：A
2. 一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
3. 如图，已知，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
4. 定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（ ）
A. B. 5C. D.
答案：B
5. 如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（ ）
A. A点B. B点C. C点D. D点
答案：D
6. 如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
7. 如图，图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
答案：A
8. 如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
9. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）
A. cmB. 9 cm
C. cmD. cm
答案：C
10. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上．
11. 与最简二次根式是同类二次根式，则______．
答案：1
12. 设、是一元二次方程的两个根，且，则______．
答案：5
13. 如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留）．
答案：
14. 如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是______．
答案：
15. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为____.
答案：6﹣2.
16. 如图，等边三角形ABC的边长为4， 点O是的中心， ∠FOG = 120°， 绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、 E两点，连接DE，给出下列四个结论:①OD= OE;②;③四边形ODBE的面积始终等于;④周长的最小值为6.上述结论中正确的有_________(写出序号)
答案：①③④
三、解答题：本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
17. （1）化简：．
（2）先化简，再求值：，其中．
答案：（1）；（2），
解析：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
18. 2023年5月30日，神州十六号载人飞船成功发射，为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发学生探索和创新热情，某初中在全校开展航天知识竞赛活动现采用简单随机抽样的方法从每个年级抽取相同数量的学生答题成绩进行分析，绘制成下列图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：
学生参加航天知识竞赛成绩频数分布表
学生参加航天知识竞赛成绩统计表
（1）_________；_________%；
（2）请根据“学生参加航天知识竞赛成绩统计表”对本次竞赛中3个年级的总体情况做出评价，并说明理由．
答案：（1）90；10
（2）七年级的平均分最高；八年级的中位数最大；九年级的众数最大
【小问1详解】
∵抽取的总人数为（人），
∴C组的人数为（人），
；
故答案为：90，10；
【小问2详解】
七年级的平均分最高；
八年级的中位数最大；
九年级的众数最大．（答案不唯一）．
19. 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛最近(结果保留根号)？
（2）渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？
答案：（1）；（2）南偏东；
解析：（1）过点作的垂线交于点，
∵垂线段最短，上的点距离点最近，即为所求，
由题意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°，
∴，
∴渔船航行时，距离小岛最近．
（2）在中，，
∠DBC=60°，
∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°，
∴，
.
答：从处沿南偏东出发，最短行程.
20. 某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象(如图)，图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．
(1)第24天的日销售量是 件，日销售利润是 元；
(2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？
答案：（1）330；660 ；（2）答案见解析；（3）日销售利润不低于640元的天数共有11天，试销售期间，日销售最大利润是720元．
解析：（1）340﹣（24﹣22）×5=330（件），
330×（8﹣6）=660（元）．
（2）设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx，
将（17，340）代入y=kx中，
340=17k，解得：k=20，
∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=20x．
根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y=340﹣5（x﹣22）=﹣5x+450．
联立两线段所表示的函数关系式成方程组，
得，解得，
∴交点D坐标为（18，360），
∴y与x之间的函数关系式为y=．
（3）当0≤x≤18时，根据题意得：（8﹣6）×20x≥640，
解得：x≥16；
当18＜x≤30时，根据题意得：（8﹣6）×（﹣5x+450）≥640，
解得：x≤26．
∴16≤x≤26．
26﹣16+1=11（天），
∴日销售利润不低于640元的天数共有11天．
∵点D的坐标为（18，360），
∴日最大销售量为360件，
360×2=720（元），
∴试销售期间，日销售最大利润是720元．
21. 如图1，四边形内接于圆，是圆的直径，过点的切线与的延长线相交于点．且
（1）求证：；
（2）过图1中的点作，垂足为（如图2），当，时，求圆的半径．
答案：（1）见解析；（2）
解析：（1）证明：作于，连接，
∵是圆的切线，
∴，即，
∵是圆的直径，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴经过点，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵经过点，，
∴，
在和中，
，
∴≌
∴，
∵，，
∴，
则，
∴，
∴圆的半径为．
22. 如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）
（1）当点和点重合时，线段的长为__________；
（2）当点和点重合时，求；
（3）当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
