2025小升初数学热点考点强化第4讲分数问题(二)(讲义)(原卷版+解析)

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考点目录
TOC \ "1-1" \h \u
1、 \l "_Tc17574" 按比例分配 PAGEREF _Tc17574 \h 2
2、 \l "_Tc3524" 工程问题 PAGEREF _Tc3524 \h 4
3、 \l "_Tc32309" 利润和利息问题 PAGEREF _Tc32309 \h 7
4、 \l "_Tc17714" 浓度问题 PAGEREF _Tc17714 \h 10
热点透析
考情透析
热点突破1

关键知识
按比例分配
1．按比例分配定义：
在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配．这种分配方法通常叫做按比例分配．
2．解题方法：
（1）求总份数
（2）想各部分占总数量的几分之几
（3）用分数乘法求出各部分是多少．
典型例题
例1：
例1：一堆由苹果核梨子组成的水果，苹果的质量和梨子的质量之比是4：3，现加入8斤梨子，水果的总质量变为64斤，求加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比为多少？
【分析】根据题意，加入8斤梨子，水果总质量变为64斤，则原来这堆水果有64-8=56斤，已知苹果的质量和梨子的质量之比是4：3，所以1份为：56÷（4+3）=8斤，苹果：8×4=32斤，梨子：8×3+8=32斤，进而求出求加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比即可．
【解答】1份量：（64-8）÷（4+3）=8（斤）
苹果：8×4=32（斤）
梨子：8×3+8=32（斤）
苹果：梨子=32：32=1：1．
答：加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比为1：1．
【点评】此题考查的目的是理解掌握按比例分配应用题的结构特征及解答规律．
跟踪训练
【跟踪训练1】（2023•黄山）一个三角形的三个内角的度数比是2：3：5，这个三角形是（ ）三角形。
【跟踪训练2】三个数的平均数是9，这三个数的比是2：3：4，这三个数中最小的数是（ ）
【跟踪训练3】甲、乙、丙三个数的比是5：7：8，这三个数的平均数是200，这三个数分别是______，______，______．
【跟踪训练4】红领巾是少先队员的标志，它的形状是一个等腰三角形，三个角的度数比是4：1：1，那么它的顶角是______度．
【跟踪训练5】四、五、六年级同学给学校图书室整理800本图书，四年级整理了图书总数的20%，剩下的按3：5分给五年级和六年级．四、五、六年级各整理了多少本图书？
【跟踪训练6】兄弟两人，每月收入的比是4：3，支出钱数的比是18：13．他们两人都结余360元，问每人每月各收入多少元？
热点突破2

关键知识
工程问题
工程问题公式
（1）一般公式：工效×工时=工作总量； 工作总量÷工时=工效；
工作总量÷工效=工时．
（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：
1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；
1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间．
（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…．特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便．）
解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．
典型例题
例1：
例1：师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个，完成任务时，徒弟比师傅少加工120个．这批零件共有多少个？
【分析】求出师傅比徒弟每小时多加工零件个数，然后依据工作时间=多的工作总量÷每小时多做零件个数，求出两人完成任务需要的时间，最后根据工作总量=工作效率×工作时间即可解答．
解：120÷（9-5）×（9+5）
=120÷4×14
=420（个）
【解答】这批零件共有420个．
【点评】解答本题的关键是求出两人完成任务需要的时间，解答依据是工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系．
例2：一项工程，甲、乙两人合做8天可完成．甲单独做需12天完成．现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3．这个工程实际工期为多少天？
【分析】由题意可知，甲、乙合作8天完成，甲、乙的合作工作效率为18，甲单独12天完成，甲的工作效率为112，那么乙的工作效率18-112=124．人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3，设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：18x+124×3x=1，解此方程求出两人的合作时间后，即能求出实际工期为多少天．
【解答】18-112=124．
设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：
18x+124×3x=1，
18x+18x=1，
14x=1，
x=4．
4+4×3
=4+12，
=16（天）．
答：这个工程实际工期为16天．
【点评】首先根据题意求出乙的工作效率，然后通过设未知数列出等量关系式是完成本题的关键．
跟踪训练
【跟踪训练1】（2024春•宛城区期中）一车队有a辆车，要把开挖地基时挖出的土方运走，因时间要求紧，需增加运输车辆。如果增加10辆车，需15次运完：若增加28辆车，10次就能运完。现经多方调协，增加了19辆车，运完这些土方需要（ ）次。
【跟踪训练2】（2023•潼南区）一项工程，甲单独做需要10小时完成，乙单独做需要15小时完成。现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果7小时才完成，甲停工了（ ）小时。
【跟踪训练3】（2025•渝北区）某工程，可用若干台机器在规定时间内完成，如果增加两台机器，则节省了八分之一的时间，如果减少两台机器，就要推迟23小时完工。那么一台机器完成这个工程需要 ______小时。
【跟踪训练4】（2025•重庆模拟）师徒两人合作完成一项工程，由于配合得好，师傅的工作效率比单独做时要提高110，徒弟的工作效率单独做时提高15，两人合作6天，完成全部工程的25，接着徒弟又单独做6天，这时这项工程还有1330未完成，如果这项工程由师傅一人做，______天完成。
【跟踪训练5】（2025•重庆模拟）甲乙丙三人合修一堵围墙，甲乙合修6天完成13，乙丙合修2天完成余下工程的14，剩下的再由甲乙丙三人合修5天完成，现在领工资1800元，依工作量分配，甲应得多少元？
【跟踪训练6】（2024•管城区模拟）一队工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的112倍，上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这队工人中有712的人去了甲工地，其他工人到乙工地。到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这队工人有多少人？
热点突破3

