2025小升初数学热点考点强化第3讲分数问题(一)(讲义)(原卷版+解析)

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考点目录
TOC \ "1-1" \h \u
1、 \l "_Tc29860" 分数的大小比较 PAGEREF _Tc29860 \h 2
2、 \l "_Tc28490" 分数的拆项 PAGEREF _Tc28490 \h 6
3、 \l "_Tc4646" 巧算分数和 PAGEREF _Tc4646 \h 10
4、 \l "_Tc14552" 分数和百分数应用题 PAGEREF _Tc14552 \h 14
热点透析
考情透析
热点突破1

关键知识
分数的大小比较
分数的大小比较常用方法：
（1）通分母：分子小的分数小．
（2）通分子：分母小的分数大．
（3）比倒数：倒数大的分数小．
（4）与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．（适用于真分数）
（5）重要结论：
①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；
②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大．
（6）放缩法．
典型例题
例1：
例1：在20082007，20072008，20092008，20082009这四个数中，最大的数是（ ）
A、20072008 B、20082007 C、20092008 D、20082009
【分析】首先观察这四个分数，排除掉分母比分子大的20072008和20082009，剩下20082007和20092008，它们的共同点在于都可以把它们看作“1+分数单位”的形式，如20082007=1+12007，20092008=1+12008，它们的不同点在于两者的分母一个大一个小，然后根据“分子相同，分母大的反而小，分母小的反而大”，做出判定．
【解答】因为20072008＜1，20082009＜1，20082007＞1，20092008＞1，因此20072008和20082009应排除；
20082007=1+12007，
20092008=1+12008，
12007＞12008，
因此20082007＞20092008．
最大数是20082007．
故选：B．
【点评】此题属于分数的大小比较，分数的比较大小的方法很多，根据不同的题目，灵活解答．
跟踪训练
【跟踪训练1】（2024•天河区）2024a+2024b=2024c（a,b,c都是不等于0的自然数），a,b,c中最小的是（ ）
【答案】D
【分析】根据分数加法的计算方法可知：2024a+2024b的和一定大于其中任意一个加数，也就是2024c一定大于2024a、2024b，再根据分数比较大小的方法可知：分子相等的分数，分母大的反而小，从而找出a、b、c中最小的。
【解答】解：因为2024a+2024b=2024c，所以2024c＞2024a、2024c＞2024b。
根据分子相等的分数，分母大的反而小，可知：2024c＞2024a，则c＜a,同理，因为2024c＞2024b，所以c＜b,所以a,b,c中最小的是c。
故选：D。
【跟踪训练2】（2024•云城区）若27＜17A＜13，式中A最多可能表示（ ）个不同的自然数．
【答案】C
【分析】把27＜17A＜13，分成27＜17A，17A＜13两个不等式来解，据此解答．
【解答】解：27＜17A
2A＜7×17
2A＜119
A＜59.5
17A＜13
A＞17×3
A＞51
所以51＜A＜59.5
在51和59.5之间的自然数有52、53、54、55、56、57、58、59共8个；
故选：C．
【跟踪训练3】在314%，175，π，3.122这四个数中，最大的数是 ______，最小的数是 ______。
【答案】175，3.122。
【分析】首先把175、314%化成小数，再求出π的近似值，然后再根据小数的大小比较方法，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数大；如果十分位上的数也相同，百分位上的数大的那个数大，解答即可。
【解答】解：175=3.4
π≈3.1416
314%=3.14
因为3.4＞3.1416＞3.14＞3.122
所以314%，175，π，3.122这四个数中，最大的数是175，最小的数是3.122。
故答案为：175，3.122。
【跟踪训练4】把下列分数按大小顺序排列：23，58，1523，1017，1219______．
【答案】见试题解答内容
【分析】把分数的分子都化为相同的数，而2，5，15，10，12的最小公倍数是60，根据分数的基本性质，分子扩大多少倍，分母就扩大多少倍，再利用分子相同时，分母大的分数反而小即可．
【解答】解：因为：
23=2×303×30=6090
