2025年中考第一次模拟考试卷：数学（长春卷）（解析版）

这是一份2025年中考第一次模拟考试卷：数学（长春卷）（解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若升高30米记作米，那么米表示（ ）
A．上升5米B．下降35米C．上升25米D．下降5米
【答案】D
【分析】本题考查了具有相反意义的量，理解相反数的意义是解题的关键．根据具有相反意义的量求解即可．
【详解】解：∵升高30米记作米，
∴米表示下降5米，故D正确．
故选：D．
2．如图是物理中经常使用的U型磁铁，其主视图为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可
【详解】
解：根据三视图的概念，可知U型磁铁的主视图为 ，
故选A．
3．下列运算中，正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】本题考查了幂的相关运算，涉及了同底数幂的乘除法、积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误；
故选：A
4．长春南溪湿地公园总占地面积约为3100000平方米．3100000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可．
【详解】3100000这个数用科学记数法表示为．
故选：B．
5．根据图中作图痕迹进行判断，下列说法一定正确的是（ ）
A．B．平分
C．垂直平分线段D．构造的依据是
【答案】B
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，根据作图得到，结合，推出，进而得到，得到平分，进行判断即可．
【详解】解：由作图可知：，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
无法得到，垂直平分线段；
故只有选项B正确；
故选B．
6．如图，以正六边形的边向内作一个长方形，连接交于点I，则( )

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了多边形内角和定理、正多边形的轴对称性质．利用正六边形的轴对称性质，可得，然后根据正多边形内角的求法，可得出，再根据长方形对边平行的特点可得，利用同旁内角互补即可求解．
【详解】解：由正六边形的轴对称性质可知，为对称轴，
∴，
由多边形的内角和定理可求得：，
∴，
由长方形的性质可知，，
∴．
故选：B．
7．如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段，已知坡长为m米，坡角为α，则坡的铅垂高度为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】B
【分析】直接利用锐角三角函数关系，进而计算得出答案．
【详解】解：由题意可得：，
则坡的铅垂高度为（米）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，合理选择三角函数是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．8
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用．依据题意，可得，，再由，从而，进而得解．
【详解】解：由题意，得，．
，
由两点距离公式可得：．
．
或5．
又，
．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9．在平面直角坐标系中，若点在第 象限．
【答案】二
【分析】根据各象限内点的坐标的符号，进行判断即可得出答案．
本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解本题的关键．四个象限内点的坐标符号特点分别是：第一象限（正，正）；第二象限（负，正）；第三象限（负，负）；第四象限（正，负）．
【详解】解：∵，，
∴点在第二象限．
故答案为：二
10．若每支中性笔3元，则购买m支中性笔需 元．
【答案】
【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：由题意得
购买m支中性笔需元，
故答案为：．
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】利用提取公因式法分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法分解因式是解题的关键．
【详解】解：．
故答案为：．
12．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程求出，据此利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴把代入中得：，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图，已知零件的外径为a cm，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）测量零件的内孔直径．如果，且量得cm，则为 cm．
【答案】15
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，即可.
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：15．
14．如图，在正方形中，，把正方形绕点A顺时针旋转45°得到正方形，其中点C的运动路径为弧，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】连接，根据正方形性质和旋转的性质得，计算得到的长，求出和，利用扇形面积公式减上述两三角形面积即可．
【详解】解：连接，如图

