内蒙古赤峰第四中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份内蒙古赤峰第四中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知点在第三象限，则角的终边位置在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知为不共线向量，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
7．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（ ）
A．5B．8C．10D．12
二、多选题
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．在平行四边形中，
C．在中，若，则是钝角三角形．
D．内有一点，满足，则点是三角形的重心
10．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．右移个单位B．左移个单位
C．右移个单位D．左移个单位
11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心O到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈．规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系．设盛水筒M从点运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）（在水面下则h为负数，则h与时间t之间的关系为．下列结论正确的是（ ）
A．
B．点P第一次到达最高点需要的时间为
C．在转动的一个周期内，点P在水中的时间是
D．若在上的值域为，则a的取值范围是
三、填空题
12．已知､均为单位向量，若，则与的夹角为 .
13．已知，且，，则 .
14．已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

四、解答题
15．已知向量和，则.求：
（1）的值；
（2）的值.
16．在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，．
（1）求的值；
（2）求的值．
17．已知向量，，函数.
（1）若，且，求的值；
（2）将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式.
18．在平行四边形中，，，，是线段的中点，，．
（1）若，与交于点，，求的值；
（2）求的最小值．
19．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设函数，试求的伴随向量；
(2)记向量的伴随函数为，求当且时，的值；
(3)当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为点在第三象限，
所以，
由，可得角的终边在第二、四象限，
由，可得角的终边在第二、三象限或轴负半轴上，
所以角终边位置在第二象限，故选B.
2．【答案】B
【详解】由，得，故，
由的值域为，故，
所以.
故选B
3．【答案】A
【详解】由题设，
，，，与有公共端点，所以三点共线，A对；
，，不存在，使，
所以与不共线，即三点不共线，B错；
，，不存在，使，
所以与不共线，即三点不共线，C错；
，，不存在，使，
所以与不共线，即三点不共线，D错；
故选A
4．【答案】C
【详解】因为，
故选C.
5．【答案】D
【详解】向量在向量上的投影向量为.
故选D
6．【答案】A
【详解】因为，所以，当且仅当时，取得等号.
故选A.
7．【答案】B
【详解】函数中，，即，解得，
函数定义域为，，
函数是偶函数，图象关于轴对称，选项AC不满足；
当时，，选项D不满足，B符合题意.
故选B
8．【答案】C
【详解】连接，如下图所示：

因为 ，则为圆 O 的一条直径，故 O 为的中点，
所以 ，
所以
.
当且仅当 M 、O 、C 共线且 、 同向时，等号成立，
因此， 的最大值为
故选C.
9．【答案】CD
【详解】A选项，若，满足，但不满足或，A错误；
B选项，在平行四边形中，，故B错误；
C选项，在中，若，则为钝角，故是钝角三角形，C正确；
D选项，取的中点，连接，
则，又，故，
则点是三角形的重心，D正确..
故选CD
10．【答案】AB
【详解】，
所以，为了得到函数的图象，
可以将函数的图象右移个单位或左移个单位.
故选AB.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，
所以点P距离水面的高度h的最值为，所以，
因为筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈，所以，
因为，所以，
又因为，所以，故A正确；
对于B，由已知得，与x轴正方向的夹角为，
所以点P第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故B错误；
对于C，在转动的一个周期内，点P在水中转动，则需要的时间是，故C正确；
对于D，若在上的值域为，
则在上的值域为，因为，所以，
所以，则，故D正确．
故选ACD.
12．【答案】/
【详解】由､均为单位向量，，
得：，即，
所以.
13．【答案】
【详解】因为，且，所以，，所以，则，
因为，所以，
因为，，所以，，又，所以，所以，所以，即，则.
14．【答案】
【详解】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，所以.
（2），
.
16．【答案】（1）3
（2）
【详解】（1）由题意有，
均为锐角，则，则有，
所以 .
（2），
，则，
所以.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，，函数，
所以
，
因为，所以，所以，
又，所以，
所以，
所以
.
（2）将图象上所有的点向右平移个单位得到，
再将向下平移1个单位得到，
最后将的所有点的纵坐标变为原来的得到，
即，
由，即，所以，，
解得，，
令可得，令可得，
又，所以，
即在时不等式的解集为.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）当时，即为的中点，
因为、、三点共线，
设，则
，
因为、、三点共线，
设，则，
又、不共线，
根据平面向量基本定理得，解得，
所以，又，则，
所以.
（2）因为，
，
所以
，
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.
19．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）化简的解析式，从而求得伴随向量.
（2）先求得，由求得，进而求得，从而求得.
（3）先求得，然后根据三角函数的最值求得正确答案.
【详解】（1）
，
所以.
（2）依题意，
由得，
，所以，
所以.
（3）的函数解析式，
所以,
区间的长度为，函数的周期为，
若的对称轴在区间内，
不妨设对称轴在内，最大值为1，
当即时，函数在区间上的最大值与最小值之差取得最小值为；
其它的对称轴在内时最大值与最小值之均大于，
若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最小值，则最大值与最小值之差为：
，
所以函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为.
【思路导引】求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法.