2025年中考数学第三次模拟考试卷：数学（长春卷）（解析版）

这是一份2025年中考数学第三次模拟考试卷：数学（长春卷）（解析版），共28页。试卷主要包含了如图，中，若，，按以下步骤作图，下列计算正确的是，如图是可调节台灯及其示意图，比较大小等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如果地下一层的停车场可以表示为层，那么地上三层的美食城可以表示为（ ）
A．层B．层C．层D．层
【答案】A
【分析】此题主要考查正负数的意义，生活中，通常用正负数表示具有相反意义的两种量，如果地下一层的停车场可以表示为层，那么地上三层的美食城可以表示为层．
【详解】解：如果地下一层的停车场可以表示为层，那么地上三层的美食城可以表示为层．
故选：A．
2．如图是由四块完全相同的正方体木块组成的几何体，其左视图为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了立体图形的三视图，掌握立体图形的特点，三视图的特点是关键．
根据立体图形的特点分析即可．
【详解】解：左视图为，
故选：A ．
3．近年来，我国能源保供稳价政策有力推进，能源先进产能平稳有序释放，规模以上工业原煤、原油、天然气和电力生产同比保持增长．国家统计局网站发布2025年1-2月份能源生产情况表明，原煤生产增速加快，月份，规模以上工业原煤产量770000000吨，将770000000用科学记数法可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C
4．如图，中，若，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心．大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；③作射线，与相交于点，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案．
【详解】解：∵，，
，
由作图知，平分，
，
又，
，
故选：C．
5．如图，是绕点旋转得到的，，，则旋转角的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求旋转角，三角形内角和定理，解题的关键是要理解旋转是一种位置变换，旋转前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
先根据三角形内角和定理求出，再结合图形可知，旋转角即为的度数，据此可得答案．
【详解】解：根据三角形的内角和定理得，,
由图可知即为旋转角，
∴旋转角的度数为，
故选：B．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法，合并同类项，熟悉运算法则是解题的关键．
根据积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法法则解答．
【详解】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确；
故选：D．
7．如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点O，现调节台灯使外侧光线，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
8．如图，已知，为上一点，以为半径的圆经过点，且与、交于点、，设，，则（ ）
A．若，则弧的度数为B．若，则弧的度数为
C．若，则弧的度数为D．若，则弧的度数为
【答案】D
【详解】本题考查了圆周角定理，外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，根据圆周角定理求出，求出，再根据三角形外角性质得出，求出的度数是，再逐个判断即可．
【解答】解：连接，
设的度数是，
则，
过，
，
，
，
，，
，
解得：，
即的度数是，
当，即时，
∴的度数是或，
故选项，C不符合题意；
当时，的度数是，
故选项B错误，选项D正确；
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9．比较大小： 3．
【答案】
【分析】本题考查的是实数大小比较，无理数的估算，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．
由得到，即可判断．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
10．一个多边形的内角和为，则它的边数为 ．
【答案】六/6
【分析】本题考查了多边形内角和定理．熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键．
根据多边形内角和定理求解即可．边形内角和公式为（且为整数）．
【详解】解：设这个多边形的边数为（且为整数），
解得．
故答案为：．
11．某班名学生的年龄情况如下表所示（单位：岁），则该班学生年龄的中位数为 ．
【答案】
【分析】本题考查中位数的定义，熟练掌握中位数的定义和求法是解题的关键．由总人数为，可知该班学生年龄的中位数为从小到大排列后的第和个学生年龄的平均数，求解即可．
【详解】解：由总人数为，可知该班学生年龄的中位数为从小到大排列后的第和个学生年龄的平均数，
由表可知，从小到大排列后的第和个学生年龄都是，平均数是，
故该班学生年龄的中位数为，