58=5×128×12=6096
1523=15×423×4=6092
1017=10×617×6=60102
1219=12×519×5=6095
且90＜92＜95＜96＜102
所以：23＞1523＞1219＞58＞1017
故答案为：23＞1523＞1219＞58＞1017．
【跟踪训练5】比较12、23、34、56的大小，你能发现什么？根据你发现的规律猜一下1718与1920哪个更大，并进行验证．
【答案】我发现分子比分母少1时，分母越大，分数值越大。
猜想1718＜1920，1718≈0.94，1920=0.95，0.94＜0.95猜想成立。
【分析】先化成小数来比较12、23、34、56的大小，再猜想并验证1718与1920哪个更大即可。
【解答】解：12=0.5
23≈0.67
34=0.75
56≈0.83
因此12＞23＞34＞56。
我发现分子比分母少1时，分母越大，分数值越大。
猜想1718＜1920。
1718≈0.94
1920=0.95
0.94＜0.95
因此猜想成立。
【跟踪训练6】五（1）班有38的同学看过《西游记》，有28的同学看过《朝花夕拾》，有12的同学看过《红楼梦》，还有14的同学看过《钢铁是怎样炼成的》。看过哪本名著的同学最多？
【答案】《红楼梦》。
【分析】根据分数的基本性质，将各分数都化为分母为8的分数；接着根据同分母分数比较大小的方法，即可解答。
【解答】解：12=48
14=28
48＞38＞28
答：看过《红楼梦》的同学最多。
热点突破2

关键知识
分数的拆项
（1）分母为两个相邻自然数时：1n（n+1）=1n-1n+1
（2）分母为两个不相邻自然数时（差为a）：an（n+a）=1n-1n+a或1n（n+a）=（1n+1n+a）×1a．
典型例题
例1：
例1：＝ ．
【分析】根据平方差公式：原式＝，再将括号里的数从第二个数开始进行计算，即可将括号中间的数消掉，再计算即可．
【解答】，
＝，
＝，
＝，
＝．
故答案为：．
【点评】解决本题的关键是利用平方差公式将分数分解再利用简便运算计算．
跟踪训练
【跟踪训练1】12+14+18+116+……+1128+1256=（ ）
【答案】C
【分析】根据拆项公式12n=1n−12n拆项后通过加减相互抵消即可简算．
【解答】解：12+14+18+116+……+1128+1256
=1-12+12-14+14-18+18-116+……+164-1128+1128-1256
=1-1256
=255256
故选：C．
【跟踪训练2】在算式118+1a+1b+1c=1中，字母a、b、c代表不同的整数，这三个数的和可以是（ ）
【答案】C
【分析】把分子分解成3个数的和，并且这3个加数都是分母的因数，然后约分即可变成分子为1的分数；据此解答即可。
【解答】解：118+1a+1b+1c=1
所以1a+1b+1c=1718
1718=2+6+918=218+618+918=19+13+12
则a=9，b=3，c=2。
a+b+c=14
故选：C。
【跟踪训练3】计算：12×4+14×6+16×8+18×10=______．
【分析】12×4=12×（12-14），14×6=12×（14-16），16×8=12×（16-18），18×10=12×（18-110），再根据乘法分配律简算．
【解答】解：12×4+14×6+16×8+18×10
=12×（12-14）+12×（14-16）+12×（16-18）+12×（18-110）
=12×（12-14+14-16+16-18+18-110）
=12×（12-110）
=12×25
=15
故答案为：15．
【跟踪训练4】（2024•晋州市）观察下列式子：12=11−12，16=12−13，112=13−14，120=14−15……请计算12+16+112+120+130+142+156+172+190=______。
【答案】910。
【分析】根据“1n（n+1）=1n−1n+1”可得：
190=19×10=19−110
172=18×9=18−19
……
【解答】解：12+16+112+120+130+142+156+172+190
=（1-12）+（12-13）+（13-14）+……+（18-19）+（19-110）
=1-12+12-13+13-14+……+18-19+19-110
=1-110
=910
故答案为：910。
【跟踪训练5】（2023春•泰兴市期末）细心观察下面三道算式中的规律，把后一道算式补充完整。
12−13=16
13−14=112
14−15=120
15−16=（）
你能用上面发现的规律计算下面的这道题吗？
16+112+120+130+142=______=______
【分析】观察可得规律，分母是两个连续自然数的乘积，分子是1的分数，可以化成分子是1，分母分别是两个连续自然数的分数的差。据此解答。
【解答】解：因为12−13=16
13−14=112