由正方形性质和旋转的性质得，，
∴在同一条直线上，在同一条直线上，
∵四边形为正方形， ，
∴，
∴，
则，
，
那么图中阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形性质、旋转性质、勾股定理和扇形面积公式，熟练掌握旋转性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本题6分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键；先根据分式的加减乘除运行进行化简，然后再代值求解即可．
【详解】解：原式
，
当时，则原式．
16．（本题6分）如图所示，小明绘制了一个安全用电的标识，点在同一条直线上，且，．若，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，证明，得出，即可求解；
【详解】证明：，
；
又，
，
；
在与中，
，
；
．
17．（本题6分）长春北湖国家湿地公园是以自然生态、科普教育、休闲娱乐为主要功能的大型湿地公园，公园内“湖水泛金波，飞鸟映霞光”，呈现出一派人与自然和谐共生的景象．小力和小旺约定本周日从学校出发，骑行去长春北湖湿地公园游玩．已知从学校到长春北湖湿地公园的骑行路线有A、B、C三条，小力和小旺各自随机选择一条骑行路线，求两人恰好选择同一条路线的概率．
​
【答案】
【分析】此题考查了用树状图法或列表法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．用树状图法得到所有等可能的结果，然后找出符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一条路线的结果数为3种，
所以两人恰好选择同一条路线的概率．
18．（本题7分）某人从吉林驱车赶往长春共用2小时，吉林至长春全程为，全程分为公路和市区道路两部分，在公路上行驶的平均速度为 ，在市区道路上行驶的平均速度为．根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组一部分如下：
甲： 乙：
(1)请你在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组；
(2)求这个人在公路上驱车行驶的时间．
【答案】(1)见解析
(2)这个人在公路上驱车行驶的时间为．
【分析】（1）甲设公路长，市区道路长，根据题意列出方程组；乙设公路行驶，市区道路行驶，根据题意列出方程组即可；
（2）设公路行驶，市区道路行驶，列出二元一次方程组，解之即可．
【详解】（1）解：甲设公路长，市区道路长，
根据题意得；
乙设公路行驶，市区道路行驶，
根据题意得；
（2）解：设公路行驶，市区道路行驶，
根据题意得，
①②得，
解得，
将代入②，得，
解得，
∴，
答：这个人在公路上驱车行驶的时间为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
19．（本题7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上且不全等，不要求写画法．
(1)在图①中以线段为边画一个平行四边形．
(2)在图②中以线段为边画一个正方形．
(3)在图③中以线段为边画一个菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质画图即可；
（2）根据正方形的性质画图即可；
（3）根据菱形的性质画图即可．
【详解】（1）解：如图①所示，平行四边形即为所求；
（2）如图②所示，正方形即为所求；
（3）如图③所示，菱形即为所求；
【点睛】本题考查作图−−应用与设计作图，菱形的性质，正方形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20．（本题7分）某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100分）分别是95分，94分，88分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分之和．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
信息一：评委给甲同学打分的条形统计图：
信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图：
信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： 分， 分；
(2)在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：甲、乙、丙三位同学中，评委对 的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
(3)按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学．
【答案】(1)8.5，8
(2)丙
(3)乙
【分析】本题考查折线统计图，条形统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
（1）根据中位数和众数的定义可得答案；
（2）根据方差的意义解答即可；
（3）根据加权平均数公式计算即可．
【详解】（1）解：把丙的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8，9，故中位数，
由条形统计图可知甲的得分的最多的是8分，故众数；
故答案为：8.5，8；
（2）由题意可知，甲的数据在5和10之间波动，乙的数据在6和10之间波动，丙的数据在8和10之间波动，所以评委对丙同学的评价更一致；
故答案为：丙；
（3）甲的综合成绩为：（分），
乙的综合成绩为：（分），
丙的综合成绩为：（分），
，
所以综合成绩最高的是乙．
故答案为：乙．
21．（本题8分）【问题背景】
小明家最近购入一辆新能源汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量（%）与时间（分钟）的关系，数据记录如表1：
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如图2：
【建立模型】观察表1、图2发现都是一次函数模型，请结合表1、图2的数据，
（1）关于的函数表达式为____________；
（2）当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量是多少?
【解决问题】
（3）小明家自驾新能源汽车从长春出发去沈阳的辽宁体育馆观看联赛，全程400千米，汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，在途中的铁岭服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后新能源汽车仪表盘显示电量，则新能源汽车在服务区充电______分钟．
【答案】（1）与的函数表达式为
（2）此时仪表盘显示的电量是
（3）30
【分析】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意，掌握待定系数法及求函数值是解题的关键：
（1）设，利用待定系数法求解即可；
（2）设，利用待定系数法求出，将代入求出函数值即可；
（3）分别求出前后路程需消耗的电量，假设充电t分钟，应增加电量为，由此列方程求解．
【详解】解：（1）设，将代入，得
，
解得，
∴关于的函数表达式为，
故答案为；
（2）设，将代入，
得，
解得，
∴，
当时，，
当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量是；
（3）当时，，
∴未充电前电量显示为，
假设充电t分钟，应增加电量为，
再次出发时电量是，
走完剩下的路程为（km），故，
∴需消耗的电量为
∴，
解得，
故答案为30．
22．（本题9分）小明在学习《图形的平移与旋转》时，认识了共顶点的两个等腰三角形特性，并发现它在中考中的重要应用，请你与小明一起完成下面练习．
【问题呈现】
如图1，在中，，，点在线段上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，．
【问题分析】
（1）如图1，小明通过审题发现和为共顶点A的等腰三角形，这是老师经常提及的，由可得，因为，，可证明：，利用角的等量关系进一步推导出：_______（用含的式子表示）
【灵活应用】
小明发现利用上述结论可将题目中分散的条件集中到某一处，从而快速找到解决问题的线索．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A0,3在y轴上，以为边向右侧作等边，点为轴正半轴的动点，以为边向右侧作等边，直线交y轴于点F．当点D在x轴的正半轴运动时，点F的坐标是否变化．若不变，请求出点F的坐标；若变化，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在菱形中，，点P在线段的延长线上，以为边作等边（A、P、E三个顶点按照逆时针排列），连接，若，，求以A，P，E，D为顶点的四边形的面积．
【答案】（1）；（2）结论：点F的坐标不变，．理由见解析；（3）．
【分析】本题主要考查了菱形的性质、图形的旋转、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、图形的面积等知识点，正确的作出所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来成为解题的关键．
（1）先证明，推出，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，最后根据三角形外角的性质即可解答；
（2）结论：点F的坐标不变，．证明，推出，再求出，可得结论；
（3）如图：连接交于点O，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求的长及等边三角形的边长，可求得和的面积，进而求得四边形的面积．
【详解】解：（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）结论：点F的坐标不变，．理由如下：
理由：∵都是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）如图，如图：连接交于点O，连接，作于F，
∵四边形是菱形，
∴，平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（2）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积是．
23．（本题10分）如图①，矩形与叠放在一起（点，分别与点，重合，点落在对角线BD上），已知，，．如图②，从图①的位置出发，沿DB方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿AD方向匀速运动，速度为；设它们的运动时间为（）（），连接．解答下列问题：
(1)求EG的长；
(2)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
(3)是否存在某一时刻，使得的面积是矩形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(4)如图③，点是点关于BD的对称点，连接，，当为何值时，的值最小？
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）可证得，从而得出，进而得出；
（2）根据点在线段的垂直平分线上得出，从而，从而求得结果；
（3）过作于，可得出，从而得出，求得，根据的面积是矩形面积的列方程求解，得出结果；
（4）连接，可推出当，，共线时，的值最小，连接，CF，设交AD于，作于，作于，可推出，，从而得出．利用相似三角形的性质即可得解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
故当为时，点在线段的垂直平分线上；
（3）解：存在的值，使得的面积是矩形面积的，理由如下∶
如图，过作于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴，
∵的面积是矩形面积的，
∴，
∴，
解得负值舍去)，
∴当时，的面积是矩形面积的，
（4）解：如图，连接，
∵点是点关于BD的对称点，
∴，
∵，
∴当，，共线时，的值最小，
如图，连接，CF，设交AD于，作于，作于，
由知，，，
同理可得，，
∵点是点关于BD的对称点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是矩形，
'∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定及性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线表示出关键的数量．
24．（本题12分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点抛物线上一动点．