故答案为：．
12．如图，为等边三角形，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．根据等边三角形性质得，再根据得，然后根据平行线性质得，最后根据周角的定义可得出的度数．
【详解】解：为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．规定图形表示运算，图形表示运算，则= ．（直接写出答案）
【答案】
【分析】本题考查根据新定义进行有理数的混合运算，解题的关键是准确理解两种图形所代表的运算规则，并按照规则进行计算．
分别依据三角形和正方形图形对应的运算规则，计算出各自的结果，再将结果相加．
【详解】解析：
，
故答案为：．
14．小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时， ．
【答案】
【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过点作于点，交于点，求出，证明，得到，当时，矩形面积最大，即可求出答案．
【详解】解：过点作于点，交于点，
，
，
即，
解得，
四边形为矩形，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，即，
，
，
故当时，矩形面积最大，
，
此时，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本题6分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
【详解】解：
；
当时，
原式．
16．（本题6分）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
17．（本题6分）打造书香文化，培养阅读习惯，日庄中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）若甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【答案】甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为
【分析】本题考查了表格或画树状图求概率，准确画树状图是解题的关键．利用画树状图计算即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中抽到相同类有2种可能的结果，
甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
18．（本题7分）数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务．
（结果精确到．参考数据：，，，，，）
【答案】任务1：；任务2：的长为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的方法是解题的关键．
任务1：作，，由等腰三角形的性质可得，在中，，结合图形即可求解；
任务1：在中，，，可知，在中，，，再结合，即可求解．
【详解】解：任务1：作，，
∵，，
∴，
在中，，
，，
又∵
∴四边形为矩形
∴
答：遮阳棚前端到地面的距离为；
任务2：在中，，
，
∵四边形为矩形
∴，
在中，，
答：非机动车道有效遮阳宽度的长为．
19．（本题7分）图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，，均在格点上．请按要求仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)在图①的网格内找一点，使得四边形为菱形，并作出此菱形；
(2)在图②的网格内作一点，满足点在线段上，且；
(3)在图③的网格内作一点，满足点在线段上，且平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，菱形的判定等知识，
（1）根据菱形的判定，作B点关于AC的对称点即可；
（2）取格点，连接交于点，线段即为所求；
（3）取格点，连接（构造等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质解决问），取的中点，作射线交一点，点即为所求．
【详解】（1）解：如图①中，四边形即为所求；
（2）解：如图②中，线段即为所求；
（3）解：如图③中，点即为所求．
20．（本题7分）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为______度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
(2)a＝______，b＝______，c＝______；
(3)已知该校共有2400名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？
【答案】(1)① 18；②见解析
(2)5，，3
(3)该校2400名学生中大约有720名学生竞赛成绩不低于90分
【分析】（1）①用乘以第2小组“得分为1分”这一项的占比即可求解；②求得第1小组“得分为4分”这一项的人数即可补全第1小组得分条形统计图；
（2）根据众数、平均数和中位数的定义求解即可；
（3）利用样本估计总体求解即可．
【详解】（1）解：①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为
