(暑期班)2025年高二数学暑假讲义第18讲 圆锥曲线的方程 章末题型大总结+章节检测（2份，原卷版+教师版）

这是一份(暑期班)2025年高二数学暑假讲义第18讲 圆锥曲线的方程 章末题型大总结+章节检测（2份，原卷版+教师版），文件包含暑期班2025年高二数学暑假讲义第18讲圆锥曲线的方程章末题型大总结+章节检测原卷版doc、暑期班2025年高二数学暑假讲义第18讲圆锥曲线的方程章末题型大总结+章节检测教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。

二、题型精讲
题型01圆锥曲线的定义
【例1】－＝4表示的曲线方程为（ ）
A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2) C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)
【答案】C
【详解】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合.根据双曲线定义可知， 所以 由焦点在y轴上，所以 ，且到点 的距离比较大，所以，即曲线方程为故选：C.
【例2】已知点F（1，0），直线，若动点P到点F和到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是 .
【答案】
【详解】根据抛物线定义可知，点在以为焦点，直线为准线的抛物线上，
所以，，抛物线方程为.故答案为：.
【变式1】在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是 .
【答案】
【详解】因为点到点、的距离之和为，即，所以点的轨迹为以点、为焦点的椭圆，且，，所以，所以椭圆方程为.
故答案为：.
题型02圆锥曲线的标准方程
【例1】顶点距离为6，渐近线方程是的双曲线方程是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【详解】解：当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为1，因为顶点间的距离为，渐近线方程为，可得，解得，所以双曲线的方程为；当双曲线的焦点在 轴上时，设双曲线的方程为1，因为顶点间的距离为，渐近线方程为，可得，解得，所以双曲线的方程为.故选：A.
【变式1】已知椭圆的中心在原点，离心率为且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知椭圆的焦点在上，所以设椭圆方程为，由可得其焦点坐标为，因为椭圆与抛物线的焦点重合，所以，因为椭圆的离心率，所以，得，所以，所以椭圆方程为，故选：C
【变式2】若双曲线C：其中一条渐近线的斜率为2，且点在C上，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得，所以，把点的坐标代入方程，得，
所以，则C的标准方程为，故选：A
题型03圆锥曲线的焦点三角形问题
【例1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】A
【详解】
设椭圆的半焦距为，则，，如图，连接，则，而，当且仅当共线且在中间时等号成立，故的最大值为.故选：A.
【例2】设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ．
【答案】/
【详解】因为双曲线，则，，所以，因为为双曲线右支上一点，所以，又，所以，，，由余弦定理，即，解得，又，所以.故答案为：
【变式1】已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】C
【详解】由椭圆，得，，.

设，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，
故.故选：C.
【变式2】已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则 ．
【答案】
【详解】由椭圆方程得：，，，；设，由椭圆定义知：，，，即，解得：或；
为椭圆在第一象限内的点，，即，，；.
故答案为：.
题型04椭圆、抛物线中的离心率问题
【例1】设分别是椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则,
且需满足以为圆心，以为半径的圆与椭圆有交点，

即，即，又，故椭圆离心率的取值范围是，故选：C
【例2】已知椭圆的右焦点为，点，在椭圆上，为坐标原点，且，，则椭圆的离心率是 ．
【答案】
【详解】
设椭圆的左焦点为，设，因为，所以为直角三角形且，因为，所以，因为，，所以，，
所以，解得，所以，，所以，所以，即椭圆的离心率是.故答案为：.
【变式1】直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面的切点F为一个焦点的椭圆.若椭圆的长轴为，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【详解】依题意，平面截球O得球面大圆.如图，是球O大圆的外切三角形，