关键知识
利润和利息问题
主要公式：
①商品利润=商品售价-商品进价；
②商品利润率=商品利润/商品进价×100%；
③商品销售额=商品销售价×商品销售量；
④商品的销售利润=（销售价-成本价）×销售量．
⑤商品售价=商品标价×折扣率．
利息=本金×利率×存期；（注意：利息税）．
本息=本金+利息，
利息税=利息×利息税率．
注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率=月利率×12=日利率×365．
典型例题
例1：
例1：商店购进了一批钢笔，决定以每支9.5元的价格出售．第一个星期卖出了60%，这时还差84元收回全部成本．又过了一个星期后全部售出，总共获得利润372元．那么商店购进这批钢笔的价格是每支多少元？
【分析】又过了一个星期全部售出后，总共获得利润372元，在这之前是还差84元才可以收回全部成本，说明又买出的这部分的总额为372+84=456（元），买出的这部分钢笔的数量是456÷9.5=48（支），而这48支相当于总数的1-60%=40%，求出总支数为48÷40%=120（支）；然后求出每支钢笔盈利为372÷120=3.1（元），再用每支钢笔的定价减去盈利的部分即为购进价．
【解答】这批钢笔的总数量：
（372+84）÷9.5÷（1-60%），
=456÷9.5÷0.4，
=48÷0.4，
=120（支）；
每支钢笔的购进价：
9.5-372÷120，
=9.5-3.1，
=6.4（元）；
答：商店购进这批钢笔的价格是每支6.4元．
【点评】此题条件较复杂，需认真分析，先求出这批钢笔的数量是解决此题的关键．
跟踪训练
【跟踪训练1】某超市按进价加40%作为定价销售某种商品，可是销售得不好，只卖出了14，后来老板按定价减价40%以210元出售，很快就卖完了，则这次生意盈亏情况是（ ）
【跟踪训练2】商家获得的利润按照如下公式计算：利润=售价-进价-售价×税率，若税率由b%调整为c%，且商品的进价和利润都未改变，则商品的售价是原来的（ ）
【跟踪训练3】甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是______元．
【跟踪训练4】某种风险发生的可能性为万分之15，针对该风险的寿险品种的保险标准是每万元保额缴纳保费50元，保险公司计划将所收保费的30%用于公司运营，70%用于支付保险赔付，如果该保险每年销售1000万份（每份保额1000元），那么，在正常情况下，按33%向国家缴纳所得税后，该险种每年可使保险公司获得税后利润 ______万元．
【跟踪训练5】甲乙两种商品，成本共2000元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，后来都按定价打九折卖出去了，结果仍获利223元，甲商品的成本是多少元？
【跟踪训练6】某微商一次购进了一种时令水果250千克，开始两天他以每千克高于进价40%的价格卖出180千克。第三天他发现网上卖该种水果的商家陡增，于是他果断将剩余的该种水果在前两天的售价基础上打4折全部售出，最后他卖该种水果获得618元的利润，计算商家打折卖出的该种剩余水果亏了多少元？
热点突破4