．
故答案为：18．
②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人），
补全第1小组得分条形统计图如下∶
（2）解：第1小组中“得分为5分”这一项的人数最多，则，
第2小组获得1分的学生所占百分比为，
第2小组的平均分为（分），则，
第3小组的中位数为第10和11个数，都是3（分），则．
故答案为：5，，3．
（3）解：（人）．
答：估计该校有720名学生竞赛成绩不低于90分．
【点睛】本题主要考查的是条形统计图、扇形统计图和折线统计图、中位数、众数和平均数、样本估计总体等知识点，从统计图中获取所需信息成为解题的关键．
21．（本题8分）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，A地与C地的距离为320千米．乙车从B地驶往C地，同时甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，然后按原路原速返回B地并立即驶往C地，结果甲车比乙车早2小时到达C地后停车修整．两车均匀速行驶，图是两车距A地的距离y（单位：千米）与出发的时间x（单位：小时）之间的函数图象（甲车的函数图象不完整）．
(1)求乙车从B地到C地的行驶过程中y关于x的表达式（不写自变量的取值范围）；
(2)甲车的速度为______________千米/小时；当______________时，甲车刚好到达C地；在图中补充甲车从A地到C地行驶过程中，y关于x的函数图象；
(3)当两车从B地出发后，第一次相遇时，求相遇点与A地的距离；
(4)乙车到达C地前，直接写出当两车之间相距100千米时x的值．
【答案】(1)
(2)80，6
(3)224千米
(4)或
【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确理解甲乙两车的行驶过程是解题的关键．
（1）由题意可知图中段图象是乙车从地到地的行驶过程，由图象可知，，再利用待定系数法即可求解；
（2）结合题意，根据速度路程时间即可求解；
（3）由题意可知，甲车从地出发时，乙车已经出发了2小时，若距离出发小时，两车第一次相遇，列出方程即可求解；
（4）分四种种情况：当甲还没到时，两车之间相距100千米；当甲、乙相遇之前时，两车之间相距100千米；当甲、乙相遇之后，且甲车没有到达地时，两车之间相距100千米；当甲车到达地后，乙车还没有到，两车之间相距100千米；分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知图中段图象是乙车从地到地的行驶过程，
由图象可知，，
可设，代入，，得，解得，
∴乙车从地到地的行驶过程中关于的表达式为：；
（2）由图象可知，甲车的速度为千米/小时，
甲车从地出发达到地所需时间为，
∴，
则补全函数图象如图所示，
故答案为：80，6；
（3）由题意可知，甲车从地出发时，乙车已经出发了2小时，
若距离出发小时，两车第一次相遇，
可得：，解得：，
此时，相遇点与地的距离为千米；
（4）当甲还没到时，两车之间相距100千米，可得，解得：；
当甲、乙相遇之前时，两车之间相距100千米，可得：，解得：；
当甲、乙相遇之后，且甲车没有到达地时，两车之间相距100千米，可得：，解得：（不符合题意，舍去）；
当甲车到达地后，乙车还没有到，两车之间相距100千米，可得：，解得：（不符合题意，舍去）；
综上，当两车之间相距100千米时，或．
22．（本题9分）【基础巩固】

（1）如图1，在中，D为上一点，．，则 ．
【尝试应用】
（2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若．求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，．，，求菱形的周长．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题是四边形与相似三角形的综合，考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，相似三角形的判定与性质是关键．
（1）证明，利用相似三角形的性质即可完成；
（2）由平行四边形得性质得，，然后证明，利用相似三角形的性质即可完成；
（3）分别延长相交于点G，则由菱形的性质及已知可得四边形为平行四边形，得，，；再由已知得，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴，
∴=15，
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
解得或（舍去负值），
∴，
∴；
（3）解：如图，分别延长相交于点G，

∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴菱形的边长为．
23．（本题10分）如图，在中，，，．点从点出发，沿以每秒4的速度向终点运动．当点不与点重合时，过点作交射线于点，以为一边向上作正方形，设点的运动时间为（秒）．
(1)求线段的长．（用含的代数式表示）
(2)求点与点重合时的值．
(3)当正方形与的重叠部分为四边形时，设其面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(4)作点关于直线的对称点，连结，当与的边垂直或重合时，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或或
