数学：山东省天立教育集团2024-2025学年高二下学期期中联测试题（解析版）

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 数列的一个通项公式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为.
故选：B
2. 等比数列中，，，则公比为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】设公比为，
因为，所有，则，
所以，解得.
故选：A.
3. 一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下
根据上表可得回归方程，则实数的值为
A. 37.3B. 38C. 39D. 39.5
【答案】C
【解析】根据题意可得：,，
根据回归方程过中心点可得：，解得：；
故答案选C
4. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D. 和
【答案】B
【解析】的定义域为，且，
所以当时，，单调递增，的单调递增区间为.
故选：B
5.已知数列满足：，，则=（ ）
A. 34B. 42C. 46D. 64
【答案】B
【解析】，，
则，，，；
则，故选：B.
6. 若曲线在点处切线与直线平行，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】由，显然在曲线上，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
因此切线方程为：，
直线的斜率为，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以，
故选：C
7.已知是定义在上的单调函数,是的导函数，若对都有，则方程的解所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，对任意的，都有.
则为定值.设，则.
又由，即.
可解得.则，
∴.∴.
令，，
故在上单调递增，
又由，.
故的唯一零点在区间之间.
则方程的解在区间上.
故选:A.
8.已知函数有三个不同的零点,其中,则的值为（ ）
A. 1B. C. -1D.
【答案】A
【解析】令，则，故当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，且在处取得极小值，
当，，，，
所以函数的图象如图所示，
由可化为，结合图象可知方程有两个不同的实数根，
故或，不妨设方程的两根为，，
若，，，所以，
由图象易知共有两个根，故不成立；
若，则方程的两根为一正一负，不妨设，
结合的性质可得，，
故，
又因为，，所以.
故选：A
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列求导数运算正确有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】A：，故正确；
B：，故错误；
C：，故错误；
D：，故正确.
故选：AD
10. 设数列是等差数列，公差为d，是其前n项和，且，则（ ）
A. B.
C. 或为的最大值D.
【答案】BC
【解析】对于B，由可得，又，
所以，所以，故B正确；
对于A，由，可得，
又，所以，所以数列是单调递减的等差数列，故A错误；
对于C，由，，可得，，
所以当或时，最大，故C正确；
对于D，又，所以，故D错误；
故选：BC
11.已知函数，则（ ）
A. 时，的图象位于轴下方
B. 有且仅有一个极值点
C. 有且仅有两个极值点
D. 在区间上有最大值
【答案】AB
【解析】由题，函数 满足 ，故函数的定义域为
由 当 时 ，
所以则的图象都在轴的下方，所以A正确；
又，
再令 则 ，故
故单调递增，
当时，
由，
故存在唯一的，使得，
此时当,，单调递减，
当，单调递增.
又当时，，
故此时恒成立，即单调递减，
综上函数只有极值点且为极小值点，所以B正确，C不正确；
又
所以函数在先减后增，没有最大值，所以D不正确.
故选：AB.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在等差数列中，已知，那么________.
【答案】3
【解析】根据等差数列的性质可知，，所以.
故答案为：3.
13. 某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合后出现红灯的概率为________.
【答案】
【解析】记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，
则，，
所以，在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为
.故答案为
14. 设函数，当时，恒成立，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】函数，.对于一次函数，.
，令，解得（负根舍去），所以在上递增，在上递减，画出的图像如下图所示.由图可知，要使当时，恒成立，只需大于或等于在处切线的斜率.而，所以.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求在区间上的最值.
解：（1），
，
又∵曲线在处的切线方程为.
，，即得：，
解得：，
（2）由（1）得：，
，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，，所以.
在区间上的最大值为13，最小值为5.
16. 已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若对，恒成立，求的取值范围.
解：（1）函数的定义域为，
当时，.由，得.
当变化时，，的变化情况如下表
所以在上单调递减，上单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）对，恒成立，即对，恒成立.
令，则.由得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，因此.
所以的取值范围是.
17. 在数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列的前n项和为，且数列满足，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
解：（1）因为时，，，
.
所以数列是公差为1，首项为的等差数列，
所以.所以数列的通项公式为.
（2）由题意知：，
令①
则②
①-②得，所以
恒成立.
令，则，
所以数列是递增数列.
若n为偶数，，则恒成立，∴；
若n为奇数，，则恒成立，，
综上.
18. 为加快推进我区城乡绿化步伐，植树节之际，决定组织开展职工义务植树活动，某单位一办公室现安排4个人去参加植树活动，该活动有甲､乙两个地点可供选择.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个地点植树，掷出点数为1或2的人去甲地，掷出点数大于2的人去乙地.
（1）求这4个人中恰有2人去甲地的概率；
（2）求这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率；
（3）用分别表示这4个人中去甲､乙两地的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.
解：依题意知，这4个人中每个人去甲地的概率为，去乙地的概率为.
设“这4个人中恰有i人去甲地”为事件，则.
（1）这4个人中恰有2人去甲地的概率为
（2）设“这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数”为事件B，则，
由于与互斥，故.
所以这4个人中去甲地人数大于去乙地的人数的概率为.
（3）的所有可能的取值为，由于与互斥，与互斥，
故，，
.
所以ξ的分布列为：
故.
19. 已知数列满足，数列为公差为的等差数列，且满足.记，称为由数列生成的“函数”.
（1）求的值；
（2）若“1-函数”，求n的最小值；
（3）记函数，其导函数为，证明：“函数”.
附：
解：（1），，公差为2，
所以，
，
所以；
（2），，公差为1，
所以，
，当时，
，
而，
所以，
，
设，则，
所以关于单调递增，
所以关于单调递增，
注意到
，所以当时，均满足，
所以满足题意的n的最小值为；
（3）由题意得
由，得，
所以，所以，
所以.零件数（个）
2
3
4
5
加工时间（分钟）
26

49
54
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
ξ
0
2
4
P