关键知识
浓度问题
基本数量关系：
溶液质量=溶质质量+溶剂质量；
溶质质量=溶液中所含溶质的质量分数．
这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意．
典型例题
例1：
例1：A，B，C三个试管中各盛有10克、20克、30克水．把某种浓度的盐水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从B中取出10克倒入C中．现在C中盐水浓度是0.5%．问最早倒入A中的盐水浓度是多少？
【分析】混合后，三个试管中的盐水分别是20克、30克、40克，又知C管中的浓度为0.5%，可算出C管中的盐是：40×0.5%=0.2（克）．由于原来C管中只有水，说明这0.2克的盐来自从B管中倒入的10克盐水里．
B管倒入C管的盐水和留下的盐水浓度是一样的，10克盐水中有0.2克盐，那么原来B管30克盐水就应该含盐：0.2×3=0.6（克）．而且这0.6克盐来自从A管倒入的10克盐水中．
A管倒入B管的盐水和留下的盐水的浓度是一样的，10克盐水中有0.6克盐，说明原A管中20克盐水含盐：0.6×2=1.2（克），而且这1.2克的盐全部来自某种浓度的盐水．即说明倒入A管中的10克盐水含盐1.2克．所以，某种浓度的盐水的浓度是1.2÷10×100%=12%
【解答】B中盐水的浓度是：
（30+10）×0.5%÷10×100%，
=40×0.005÷10×100%，
=2%．
现在A中盐水的浓度是：
（20+10）×2%÷10×100%，
=30×0.002÷10×100%，
=6%．
最早倒入A中的盐水浓度为：
（10+10）×6%÷10，
=20×6%÷10，
=12%．
答：最早倒入A中的盐水浓度为12%．
【点评】不管是哪类的浓度问题，最关键的思维是要抓住题中没有变化的量，不管哪个试管中的盐，都是来自最初的某种浓度的盐水中，运用倒推的思维来解答．
跟踪训练
【跟踪训练1】（2024•苏州）现有含糖量为7%的糖水600克，要使其含糖量增加到10%，需要再加糖（ ）克。
【跟踪训练2】一瓶药液含药为80%，倒出13后再加满水，再倒出14后仍用水加满，再倒出15后还用水加满，这时药液含药为（ ）
【跟踪训练3】（2024•渝北区）两个杯子中分别装有浓度为40%与10%的食盐水，倒在一起混合后，浓度是30%。若再加入300克20%的食盐水，则浓度变为25%，那么原来有40%的食盐水 ______克。
【跟踪训练4】（2024•北碚区）一瓶纯酒精，倒出一半后加满水混合；然后又倒出14溶液，再用水加满；最后又倒出一半，再加满水。如此三次后，瓶中酒精浓度为 ______。
【跟踪训练5】（2024•渝北区）甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合，接着将乙容器中一部分混合溶液倒入甲容器，这样甲容器中酒精含量为62.5%，乙容器中酒精含量为25%，那么从乙容器倒入甲容器的混合溶液是多少升？
【跟踪训练6】（2024•玄武区）两个杯中分别装有浓度为45%与15%的盐水，倒在一起后混合盐水的浓度为35%，若再加入300克浓度为20%的盐水，则变成浓度为30%的盐水，则原来浓度为45%的盐水有多少克？
热点考点
考查频率
考点难度
按比例分配
★★★
★★
工程问题
★★
★★★
利润和利息问题
★★
★★★★
浓度问题
★★★★
★★★
【考情分析】考查分数问题常以选择填空题和应用题的形式出现，其中选择题出现的比例又较高但是一般难度较低。主要命题点有：分数的大小比较、分数的拆项、巧算分数和、分数和百分数应用题问题、按比例分配、工程问题、利润和利息问题、浓度问题等问题，同学们在复习时应以基础为主，像分数的拆项、巧算分数和这类问题较难理解和掌握，同学们应在掌握基础的前提下多做相关题目加强理解。
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．等腰
A．2
B．6
C．9
A．11
B．12
C．13
D．14
A．3.5
B．3
C．123
D．18
A．不亏不赚
B．平均每件亏了5元
C．平均每件赚了5元
D．不能确定
A．1−b1−c倍
B．1−0.0b1−0.0c倍
C．0.0b1−0.0c倍
D．1−倍
A．20
B．30
C．40
D．60
A．50%
B．30%
C．35%
D．32%