（4）作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围．
答案：（1）
（2）
（3）见解析 （4）或或
【小问1详解】
如图所示，连接，
∵四边形是矩形
∴
∵，
∴四边形是矩形，
当点和点重合时，
∴，
在中，，
故答案为：．
【小问2详解】
如图所示，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴；
【小问3详解】
如图所示，过点作于点，
∵，，
∴，
则四边形是矩形，
∴
又∵
∴，
∴
∴
∴是等腰直角三角形；
【小问4详解】
①如图所示，当点上时，
∵，
在中，，
则，
∵，则，，
在中，，
∴
解得：
当时，点在矩形内部，符合题意，
∴符合题意，
②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，
则，，
在中，
，
解得：，
③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，此时
综上所述，或或．
23. 如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
图1 图2 备用图
（1）求该抛物线解析式和的值；
（2）如图1，点为第一象限抛物线上的点，连接．当时，求点的坐标；
（3）如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点分别为的边上的动点，且，记的最小值为．求的值．
答案：（1），
（2）
（3）
【小问1详解】
抛物线经过点，，
，
解得：，
抛物线解析式为：，
与轴交于、两点，
时，，解得：，，
，
，，
在中，．
【小问2详解】
过点作轴，交于点，过点作轴，交轴于点，
，
，，，
，
由（1）可得，，即，
，
，
，
轴，轴，
，，
，
又，
，
，
设点坐标为，则，，
，
解得：（舍），，
点坐标为；
【小问3详解】
如图，作，且使，连接FH，
，，
，
，，
，
，，
共线时，的值最小．
作于点，
，，
，
，
，
．
设，则，
，
解得或（舍去），
，
，
，，
在中，．
图1
图2
竞赛成绩x（组别）
（A）
（B）
（C）
（D）
（E）
（F）
频数
21
96
a
57
b
6
年级
平均数
众数
中位数
七年级
82
81
八年级
82
82
九年级
83
80
1.本试卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟．
2.答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置．
3.答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1. 若，则括号内应填的单项式是( )
A. aB. C. D.
答案：A
2. 一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
3. 如图，已知，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
4. 定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（ ）
A. B. 5C. D.
答案：B
5. 如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（ ）
A. A点B. B点C. C点D. D点
答案：D
6. 如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
7. 如图，图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
答案：A
8. 如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
9. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）
A. cmB. 9 cm
C. cmD. cm
答案：C
10. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上．
11. 与最简二次根式是同类二次根式，则______．
答案：1
12. 设、是一元二次方程的两个根，且，则______．
答案：5
13. 如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留）．
答案：
14. 如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是______．
答案：
15. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为____.
答案：6﹣2.
16. 如图，等边三角形ABC的边长为4， 点O是的中心， ∠FOG = 120°， 绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、 E两点，连接DE，给出下列四个结论:①OD= OE;②;③四边形ODBE的面积始终等于;④周长的最小值为6.上述结论中正确的有_________(写出序号)
答案：①③④
三、解答题：本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
17. （1）化简：．
（2）先化简，再求值：，其中．
答案：（1）；（2），
解析：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
18. 2023年5月30日，神州十六号载人飞船成功发射，为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发学生探索和创新热情，某初中在全校开展航天知识竞赛活动现采用简单随机抽样的方法从每个年级抽取相同数量的学生答题成绩进行分析，绘制成下列图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：
学生参加航天知识竞赛成绩频数分布表
学生参加航天知识竞赛成绩统计表
（1）_________；_________%；
（2）请根据“学生参加航天知识竞赛成绩统计表”对本次竞赛中3个年级的总体情况做出评价，并说明理由．
答案：（1）90；10
（2）七年级的平均分最高；八年级的中位数最大；九年级的众数最大
【小问1详解】
∵抽取的总人数为（人），
∴C组的人数为（人），
；
故答案为：90，10；
【小问2详解】
七年级的平均分最高；
八年级的中位数最大；
九年级的众数最大．（答案不唯一）．
19. 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛最近(结果保留根号)？
（2）渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？
答案：（1）；（2）南偏东；
解析：（1）过点作的垂线交于点，
∵垂线段最短，上的点距离点最近，即为所求，
由题意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°，
∴，
∴渔船航行时，距离小岛最近．
（2）在中，，
∠DBC=60°，
∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°，
∴，
.