其中，切圆O于点E，F，显然，而，则，又，则，由圆的切线性质知.在中，，则，于是得椭圆长轴长，即.又F为椭圆的一个焦点，令椭圆的半焦距为c，即，因此，所以椭圆的离心率.故答案为：
题型05直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】已知双曲线 的一条渐近线方程为，若直线与只有一个公共点，则实数的值为
【答案】
【详解】由双曲线 可得，且双曲线的焦点在x轴上，
故双曲线的渐近线为，∵双曲线的一条渐近线方程为，即，
可得，解得，所以双曲线.
联立方程，消去y得，当，即时，则，解得，故直线与只有一个公共点，符合题意；
当，即时，则，解得或，故直线与有两个公共点，不符合题意；综上所述：.
故答案为：.
【变式1】如果直线y＝kx＋1与椭圆恒有公共点，那么实数m的取值范围为 ．
【答案】且
【详解】由可得，所以，即，，所以且.故答案为：且.
题型06圆锥曲线中的中点弦问题
【例1】已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则有，，两式相减得到，又线段的中点坐标为，
所以，得到，所以的斜率为.故选：B.
【例2】已知焦点在轴上的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则正数 .
【答案】
【详解】由题意焦点在轴上的椭圆，把直线方程代入椭圆方程整理得．设弦的两个端点为,，,，则由根与系数的关系可得，，椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，由中点坐标公式可得，，，可得，．故答案为：．
【变式1】已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，且，
由得：，即，
为中点，，，，
直线方程为：，即；由得：，
则，满足题意；直线的方程为：.故选：A.
【变式2】已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于，两点，且弦被点平分，则直线的方程为 ．
【答案】
【详解】设，，则的中点，由题意可得，，将，的坐标代入椭圆的方程，作差可得，化简得，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，整理可得．故答案为：.
题型07圆锥曲线中的弦长问题
【例1】）已知点是椭圆C：上的一点，是椭圆的左、右焦点，且，则椭圆C的方程是.若圆的切线与椭圆C相交于M点，则的最大值是 .
【答案】3
【详解】由和可得， 即，，解得，，所以椭圆C：；设圆的切线方程为，由得，
联立 消去x得，
，
设，，则，，
，设，，当且仅当，即时，取得最大值3.
故答案为：3
【变式1】已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于两点，线段中点的纵坐标为，则 .
【答案】
【详解】由抛物线，可得其焦点坐标为，过焦点且倾斜角为的直线方程为，设，联立方程组，整理得，可得，则的中点的纵坐标为，因为线段中点的纵坐标为，可得，解得，又由抛物线的定义可得.故答案为：.
题型08圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题
【例1】已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．求使面积最大时直线l的方程．
【答案】(1)(2)或
【详解】（1）因为长轴长是短轴长的倍，则， 所以椭圆C的方程为，
把点的坐标代入上式，得，可得，所以，故椭圆C的方程为．
（2）易知右焦点F的坐标为，若直线l的斜率为0，则O，A，B三点不能构成三角形，

所以直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，
联立方程组，消去x，得， 判别式，
设，则，，
．
令，则，当且仅当时，等号成立，即，解得，所以此时直线l的方程为或．
圆锥曲线的方程 章节验收测评卷
一、单选题
1．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】由抛物线的焦点为，准线方程为，如图，
因为点在上，且到直线的距离为，可得到直线的距离为，即点到准线的距离为，根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离，所以.故选：B
2．双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为双曲线，所以，，所以，的离心率，故B，C，D错误.故选：A.
3．若将如图所示大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，此双曲线一条渐近线为，下焦点到下顶点距离为1，则该双曲线方程为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得，又，则，即该双曲线方程为．故选：A．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【详解】双曲线的实半轴长，
由双曲线的定义，可得所以，
则三角形的周长为.故选：B
5．）若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，所以，即 ，
A． ，则 ，故错误；B． ，则 ，故错误；
C． ，则 ，故正确；D． ，则 ，故错误；
故选：C
6．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【详解】因为，所以，即，，，又∵，∴.

故选：A.
二、填空题：
7．若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ．
【答案】
【详解】双曲线的渐近线为，又因为双曲线的一条渐近线与直线平行，所以.故答案为：.
8．已知，是椭圆的两个焦点，那么在C上满足的点有 个．
【答案】2
【详解】不妨设，，，则，所以轨迹方程为，轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，而椭圆中，，故的轨迹与椭圆交于短轴顶点，所以在C上满足的点有2个.故答案为：2
9．已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若，则
【答案】4
【详解】易知焦点F的坐标为，准线方程为，如图，作于，于，
，可知线段BM平行于AF和DN，因为，，，
所以，又由定义知，所以.

故答案为：4.
三、解答题
10．已知抛物线：的焦点坐标为．
(1)求的方程；
(2)直线：与交于A，B两点，若（为坐标原点），求实数的值．
【答案】(1)(2)7
【详解】（1）由抛物线的定义可得，所以，所以抛物线的方程为．
（2）设，．联立方程组得消去得，
由，得．所以，．
所以，解得或（舍去）．故实数的值为7．
11．已知椭圆，离心率，过点．
(1)求的方程；
(2)直线过点，交椭圆与两点，记，证明．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【详解】（1）由题得，解得，于是；
（2）由题意知直线斜率存在，设直线，联立方程即，
消可得，由，设，
韦达定理可得；
，综上所述：.
12．已知双曲线.四个点中恰有三点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且，求原点到直线的距离.
【答案】(1)(2).
【详解】（1）由双曲线性质可知，关于原点对称，所以一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限图象，而和坐标的数中，，但，所以点不在双曲线上，即在双曲线上.
解得双曲线的方程为
（2）直线的方程为，设，
由消去得
所以.
由，可得，即，所以，
可化为，即
则，即
到的距离.