14−15=120
则15-16=130
由规律分母是两个连续自然数的乘积，分子是1的分数，可以化成分子是1，分母分别是两个连续自然数的分数的差可得，
16+112+120+130+142=12-13+13-14+14-15+15-16+16-17=514
故答案为：12-13+13-14+14-15+15-16+16-17，514。
【跟踪训练6】（2023秋•曾都区期末）先阅读，再计算：
因为1−12=21×2−12×1=11×2，所以11×2=1−12；
因为12−13=32×3−23×2=12×3，所以12×3=12−13；
因为13−14=43×4−34×3=13×4，所以13×4=13−14⋯⋯
根据以上材料，计算
11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7+17×8+18×9=______
【答案】89。
【分析】根据分数裂项直接简便运算即可。
【解答】解：11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7+17×8+18×9
=1-12+12−13+13−14+……17-18+18-19
=1-19
=89
故答案为：89。
热点突破3

关键知识
巧算分数和
1．凑整法
与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数…从而使运算得到简化．
2．约分法
3．裂项法
若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算．
4．代数法
5．分组法．
典型例题
例1：
例1：计算：
1+316+5112+7120+9130+11142+13156+15172+17190=
8125
．
【分析】通过观察可知，式中加数的整数部分为等差数列，分数部分的分母都为n（n+1）形式，因此本题可将算式中带分数的整数部分与分数部分分别相加，整数部分可据高斯求公式巧算，分数部分可据1n（n+1）=1n-1n+1进行巧算．
【解答】1+316+5112+7120+9130+11142+13156+15172+17190
=（1+3+5+7+9+11+13+15+17）+（12×3+13×4+14×5+15×6+16×7+17×8+18×9+19×10），
=1+172×9+[（12−13）+（13−14）+（14−15）++（19−110）]，
=81+（12−110），
=81+25，
=8125．
【点评】完成本题的过程中用了两个巧算公式，因此在学习的过程中要注意多了解一些关于数的巧算公式．
跟踪训练
【跟踪训练1】算式12+14+18+116+132+164+1128，再加上（ ）后，结果就是1。
【答案】A
【分析】观察算式，发现前一项减后一项还等于后一项，根据此将每一项拆成两项，进行抵消计算即可。
【解答】解：12+14+18+116+132+164+1128
=（1-12）+（12−14）+（18−116）+（116−132）+（132−164）+（164−1128）
=1-1128
所以12+14+18+116+132+164+1128
再加上1128后，结果就是1。
故选：A。
【跟踪训练2】计算12+14+18+116+132+164+1128+……，照这样不断加下去，总和接近（ ）
【答案】A
【分析】根据拆项公式：12n=1n−12n，拆项后通过加减相互抵消，根据分母越大分数值越小即可确定这个算式的和越来越接近1。
【解答】解：12+14+18+116+132+164+1128+……
=1-12+12−14+14−18+18−116+116-132+132−164+164−1128+……+12n
=1-12n
当n的值越来越大，那么12n越接近0，
所以1-12n就越接近1，
所以照这样的规律加下去，这个算式的和越来越接近 1。
故选：A。
【跟踪训练2】一列数：1.64，1.64+130，1.64+230，……，1.64+2930，求整数部分之和是 ______。
【答案】49。
【分析】因为1-0.64=0.36，1030≈0.33，1130≈0.37，所以1.64+1130之前整数部分是1，之后整数部分是2，共有11个1，19个2，据此解答即可。
【解答】解：1-0.64=0.36
1030≈0.33
1130≈0.37
所以1.64、⋯⋯1.64+1030的整数部分是1，有11个；1.64+1130、⋯⋯1.64+2930的整数部分是2，有19个，
11×1+19×2=49
整数部分之和是49。
【跟踪训练4】如果a和b都是非零自然数，并且满足a4+b7=2728，那么a+b=______．
【分析】由a4+b7=2728可变形为：7a+4b=27，因为a和b都是非零的自然数，这里只要求出这个二元一次方程的整数解即可．
【解答】解：a4+b7=2728可变形为：7a+4b=27，即b=27−7a4，
