数学：四川省天立教育集团2024-2025学年高二下学期期中联考试题（解析版）

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第一部分（选择题 共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 数列1，，4，，的一个通项公式（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】数列1，，4，，中，
，
，
，
，
，
……，
故选：.
2. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A. B. -1C. D.
【答案】B
【解析】，
令得，解得.
故选：B
3. 如图，用4种不同颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）
A. 48B. 56C. 72D. 256
【答案】A
【解析】将四个区域标记为，如下图所示：
第一步涂种涂法，第二步涂种涂法，第三步涂种涂法，第四步涂种涂法，
根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法.
故选：A.
4. 数列满足，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】因为：，
所以，
故选：C.
5. 已知是可导的函数，且对于恒成立，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设，，则，
可得在上单调递减，
所以，即，
所以.
故选：A.
6. 已知数列是等差数列，其前项和分别为，且则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为数列是等差数列，
所以，同理，
又因为，
所以.
故选：C.
7. 三次函数有如下性质：①设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是该函数图象的对称中心．若直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由函数，求导得，再求导得，
由，得，
因此函数图象的对称中心为，则，化简得，
于是，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：D
8. 若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不等式恒成立，即恒成立．
构造函数，可得，所以在定义域上单调递增，
则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立，
设，可得，
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以当，函数取得最大值，最大值为，
所以，即实数的取值范围是．
故选：A
二、多选题：每小题不止一个正确答案，全部选对得的6分，部分选对得部分分，有选错的得0分
9. 已知数列的前项和为，，，则（ ）
A. 数列是等比数列
B.
C.
D. 数列的前项和为
【答案】ACD
【解析】A选项，，
其中，所以是公比为2的等比数列，A正确；
C选项，由A知，，所以，C正确；
B选项，当时，，
当时，，
显然满足，故，B错误；
D选项，，故，
即为公比为的等比数列，且，
所以的前项和为，D正确.
故选：ACD
10. 函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】因为，，
由图可知，，，，
则，故C错误；
，，
两式相减得，
即，
，则，
所以，则，所以，故AB正确；
则，故D正确.
故选：ABD.
11. 下列命题正确的有（ ）
A. 若数列为等比数列，为其前项和，则，，，…成等比数列；
B. 已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是7，取到最大值时的值是8；
C. 已知数列的前项和为，则使的最小正整数为12；
D. 已知数列满足，设的前项和为，则．
【答案】BD
【解析】A选项，若，当为偶数时，，此时，不是等比数列，A错误；
B选项，，
时，，随着的增大而减小，当时，，随着的增大而减小，
所以取到最小值时的值是7，取到最大值时的值是8，B正确；
C选项，由得，所以使的最小正整数为，C错误；
D选项，，所以，D正确.
故选：BD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共有__________种不同的走法．
【答案】11
【解析】直接从甲地不经过乙地到、到丙地有3种走法,
经过乙地到丙地有种走法,所以合计有种走法
故答案为：11
13. 数列中，满足，，则______．
【答案】
【解析】因为，所以.
所以，，，…，（）.
各式相乘，可得：，
显然满足上式，则，
所以数列的前项和为，
所以
故答案为：.
14. 已知函数若对于任意的都有成立，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】对于任意的都有恒成立，
等价于在上恒成立.
令，则，，
当时，，即在上递增，
故，所以，
所以在上单调递增，
所以，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的最值．
解：（1）函数，求导得，则，
而，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）函数的定义域为，，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以的最大值为，无最小值.
16. 已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求的通项公式和；
（2）若，若数列的前项和为，求证．
解：（1），
，
联立，解得，
所以的通项公式，
前项和.
（2），
所以，时，
，
时，符合上式，所以
因，所以.
17. 已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）求证：函数存在两个零点（记为），且．
解：（1）由
设，
因此当时，函数单调递增，，
当时，，因此，所以单调递增；
当时，，因此，所以单调递减，
因此当时，有最小值，即；
（2）由（1）可知：在时，单调递减，在时，单调递增，
，因为，，
所以函数在内有且只有一个零点，不妨设，在内有且只有一个零点，设为，即，即函数有两个零点， 即
构造函数
，
当时，单调递减，
因此有，即，
因为，所以，
而，因此，
因为，所以，因为在时，单调递减，
所以由.
18. 记数列{an}的前n项积为Tn，且．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和Sn．
解：（1）因为为数列的前项积，
所以可得，
因为，所以，
即，所以，
又，所以，
故是以4为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）得：，所以，则
设①
②
则①-②得：
则
所以的前n项和
19. 已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，证明：；
（3）设，证明：．
解：（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为．
（2）要证，只要证，
令，则，
所以只需证成立，
即对任意的恒成立．
设，则恒成立，
所以时，单调递减，
所以，所以，
即证得.
（3）对任意的恒成立．
所以对任意的，有，
所以，所以，
所以
，
所以.