(暑期班)2025年高二数学暑假讲义第12讲 椭圆及其标准方程+课后练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点01：椭圆的定义
1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，
这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.
说明：
若，的轨迹为线段；若，的轨迹无图形
2、定义的集合语言表述
集合.

【即学即练1】设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
知识点02：椭圆的标准方程
【即学即练2】已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
特别说明：
1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.
题型01椭圆的定义及辨析
【例1】设满足：，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在
【变式1】如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（ ）．
A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线
题型02利用椭圆定义求方程
【例1】已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是 ．
题型03椭圆上点到焦点距离（含最值）问题
【例1】已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【例2】设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，把椭圆的长轴八等分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则的值为 ．
题型04椭圆上点到坐标轴上点的距离（含最值）问题
【例1】点为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】椭圆上任一点到点的距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式2】椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若RtF1PF2，则点P到x轴的距离为 .
题型05椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值
【例1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【例2】已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式1】已知椭圆的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点，则的最小值为 ．
【变式2】已知F是椭圆的右焦点，P为椭圆C上一点，，则的最大值为 ．
题型06判断方程是否表示椭圆
【例1】已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例2】设方程①；②．其中表示椭圆的方程是 ．
【变式1】（多选）已知曲线（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是椭圆，其焦点在轴上
C．若，则是圆，其半径为
D．若，，则是两条直线
题型07求椭圆方程
【例1】若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（ ）
A． B．或
C． D．以上都不对
【变式1】已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【变式2】已知，两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为 .
题型08根据椭圆方程求参数
【例1】方程表示焦点在轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知椭圆的焦距为2，则实数m＝（ ）
A． B． C．或 D．或1
【变式1】已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
题型09椭圆中的轨迹方程问题
【例1】在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为 ；
【例2】已知的三边a，b，c成等差数列，且，A、C两点的坐标分别为，则顶点B的轨迹方程为 ．
【变式1】设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程；
【变式2】已知定圆，圆，动圆M和定圆外切和圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
题型10椭圆中焦点三角形周长问题
【例1】直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（ ）
A．10 B．16 C．20 D．不能确定
【例2】若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．20
【变式1】设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ）
A．12 B．24 C． D．
【变式2】椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则的周长的最小值是（ ）
A．14 B．15 C．18 D．20
【变式3】已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是 ．
题型11椭圆中焦点三角形面积问题
【例1】已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．
【例2】椭圆的左，右焦点为，且，点P是椭圆C上异于左、右端点的一点，若M是的内心，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
【例3】椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，则面积与周长的比值的最大值为 .
【变式1】已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（ ）
A． B． C． D．
题型12椭圆中焦点三角形其他问题
【例1】在椭圆上有一点P，是椭圆的左､右焦点，为直角三角形，这样的点P有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【例2】已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则 ．
【变式1】设为椭圆上的一点，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知，是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，，若C的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为 .
课后巩固练习
一、单选题
1．设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
2．已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
3．过点且与有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A．12 B． C．16 D．10
5．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
6．椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（ ）
A． B．4 C．7 D．
7．已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
8．已知椭圆的左､右焦点分别为.若点关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知P：，Q：表示椭圆，则P是Q的 条件．
10．已知分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，（O为坐标原点）是面积为的正三角形，则此椭圆的方程为 ．
三、解答题
11．P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右两个焦点，且．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的面积．
12．已知点P是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线l过与椭圆交于A、B两点，求的周长.
B能力提升
1．椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A．±3 B．±4 C．±5 D．
3．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆．椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，点在椭圆上，且点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为，记椭圆的两个焦点分别为，则的值不可能为（ ）
A．4 B．7 C．10 D．14
4．已知椭圆，、分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得平分．过点D作、的垂线，垂足分别为A、B．则的最大值是 ．
第12讲 1.1椭圆及其标准方程 随堂检测
1.已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
2.方程，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3.已知椭圆上一点到右准线的距离为，则点到它的左焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
4.已知椭圆（）的一个焦点为，则（ ）
A． B．3 C．41 D．9
5.已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
6.“”是“方程表示的曲线为椭圆”的 条件．
7.椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于 .
8.已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ．
9.已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是 ．
10.已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ．
11.已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为 ．
12.已知为椭圆上的一点，若分别是圆和上的点，则的最大值为 .
13.已知椭圆C：的左､右焦点分别为､，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为 .
14.已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求
(1)
(2)的面积
课程标准
学习目标
①了解圆锥曲线的实际背景。
②了解圆锥
曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
③掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程。
④会根据相关的条件求椭圆的标准方程。
⑤会求与椭圆有关的量。
1.通过本节课的学习，要求掌握椭圆的定义（相关的量的掌握）及椭圆的标准方程（满足的条件），会求与椭圆有关的几何量
焦点位置
焦点在轴上
焦点在轴上
标准方程
（）
（）
图象
焦点坐标
，
，
的关系