因为a和b都是非零的自然数，所以a＞0，7a＜27，
即0＜a＜277，那么a是1，2，3，
则a=1时，b=5，
a+b=1+5=6；
a=2时，b=134（不合题意舍去）；
a=3时，b=1.5（不合题意舍去）．
故a+b=6．
故答案为：6．
【跟踪训练5】（2024秋•白云区校级期中）请用简便方法计算求和。
已知14−17=7−47×4=37×4，17−110=10−710×7=310×7⋯⋯
求：31×4+34×7+37×10++322×25+325×28
【答案】2728。
【分析】把分数转化为两个相减的分数，再计算即可。
【解答】解：31×4+34×7+37×10++322×25+325×28
=1-14+14-17+17-110++122-125+125-128
=1-128
=2728
【跟踪训练6】观察如图，通过计算验证，我们发现以下关系式：
12+14+18=1-18=78
12+14+18+116=1-116=1516
……
由此我们可以推断：12+14+18+116+132=1-132=（）（）
【答案】3132。
【分析】观察如图，通过计算验证，我们发现以下关系式：
12+14+18=1-18=78
12+14+18+116=1-116=1516
……
由此可以得出12+14+18+116+……+12n=1-12n，然后代入数据进行解答。
【解答】解：12+14+18+116+132
=1-132
=3132
故答案为：3132。
热点突破4

关键知识
分数和百分数应用题
下列五种基本类型的解题方法：
1．求：一个数的百分之几是多少？
方法：单位1×对应分率=比较量
2．已知一个数的百分之几是多少，求这个数．
方法：比较量÷对应分率=单位1；
或设这个数（单位1）为X，用方程解．
3．条件中有“比 多（少）百分之几（几分之几）”，
求：标准量（单位1）或比较量？
方法：（1）单位1±单位1×n%=比较量
（2）单位1×（1±n%）=比较量
（3）比较量÷（1±n%）=单位1
找准单位一是关键．单位一是已经条件的用方法（1）（2），未知的用方法（3），设标准量为X．
4．求：“比 多（少）百分之几（几分之几）”？
方法：相差数÷单位1
5．“是（占、相当于） 的百分之几（几分之几）”
方法：比较量÷单位1
（提示：在出油率、发芽率、正确率、成活率、出勤率、含盐率等题目中，单位“1”是总数，即整体量．
典型例题
例1：
例1：甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了13，乙、丙合修2天完成了余下工程的14，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现在领工资共18000元，依工作量分配，甲、乙、丙应各得多少元？
【分析】要求每人分得的钱数，因为按各人所完成的工作量的多少来合理分配工资，所以必须知道每人完成的工作量．要求每人完成的工作量，就要知道每人的工作效率；由题意得甲、乙、丙工作效率之和为：[1-13-（1-13）×14]÷5=110，乙、丙合修2天修好余下的14，乙、丙工作效率之和为：（1-13）×14÷2=112，甲的工作效率为：110−112=160，同理可求出乙、丙的工作效率．然后求出各自的工作量．
【解答】甲分得的钱为：18000×{[1-13-（1-13）×14]÷5-（1-13）×14÷2}×（6+5），
=18000×{[1-13-16]÷5-16÷2}×11，
=18000×{110−112}×11，
=3300（元）；
丙分得的钱为：18000×{[1-13-（1-13）×14]÷5−13÷6}×（2+5），
=18000×{[1-13-16]÷5-118}×（2+5），
=18000×{110-118}×（2+5），
=18000×245×7，
=5600（元）；
乙分得的钱为：18000-3300-5600=9100（元）．
答：甲、乙、丙分别应得3300元、9100元、5600元．
【点评】此题属于工程问题，解答此类题的关键是要知道工作量、工作时间、工作效率之间的关系．工作效率=工作量÷工作时间．
跟踪训练
【跟踪训练1】小明有红、蓝两色彩球共95个，红球的12和蓝球的13一样多。两种球相差（ ）个。
【答案】A
【分析】红球的12和蓝球的13一样多，所以红球的个数×12=蓝球的个数×13，红球的个数：蓝球的个数13：12=2：3，把红球的个数和蓝球的个数分别看作2份和3份，它们的和是2+3=5（份），它们相差是3-2=1（份），用95除以一共的份数就是一份的个数，也就是相差的个数。
【解答】解：95÷（2+3）
=95÷5
=19（个）
答：两种球相差19个。
故选：A。
【跟踪训练2】父亲把所有财物平均分成若干份后全部分给儿子们，其规则是长子拿一份财物和剩下的十分之一，次子拿两份财物和剩下的十分之一，三儿子拿三份财物和剩下的十分之一，以此类推，结果所有儿子拿到的财物都一样多，请问父亲一共有几个儿子？（ ）
