内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学2024-2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法及乘法运算化简，利用纯虚数的定义解得参数，再根据复数的乘方计算，结合周期性求值即可.
【详解】由题意可得，
因为是纯虚数，所以，解得.
则，又，，，，
则时，，，，，
即有时，，
故.
故选：B.
2. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的最小值为（ ）

A. 2B. 8C. 9D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】根据三点共线结论知，再利用乘“1”法即可得到最值.
【详解】因为，三点共线，则，，
则，
当且仅当，结合，即，时等号成立.
故选：C.
3. 将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦函数图象的变换规律可得的解析式，结合x的取值范围利用正弦函数的性质，即可求得答案.
【详解】将正弦曲线向左平移个单位得到曲线：的图象，
再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线：的图象，
将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到是曲线：的图象，
由于曲线恰好是函数的图象，故，
由得，
故，
故选：B
4. 如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（ ）

A. 相交B. 异面C. 平行D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据三角形中位线性质以及平行直线的传递性，即可判断答案.
【详解】如图，连接，则分别为的中点，

故,
由分别是线段的中点，得，
故,
故选：C
5. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：在中，利用正弦定理求解；方法二：设树高为，则由求解.
【详解】方法一：在中，，
又，
，
由正弦定理得：，
所以，
所以树的高度为，
方法二：设树高为，则，则，
故选：A.
6. 已知函数的值域为的值域为，则（ ）
A. 0B. 1C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由指数函数的单调性可得函数的值域为，可得的值，再结合对数函数的单调性得的最小值为9，从而可得的值，即可得解．
【详解】因为，所以，
即函数的值域为，所以，
因为的值域为，
所以的最小值为9，所以，解得，
所以．
故选：A．
7. 如图，棱长为2的正方体中，为边的中点，为侧面上的动点，且//平面.则点在侧面轨迹的长度为
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得平面平面,根据面面平行的性质即可判断点的轨迹就是线段，进而可求长度.
【详解】取的中点,连接,由于平面,平面,故平面,同理可得平面,,平面，故可得平面平面,点的轨迹就是线段,而线段的长度为，
故选:C.
8. 已知函数的最大值为2，若在区间上有2个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据差角的正余弦公式及降幂公式将化简，再由最大值求出值，进而得到的解析式，通过换元，把在区间上有2个零点，转化为在区间上有2个零点，再结合图象，得到的范围，即可得到的取值范围.
【详解】
，
所以当时，取到最大值，
解得，所以.
令，
在区间上有2个零点，
即在区间上有2个零点，
，解得
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在四面体中，，，则下列结论正确的有（）
A. 四面体的表面积为40
B. 四面体的体积为
C. 四面体外接球的表面积为
D. 记四面体内切球的球心为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用该四面体的几何特征，将四面体补形成长方体，再利用长方体的几何特征求解表面积、体积以及外接球表面积和内切球的问题.
【详解】因为四面体的对棱相等，所以四面体可嵌入长方体，设长方体的长宽高分别为,
,解得，，.
每个面为等腰三角形，面积均为10，表面积为.选项A正确.
体积计算:长方体体积,减去四个三棱锥体积(每个为),
得四面体体积为.选项B错误.
四面体的外接球即长方体的外接球，半径,表面积为.选项C正确.
因为四面体内切球球心到各个面的距离相等，且四面体各个面是全等的，所以可以得到内切球球心到四面体各个顶点的距离也相等，即四面体的内切球球心和外接球球心重合，则长度即为外接球的半径.选项D正确.
故选：ACD
10. 已知平面向量，，则（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据数量积的坐标形式判断A，求出后求出其模可判断B，求出、的坐标后结合数量积的坐标形式可判断C，利用投影向量公式求出投影向量后可判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故，故B正确；
对于C，，，
故，故，故C正确；
对于D，，故，
故在上的投影向量，故D错误；
故选：ABC.
11. 已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. 向量，在上的投影向量相等D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，结合向量加法几何意义可得，再借助数量积的运算律逐项分析判断即得.
【详解】作向量，在中，，，
由向量平分与的夹角，得是菱形，即，