(1)求的面积；
(2)当n随m的增大而减小时，直接写出m的取值范围；
(3)当n随m的增大而增大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得是以O为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)作点P关于x轴的对称点，设为点，过点P作轴，垂足为D，以PD，为邻边构造矩形，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)6
(2)
(3)存在，或
(4)，，，，
【分析】（1）先求出点A，B，C的坐标，然后根据计算即可；
（2）配方得到顶点式，即可得到对称轴，然后利用二次函数的增减性解题即可；
（3）过点作轴于点，点作轴于点，证明，利用三角形的全等的性质解题即可；
（4）分段画出图形，利用数形结合进行解题即可．
【详解】（1）解：令，则，解得，，
∴点A，B的坐标为，，
当x=0时，，
∴点C的坐标为，
∴；
（2），
∴当时，n随m的增大而减小时；
（3）由（2）知当时，随的增大而增大，
∴点P在对称轴右侧，
过点作轴于点，点作轴于点，

则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，
当时，即
解得： (舍去)，
当时，即 ，

解得： (舍去)，
∴点的坐标为或；
（4）当时，解得，
当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点，

当时， 如图，矩形除顶点P外其余点都在抛物线内，即有一个公共点；

当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；

当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点；

当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；

当时， 如图，抛物线与矩形的边有一个公共点；
，点E在抛物线与y轴交点处，解得，（舍去），
∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；

令，则抛物线的顶点在上，这时，（舍去），
∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点；

当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；

综上所述，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，出m的取值范围为，，，，．
【点睛】本题考查二次函数的综合，掌握二次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质是解题的关键．
同学
面试成绩
评委打分的中位数
评委打分的众数
甲
78
8
n
乙
86
9
10
丙
87
m
8
电池充电状态
时间（分钟）
0
10
30
60
增加的电量（%）
0
10
30
60