【答案】C
【分析】考察分数应用题，解题思路是根据题意找到等量关系，然后设未知数进行求解。
【解答】解：设父亲一共有X份财产。则：
第一个儿子（长子）拿了：1+X−110（份），第二个儿子（次子）拿了两份和剩下的110，即2+X−（1+X−110）−210份。
根据长子和次子拿到的财产一样多，可得：
1+X−110=2+（X−（1+X−110）−2）10
解得：X=81
则长子拿到：1+81−110=9（份）
由于每个儿子拿到的财产一样多，
所以父亲一共有：81÷9=9（个）
答：父亲一共有9个儿子。
故选：C。
【跟踪训练3】（2024•渝北区）甲、乙、丙3根木棒竖直插入水池中，且与水底接触。3根木棒的长度之和是480厘米，甲木棒有34露在水面外，乙木棒有47露在水面外，丙木棒有25露在水面外，则水深是 ______厘米。
【答案】60。
【分析】如图
把水深看成单位“1”，甲木棒有34露出水面外，那么甲木棒是水深的1÷（1-34）份，同理求出乙木棒，丙木各占水深的几分之几，480厘米除以对应分率就是水池的深度。
【解答】解：1÷（1-34）
=1÷14
=4（份）
1÷（1-47）
=1÷37
=73（份）
1÷（1-25）
=1÷35
=53（份）
480÷（4+73+53）
=480÷8
=60（厘米）
答：水深是60厘米。
故答案为：60。
【跟踪训练4】（2024•苏州）瓶内装满一瓶水，倒出全部水的12，然后再灌入同样多的酒精，又倒出全部溶液的13，又用酒精灌满，然后再倒出全部溶液的14，再用酒精灌满，那么这时的酒精占全部溶液的______%．
【分析】由题意知：把一瓶溶液看作单位“1”，倒出全部水的12，然后再灌入同样多的酒精，此时瓶内水占溶液的12；
又倒出全部溶液的13，又用酒精灌满，此时瓶内水占溶液的12×（1-13）=13；
然后再倒出全部溶液的14，再用酒精灌满，此时瓶内水占溶液的13×（1-14）=14；
这时的酒精占全部溶液的1-14=34．
【解答】解：1-12=12；
12×（1-13）=13；
13×（1-14）=14；
1-14=34．
34×100%=75%．
答：这时的酒精占全部溶液的 75%．
【跟踪训练5】（2024•西平县）有甲、乙两筐水果，甲筐重96千克，从甲筐取出它的13，从乙筐取出它的20%以后，此时甲乙两筐水果余下的重量比是4：3，乙筐水果原来有多少千克？
【答案】60千克。
【分析】依据题意甲筐剩下的水果重量=原来重量×（1-13），乙筐剩下的重量=甲筐剩下的重量×3÷4，乙筐原来的重量=乙筐剩下的重量÷（1-20%），由此列式计算即可。
【解答】解：96×（1-13）
=96×23
=64（千克）
64×3÷4=48（千克）
48÷（1-20%）
=48÷0.8
=60（千克）
答：乙筐水果原来有60千克。
【跟踪训练6】（2023•临海市）明天就是我国的传统节日“端午节”，小卖部的王阿姨准备了一些红枣粽子和蛋黄粽子，如果红枣粽子增加14，这时红枣粽子和蛋黄粽子的数量比是3：4；如果红枣粽子增加50%，蛋黄粽子减少5个，红枣粽子和蛋黄粽子的数量刚好相等。王阿姨一共准备了多少个红枣粽子？​
【答案】30个。
【分析】读题发现一个很明显的等量关系，“红枣粽子和蛋黄粽子的数量刚好相等”可以根据这一等量关系列方程求解；设原来红枣粽子的数量是x个，它的数量增加14后，就是（1+14）x个，这时红枣粽子和蛋黄粽子的数量比是3：4，也就是这时蛋黄粽子的数量是红枣粽子的43，用（1+14）x乘43就是蛋黄粽子的个数，再减去5个，就是后来蛋黄粽子的个数，后来红枣粽子增加50%，那么后来红枣粽子的个数就是（1+50%）x个，这与后来蛋黄粽子的个数相等，由此列出方程求解。
【解答】解：设王阿姨一共准备了x个红枣粽子。
（1+14）x×43-5=（1+50%）x
54x×43-5=1.5x
53x-1.5x=5
16x=5
x=30
答：王阿姨一共准备了30个红枣粽子。
热点考点
考查频率
考点难度
分数的大小比较
★★★
★★
分数的拆项
★★
★★★
巧算分数和
★★
★★★★
分数和百分数应用题
★★★★
★★★
【考情分析】考查分数问题常以选择填空题和解答题的形式出现，其中选择题出现的比例又较高但是一般难度较低。主要命题点有：分数的大小比较、分数的拆项、巧算分数和、分数和百分数应用题问题等问题，同学们在复习时应以基础为主，像分数的拆项、巧算分数和这类问题较难理解和掌握，同学们应在掌握基础的前提下多做相关题目加强理解。
A．无法确定
B．a
C．b
D．c
A．6
B．7
C．8
D．9
A．1
B．127128
C．255256
A．12
B．24
C．14
D．15
A．1128
B．164
C．127128
D．1256
A．1
B．2
C．10
D．100
A．19
B．20
C．25
D．30
A．6
B．8
C．9
D．10