答：从处沿南偏东出发，最短行程.
20. 某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象(如图)，图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．
(1)第24天的日销售量是 件，日销售利润是 元；
(2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？
答案：（1）330；660 ；（2）答案见解析；（3）日销售利润不低于640元的天数共有11天，试销售期间，日销售最大利润是720元．
解析：（1）340﹣（24﹣22）×5=330（件），
330×（8﹣6）=660（元）．
（2）设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx，
将（17，340）代入y=kx中，
340=17k，解得：k=20，
∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=20x．
根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y=340﹣5（x﹣22）=﹣5x+450．
联立两线段所表示的函数关系式成方程组，
得，解得，
∴交点D坐标为（18，360），
∴y与x之间的函数关系式为y=．
（3）当0≤x≤18时，根据题意得：（8﹣6）×20x≥640，
解得：x≥16；
当18＜x≤30时，根据题意得：（8﹣6）×（﹣5x+450）≥640，
解得：x≤26．
∴16≤x≤26．
26﹣16+1=11（天），
∴日销售利润不低于640元的天数共有11天．
∵点D的坐标为（18，360），
∴日最大销售量为360件，
360×2=720（元），
∴试销售期间，日销售最大利润是720元．
21. 如图1，四边形内接于圆，是圆的直径，过点的切线与的延长线相交于点．且
（1）求证：；
（2）过图1中的点作，垂足为（如图2），当，时，求圆的半径．
答案：（1）见解析；（2）
解析：（1）证明：作于，连接，
∵是圆的切线，
∴，即，
∵是圆的直径，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴经过点，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵经过点，，
∴，
在和中，
，
∴≌
∴，
∵，，
∴，
则，
∴，
∴圆的半径为．
22. 如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）
（1）当点和点重合时，线段的长为__________；
（2）当点和点重合时，求；
（3）当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
（4）作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围．
答案：（1）
（2）
（3）见解析 （4）或或
【小问1详解】
如图所示，连接，
∵四边形是矩形
∴
∵，
∴四边形是矩形，
当点和点重合时，
∴，
在中，，
故答案为：．
【小问2详解】
如图所示，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴；
【小问3详解】
如图所示，过点作于点，
∵，，
∴，
则四边形是矩形，
∴
又∵
∴，
∴
∴
∴是等腰直角三角形；
【小问4详解】
①如图所示，当点上时，
∵，
在中，，
则，
∵，则，，
在中，，
∴
解得：
当时，点在矩形内部，符合题意，
∴符合题意，
②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，
则，，
在中，
，
解得：，
③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，此时
综上所述，或或．
23. 如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
图1 图2 备用图
（1）求该抛物线解析式和的值；
（2）如图1，点为第一象限抛物线上的点，连接．当时，求点的坐标；
（3）如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点分别为的边上的动点，且，记的最小值为．求的值．
答案：（1），
（2）
（3）
【小问1详解】
抛物线经过点，，
，
解得：，
抛物线解析式为：，
与轴交于、两点，
时，，解得：，，
，
，，
在中，．
【小问2详解】
过点作轴，交于点，过点作轴，交轴于点，
，
，，，
，
由（1）可得，，即，
，
，
，
轴，轴，
，，
，
又，
，
，
设点坐标为，则，，
，
解得：（舍），，
点坐标为；
【小问3详解】
如图，作，且使，连接FH，
，，
，
，，
，
，，
共线时，的值最小．
作于点，
，，
，
，
，
．
设，则，
，
解得或（舍去），
，
，
，，
在中，．
图1
图2
竞赛成绩x（组别）
（A）
（B）
（C）
（D）
（E）
（F）
频数
21
96
a
57
b
6
年级
平均数
众数
中位数
七年级
82
81
八年级
82
82
九年级
83
80
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