【分析】（）由勾股定理得出，由三角函数定义即可得出答案；
（）由三角函数定义即可得出答案；
（）根据梯形的面积公式即可得到结论；
（）分三种情况：①当与C重合时，，由（）得；②当时，当时，则，连接，易证四边形是平行四边形，得出，，求出，，，得，再求出，得，由，列出方程求解即可；③当落在AB上时，与重合，由平行线等分线段定理得，由（）得，得到，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵，
，，
，，
；
（2）解：当点与点重合时，如图所示：
，，
，
；
（3）如图所示，当正方形与的重叠部分为四边形时，
由（）知，，，，
∵四边形是正方形，
∴，
，
，
，
∵，
∴，
又由（）可得，，
∴自变量的取值范围为，
∴；
（4）解：①当与重合时，，如图所示：
由（）得，；
②当时，如图所示，则，
连接，
点关于直线的对称点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
由（）得，，
，
，
∴，
，
即，
，，
，
，
∴，
，
即，
，
，
，
∴
解得，（不合题意，舍去）；
③当落在上时，与重合，如图所示：
点关于直线的对称点，
，
四边形是正方形，
，
∴，
，
∵，
∴，
，
由（）得，，
，
；
综上所述，当与的边垂直或重合时，的值为或或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数与几何图形，轴对称的性质，平行四边形的判定和性质，平行线等分线段定理，三角函数，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
24．（本题12分）已知二次函数（a为常数）．
(1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式；
(3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过两点）与二次函数图象交于两点，直线与直线相交于点P．
①求证：点P在一条定直线上；
②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)①证明见解析；②或
【分析】（1）令，则，根据根的判别式求得，得到不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，进而即可得证；
（2）由二次函数的解析式得到图象对称轴为直线，最大值为4，判断，得到当时，y取得最小值，最小值为，根据二次函数的最大值与最小值之差为9，即可列出方程，求解后进行取舍即可解答；
（3）①根据对称轴为直线，求得，得到二次函数解析式为．令，求得，令，求得，从而．设，采用待定系数法求得直线的解析式为．把点代入，得到．同理求得直线的解析式为，直线的解析式为．联立直线，，求得点．设点P所在的定直线的解析式为，代入点P的坐标可求得，从而得证点P在定直线上；
②根据，得到，化简得到，由①知，从而，分两种情况分别讨论： 当时或，根据①中的点P的横坐标可得，整理得，结合，即可求出m，n的值，进而得到，的值，从而得到直线l的解析式．同理可求出当时直线l的解析式，即可解答．
【详解】（1）证明：令，则，
∵，
∴不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，
∴二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（2）解：由二次函数的解析式得，
函数图象对称轴为直线，最大值为4．
，
，
∴当时，y取得最小值，最小值为，
，解得或（舍去），
二次函数的解析式为．
（3）①证明：对称轴为直线，
∴
∴二次函数解析式为．
令，则，解得或，
则，
令，则，则
∴．
设，由题意知，且均不为0，2．
设直线的解析式为，
，解得，
∴直线的解析式为．（记为①式）
又直线过点，
，即．
同理设直线的解析式为，
把代入得
解得，
直线的解析式为．（记为②式）
同理得直线的解析式为．（记为③式）
由②③式联立得，
解得
．
若点P在一条定直线上，设点P所在直线解析式为，代入点P的坐标得
，将①式代入化简得，
由对应系数相等得，
∴点P所在直线解析式为，即点P在一条定直线上．
②解：直线l的解析式为或
理由：，
∴，
，
，
，
∴，
由①知，
∴，
∴
当时，，整理得．
又，
∴
整理得，
解得（不符合题意，舍去），
，
，
直线l的解析式为；
当时，，整理得．
又，
整理得，
解得（不符合题意，舍去），
，
∴直线l的解析式为．
综上所述，当时，直线l的解析式为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，二次函数与方程，二次函数与坐标轴的交点等，综合运用相关知识是解题的关键．
年龄（岁）
人数（人）
课题
探究经十路非机动车道遮阳栅相关问题
素材背景
济南经十路沿线非机动车道上的遮阳棚，采用高级玻璃丝纤维材料，能够抵抗雨淋和日晒，如图1．
抽象测量
实地测得相关数据，并画出了侧面示意图．如图2，立柱与地面垂直，的长为，，．经过点的太阳光线照射在点处．
任务1
求出遮阳棚前端到地面的距离．
任务2
当太阳光线与地面夹角为时，求非机动车道有效遮阳宽度的长．
平均数
中位数
众数
第1小组
4
a
第2小组
b
5
第3小组
c
3