四川省天立集团2024-2025学年高二上学期期中联考A数学试卷（解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线，，若，则实数的值为
A. 8B. 2C. D. -2
【答案】A
【解析】∵直线l1：2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，l1∥l2，
∴，解得a=8．
故选A .
2. 若，，则等于（ ）
A. 5B. －5C. 7D. －1
【答案】B
【解析】因为，，两式相加得，
解得；两式相减得，解得，
所以，
故选：B.
3. 一组数据按从小到大的顺序排列为2，3，4，，7，8（其中），若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的60%分位数是（ ）
A. 4B. 4.5C. 5D. 6
【答案】D
【解析】由题意知，中位数是，极差为，
由已知 ，解得，
又，则第60百分位数是6.
故选：D.
4. 已知圆：，若直线垂直于圆的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则（ ）
A. 2或10B. 4或8C. 4或6D. 2或4
【答案】A
【解析】根据题意，圆C：，其圆心，半径，
若直线垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，
则圆心到直线的距离为，则有，变形可得，
解可得：或10，
故选:A．
5. 椭圆的左、右焦点分别为，则椭圆上满足的点
A. 有2个B. 有4个
C. 不一定存在D. 一定不存在
【答案】D
【解析】以为直径作圆，圆与椭圆有几个交点，就有几个点满足，，
而，所以以为直径作圆，即圆的半径，圆与椭圆没有交点，
所以不存在点P满足，
故选：D.
6. P为⊙C：上一点，Q为直线l：上一点，则线段PQ长度的最小值（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为圆，即，所以圆心，半径，
又因为长度的最小值为圆心到直线的距离减去半径，
且圆心到直线距离，
所以，
故选：A.
7. 若半径为的小球可以在棱长均为8的四棱锥内部自由转动，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】记该四棱锥为，AC与BD的中点为E，内切球球心为O，
易知四棱锥为为正四棱锥，高为PE，
的最大值为该四棱锥的内切球的半径．
由题意得，
该正四棱锥的表面积，
则该正四棱锥的体积，
由等体积可得，则，
所以的最大值为．
故选：B.
8. 我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】D
【解析】由已知表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
所以，
过点作，垂足为，
因为直线的方程为，，
所以，
又直线与直线平行，，所以，
所以，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
又，
当且仅当三点共线时等号成立，
所以当点为线段与直线的交点时，
取最小值，最小值为，
因为过点与直线垂直的直线的方程为，
联立，可得，
所以点的坐标为，所以，
所以的最小值为，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若事件两两互斥，则成立.
B. 若事件两两独立，则成立.
C. 若事件相互独立，则与也相互独立.
D. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立.
【答案】ACD
【解析】对于A选项，若事件两两互斥，则与互斥，
所以，，因此A正确；
对于B，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数，
事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数，
于是有，，
，可以看出事件两两独立，但不互相独立，
所以，因此B错误；
对于C，若事件相互独立，则，
又，，
则
，因此C正确；
对于D，若，事件相互独立，
则，
若互斥，则，因此D正确.
故选：ACD.
10. 设直线系：，则下面四个命题正确的是（ ）
A. 点到中的所有直线的距离恒为定值
B. 存在定点不在中的任意一条直线上
C. 对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上
D. 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
【答案】ABC
【解析】先点到中的直线的距离设为d，则为定值，故直线系：表示圆的切线的集合.
显然选项A正确；一定不在中的任意一条直线上，B选项正确；由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上，C选项正确；
如图所示，中的直线所能围成的正三角形有两类，一种是圆的外切三角形，如△ADE，此类三角形面积均相等，另一种是在圆的同一侧，如△ABC，这类三角形面积也相等，但两类三角形面积不等，故D选项不正确.
故选：ABC.
11. 如图，正方体的棱长为是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，则下列结论正确的有（ ）
A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为
B. 保持与垂直时，点的运动轨迹长度为
C. 若保持，则点的运动轨迹长度
D. 平面截正方体所得截面为等腰梯形
【答案】BCD
【解析】对于A，在棱长为4的正方体中，将正方形、正方形展开置于同一平面，如图，