对于A，与不一定垂直，A错误；
对于B，，即，B正确；
对于C，在上的投影向量，
在上的投影向量，C正确；
对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 正方体的表面积与其内切球的表面积的比值为______．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出两者的表面积后可得它们的比值.
【详解】设正方体的棱长为，则其表面积为，
而内切球的半径为，故其表面积为，
故正方体的表面积与其内切球的表面积的比值为，
故答案为：
13. 如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的数量积运算即可求解.
【详解】因为正方形的边长为4，取的中点，连接，
当在点或点时，，
当当在弧中点时，，
所以的取值范围为，
由于，，，
所以，
因为，所以，故，
所以，即取值范围为.
故答案为：.
14. 在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解.
【详解】由题可知，，都是直角三角形，只需平面即可，
所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上，
而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等，
所以的中点是外接球的球心，所以，
所以该鳖臑外接球的表面积为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在锐角中，角的对边分别为，，，已知且.
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件利用两角和差的三角公式求出，即可求解；
（2）把边化为角利用三角函数的值域求解即可.
【小问1详解】
∵，
∴，
，
，
∵，∴，
又，∴，
，；
【小问2详解】
根据正弦定理，，
则
，
，所以的取值范围为.
16. 已知△ABC中，分别为内角的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理实行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案
（2）先利用三角形的面积关系解出 ，再根据三角形面积公式计算答案即可
【小问1详解】
在△ABC中，由正弦定理及得：，..
由余弦定理得，
又，所以
【小问2详解】
是的角平分线，，
由可得
因为，，即有，，
故
17. 函数（，，）的部分图象如图所示：
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的单调区间；
（3）已知，，求．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据图象得到，最小正周期，故，代入求出，得到函数解析式；
（2）整体法得到，整体法得到函数单调区间；
（3）由求出，根据图象特征和特殊点函数值得到，故，利用凑角法和余弦差角公式求出答案
【小问1详解】
由图象可得，设的最小正周期为，
则，解得，
，故，解得，
所以，
将代入解析式，，
故，解得，
又，故当时，满足要求，
所以；
【小问2详解】
时，，
故当或时，
即或时，单调递增，
当，即时，单调递减，
故在上的单调递增区间为,，
单调递减区间为；
【小问3详解】
，即，
因为，所以，又，
所以，其中，
故，故，
所以
.
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．
（1）求证：平面CMN∥平面PAB；
（2）求三棱锥P-ABM的体积．
【答案】（1）证明见解析 （2）三棱锥的体积
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由中位线定理可得∥ ∥平面. 再证得∥∥平面平面∥平面； （2）由（1）知，平面∥平面点到平面的距离等于点到平面的距离.
试题解析：（1）证明：∵分别为的中点，
则∥. 又∵平面，平面，
∴∥平面.
在中，，∴.
又∵， ∴∥.
∵平面，平面，∴∥平面.
又∵， ∴平面∥平面.
（2）由（1）知，平面∥平面，
∴点到平面的距离等于点到平面的距离.
由已知，，，，∴，
∴三棱锥的体积.
19. 设Ox，Oy是平面内夹角成的两条数轴，，两分别为x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在此坐标系中的坐标，记．已知，．
（1）若．
（ⅰ）求．
（ⅱ）是否存在Oy上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由．
（2）若对恒成立，求的最大值．
【答案】（1）（i）；（ii）不存在，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）根据坐标转化为基底表示，再利用数量积公式，即可求解；（ii）首先设，得到，再结合坐标和基底，利用垂直关系的向量运算，得到方程，方程无解，即可得到结论；
（2）首先利用数量积公式，将不等式转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，根据求的范围，再代入向量夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
（i）
，
（ii）轴上不存在一点，理由如下：
假设轴上存在一点，使得是以为斜边的直角三角形.
依题意得：，
，
，
，，
即，
即，
化简得：，
，∴方程无解，
即轴上不存在一点，使得是以为斜边的直角三角形；
【小问2详解】
，
恒成立，
，
即，
解得，
，
，
，
，
在上单调递增，理由如下：
任取，且，
则，
因为，且，
所以，，
故，即，
故在上单调递增，
当时，取得最大值，最大值为.