内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学2024−2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析）

这是一份内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学2024−2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（ ）
A．0B．C．D．
2．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的最小值为（ ）

A．2B．8C．9D．18
3．将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（ ）

A．相交B．异面C．平行D．无法确定
5．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的值域为的值域为，则（ ）
A．0B．1C．3D．5
7．如图，棱长为2的正方体中，为边的中点，为侧面上的动点，且//平面.则点在侧面轨迹的长度为
A．2B．C．D．
8．已知函数的最大值为2，若在区间上有2个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在四面体中，，，则下列结论正确的有（）
A．四面体的表面积为40
B．四面体的体积为
C．四面体外接球的表面积为
D．记四面体内切球的球心为，则
10．已知平面向量，，则（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
11．已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．向量，在上的投影向量相等D．
三、填空题
12．正方体的表面积与其内切球的表面积的比值为 ．
13．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为 .
14．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 .
四、解答题
15．在锐角中，角的对边分别为，，，已知且.
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围.
16．已知△ABC中，分别为内角的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积.
17．函数（，，）的部分图象如图所示：
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的单调区间；
（3）已知，，求．
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．
（1）求证：平面CMN∥平面PAB；
（2）求三棱锥P-ABM的体积．
19．设Ox，Oy是平面内夹角成的两条数轴，，两分别为x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在此坐标系中的坐标，记．已知，．
（1）若．
（ⅰ）求．
（ⅱ）是否存在Oy上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由．
（2）若对恒成立，求的最大值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意可得，
因为是纯虚数，所以，解得.
则，又，，，，
则时，，，，，
即有时，，
故.
故选B.
2．【答案】C
【详解】因为，三点共线，则，，
则，
当且仅当，结合，即，时等号成立.
故选C.
3．【答案】B
【详解】将正弦曲线向左平移个单位得到曲线：的图象，
再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线：的图象，
将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到是曲线：的图象，
由于曲线恰好是函数的图象，故，
由得，
故，
故选B
4．【答案】C
【详解】如图，连接，则分别为的中点，

故,
由分别是线段的中点，得，
故,
故选C
5．【答案】A
【详解】方法一：在中，，
又，
，
由正弦定理得：，
所以，
所以树的高度为，
方法二：设树高为，则，则，
故选A.
6．【答案】A
【详解】因为，所以，
即函数的值域为，所以，
因为的值域为，
所以的最小值为9，所以，解得，
所以．
故选A．
7．【答案】C
【详解】取的中点,连接,由于平面,平面,故平面,同理可得平面,,平面，故可得平面平面,点的轨迹就是线段,而线段的长度为，
故选:C.
8．【答案】D
【详解】
，
所以当时，取到最大值，
解得，所以.
令，
在区间上有2个零点，
即在区间上有2个零点，
，解得.
故选D
9．【答案】ACD
【详解】因为四面体的对棱相等，所以四面体可嵌入长方体，设长方体的长宽高分别为,
,解得，，.
每个面为等腰三角形，面积均为10，表面积为.选项A正确.
体积计算:长方体体积为,减去四个三棱锥体积(每个为),
得四面体体积为.选项B错误.
四面体的外接球即长方体的外接球，半径,表面积为.选项C正确.
因为四面体内切球球心到各个面的距离相等，且四面体各个面是全等的，所以可以得到内切球球心到四面体各个顶点的距离也相等，即四面体的内切球球心和外接球球心重合，则长度即为外接球的半径.选项D正确.
故选ACD.
10．【答案】ABC
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故，故B正确；
对于C，，，
故，故，故C正确；
对于D，，故，
故在上的投影向量，故D错误；
故选ABC.
11．【答案】BC
【详解】作向量，在中，，，
由向量平分与的夹角，得是菱形，即，
对于A，与不一定垂直，A错误；
对于B，，即，B正确；
对于C，在上的投影向量，
在上的投影向量，C正确；
对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误.
故选BC
12．【答案】
【详解】设正方体的棱长为，则其表面积为，
而内切球的半径为，故其表面积为，
故正方体的表面积与其内切球的表面积的比值为.
13．【答案】
【详解】因为正方形的边长为4，取的中点，连接，
当在点或点时，，
当当在弧中点时，，
所以的取值范围为，
由于，，，
所以，
因为，所以，故，
所以，即的取值范围为.
14．【答案】
【详解】由题可知，，都是直角三角形，只需平面即可，
所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上，
而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等，
所以的中点是外接球的球心，所以，
所以该鳖臑外接球的表面积为．
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）∵，
∴，
，
，
∵，∴，
又，∴，
，；
（2）根据正弦定理，，
则
，
，所以的取值范围为.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理及得：，..
由余弦定理得，
又，所以
（2） 是的角平分线，，
由可得
因为，，即有，，
故
17．【答案】（1）
（2）答案见解析
（3）
【详解】（1）由图象可得，设的最小正周期为，
则，解得，
，故，解得，
所以，
将代入解析式，，
故，解得，
又，故当时，满足要求，
所以；
（2）时，，
故当或时，
即或时，单调递增，
当，即时，单调递减，
故在上的单调递增区间为,，
单调递减区间为；
（3），即，
因为，所以，又，
所以，其中，
故，故，
所以
.
18．【答案】（1）证明见解析 （2）三棱锥的体积
【详解】试题分析：（1）由中位线定理可得∥ ∥平面. 再证得∥∥平面平面∥平面； （2）由（1）知，平面∥平面点到平面的距离等于点到平面的距离.
试题解析：（1）证明：∵分别为的中点，
则∥. 又∵平面，平面，
∴∥平面.
在中，，∴.
又∵， ∴∥.
∵平面，平面，∴∥平面.
又∵， ∴平面∥平面.
（2）由（1）知，平面∥平面，
∴点到平面的距离等于点到平面的距离.
由已知，，，，∴，
∴三棱锥的体积.
19．【答案】（1）（i）；（ii）不存在，理由见解析
（2）
【详解】（1）（i）
，
（ii）轴上不存在一点，理由如下：
假设轴上存在一点，使得是以为斜边的直角三角形.
依题意得：，
，
，
，，
即，
即，
化简得：，
，∴方程无解，
即轴上不存在一点，使得是以为斜边的直角三角形；
（2）
，
恒成立，
，
即，
解得，
，
，
，
，
在上单调递增，理由如下：
任取，且，
则，
因为，且，
所以，，
故，即，
故在上单调递增，
当时，取得最大值，最大值为.