连接，则，A错误；
对于B，在棱上分别取点，使，连接，如图，

由，得平行四边形，即，
由，得，同理，
于是，而平面，平面，，
又，
，平面 ，
则平面 ，平面 ，有，
同理，从而，
又平面，
因此平面，
而平面平面，则的运动轨迹为线段，
此时与始终垂直，，B正确；
对于C，在棱上取点，使，连接，则，如图，

而平面，则有平面，平面，
则，
而，于是，点在以为圆心，2为半径的圆弧上，
此时圆心角为，点的运动轨迹长度，C正确；
对于D，在棱上取点，使，连接，如图，

由，得，正方体的对角面为矩形，
则，于是平面截正方体所得截面为梯形.
又，，从而为等腰梯形.故D正确.故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知空间的一组基底为，且满足，则______．
【答案】
【解析】由题得存在实数满足，
则．
又为空间的一组基底，则满足，解得则．
13. 已知某三棱台的高为，上、下底面分别为边长为和的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________．
【答案】
【解析】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱台，如图，
上底面正外接圆的半径是，为正外接圆圆心，下底面正外接圆的半径是，为正外接圆圆心，由正三棱台的性质知，其外接球的球心在直线上，令该球半径为，
于是，或，解得，
所以球的表面积是．
14. 已知实数满足，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以点在圆上，其中圆心为，半径为，
又，其中表示点与点连线的斜率，
又，所以点在圆外，
由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，
设过点的直线的方程为，
即，则，解得或，
即的最大值为，最小值为，所以的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知三棱柱中，，平面，，M为边上的动点．
（1）当时，求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
（1）证明：平面，又平面，，
，，，
又，平面，平面．
（2）解：，，，
则点C到平面距离为，
在三棱柱中，平面，
则四边形为矩形，
当M点在上运动时，的面积是定值，
又，
，
．
16. 为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的1000名同学的初赛成绩(满分：分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图(有数据缺失)．
请大家完成下面的问题：
（1）根据直方图求以下表格中、的值；
（2）求参赛同学初赛成绩的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（3）若从这1000名参加初赛同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，再在该样本中成绩不低于分的同学里任选人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的人中恰好人的分数低于分且人的分数不低于分的概率．
解：（1）因为个体在区间50,60内的频率是，
所以频数；
在80,90内的频率是，
所以频数.
（2）平均数为，
方差.
（3）由等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则抽样比例为，
所以在区间80,90和90,100内抽取的人数各为和，
分别记这人为、、、、和、，
则事件的总体是
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，
其中共有21个基本事件，
记所求的事件为，则中包含的基本事件为：
，，，，，，，，，共10个，
所以．
17. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为.
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成夹角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.
解：（1）取中点，连接分别为的中点，
，
底面四边形是矩形，为棱的中点，
，
故四边形是平行四边形，，
又平面平面，
//平面.
（2）假设在棱上存在点满足题意，如图：连接，，，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面平面，
平面，则是四棱锥的高，
设，则，
∴，所以，
以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，
设，．
设平面的一个法向量为，
则所以可取.
易知平面的一个法向量为，
，，
故存在点满足题意.
18. 蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆的方程为，直线与圆M交于，，直线与圆交于，．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点．
（1）当，，，时，分别求线段和的长度；
（2）①求证：．
②猜想OP和OQ的大小关系，并证明．
解：（1）当，，，时，
圆：，
直线：，由或，故，；
直线：，由或，故，.
所以直线:，令得，即；
直线:，令得，即.
所以：.
（2）①由题意：.
由，
则，是该方程的两个解，由韦达定理得：，
所以.
同理可得：，所以.
②猜测，证明如下：
设点，.
因为三点共线，所以：，
又因为点在直线上，所以；点在直线上，所以.
所以；
同理因为三点共线，可得：.
由①可知：，
所以.
即，所以成立.
19. 已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，．
（1）已知直线，直线，求原点到直线的有向距离；
（2）已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由；
（3）设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由．
解：（1）由直线，直线，根据点到直线的有向距离公式得，，；
即，
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，舍去；
当直线的斜率存在时，直线的方程为，
由题意,所以直线可化为，
假设，则，解得或．
所以存在直线的方程为或；
（3）当时，直线，
，
由，整理得
，，，，即，
当时，直线，
得，
由，
即，
或，解得
或，
由题意对任意的参数都有恒成立，所以，
综上所述，存在实数满足题目条件，即.成绩
频数