(暑期班)2025年高二数学暑假讲义第10讲 圆与圆的位置关系+课后练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点01：圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
2、圆与圆的位置关系的判定
2.1几何法
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.
①当时，两圆相交；
②当时，两圆外切；
③当时，两圆外离；
④当时，两圆内切；
⑤当时，两圆内含.
2.2代数法
设:
:
联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其
①与设设相交
②与设设相切（内切或外切）
③与设设相离（内含或外离）
【即学即练1】圆O：与圆C: 的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．外切D．内切
【答案】C
【详解】圆是以为圆心，半径的圆，圆:改写成标准方程为，则圆是以为圆心，半径的圆，则，=3，所以两圆外切，故选：.
知识点02：圆与圆的公共弦
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
2、公共弦所在直线的方程
设: :
联立作差得到：即为两圆共线方程
3、公共弦长的求法
代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
【即学即练2】已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.故选：D.
知识点03：圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；
（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
（3）两圆相交时，只有2条外公切线；
（4）两圆内切时，只有1条外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离求解
【即学即练3】圆与圆的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】圆的圆心坐标为，半径为5；圆的圆心坐标为，半径为3，所以两圆的圆心距为，因为，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条.故选：B.
知识点04：圆系方程
以为圆心的同心圆圆系方程：；
与圆同心圆的圆系方程为；
过直线与圆交点的圆系方程为

过两圆，圆：交点的圆系方程为
（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
【即学即练4】求过两圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程.
【答案】
【详解】设圆的方程为，
则，即，所以圆心坐标为，把圆心坐标代入得，解得，
所以所求圆的方程为．
题型01 判断圆与圆的位置关系
【例1】圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
【答案】C
【详解】两圆化为标准形式，可得与圆，可知半径，，于是，而，故两圆相交，故选：.
【例2】（多选）已知圆和圆，则下列结论正确的是（ ）
A．圆与圆外切
B．直线与圆相切
C．直线被圆所截得的弦长为2
D．若分别为圆和圆上一点，则的最大值为10
【答案】ACD
【详解】圆化为，圆心坐标为，半径为2，
圆化为，圆心坐标为，半径为3.
因为两个圆的圆心距为，等于两个圆半径的和，所以两个圆外切，正确.
圆的圆心到直线的距离为，所以直线与圆不相切，错误.
圆的圆心到直线的距离为，直线被圆所截得的弦长为，C正确.若分别为圆和圆上一点，则的最大值为，正确.
故选：ACD
【变式1】圆与圆的位置关系为（ ）．
A．相交B．内切C．外切D．外离
【答案】B
【详解】由题意可得，
故两圆的圆心分别为：，设两圆半径分别为，则，
易知，故两圆内切.故选：B
题型02求两圆交点坐标
【例1】圆 与圆 的交点坐标为（ ）
A． 和B．和
C．和D．和
【答案】C
【详解】由,可得，即，代入，解得或，
故得或,所以两圆的交点坐标为和,故选:C
【变式1】圆与圆的交点坐标为___________.
【答案】
【详解】联立两个圆的方程：，方程带入，先得到，在联立，得到，解得或，对应的值为或，于是得到两圆交点：.故答案为：.
题型03由圆的位置关系确定参数
【例1】已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，即，圆心，；
，即，圆心，半径；
两圆恰有三条公切线，即两圆外切，故，即，
.
当且仅当，即，时等号成立.故选：A
【变式1】已知圆与圆内切，则的最小值为_______
【答案】2
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆的圆心距，两圆内切，，可得，所以．当且仅当时，取得最小值，的最小值为2．故答案为：2．
题型04由圆与圆的位置关系确定圆的方程
【例1】已知圆，圆过点且与圆相切于点，则圆的方程为__________.
【答案】
【详解】如图所示：
过点和的直线方程为，以点和点为端点的线段的垂直平分线为.
由得，则圆的半径，所以圆的方程为.
故答案为：
【例2】已知圆，的圆心都在坐标原点，半径分别为与．若圆的圆心在轴正半轴上，且与圆，均内切，则圆C的标准方程为_________．
【答案】
【详解】解：依题意可知圆心的横坐标为，半径为，故圆的标准方程为.故答案为：.
【变式1】经过点以及圆与交点的圆的方程为______．
【答案】
【详解】联立，整理得，
代入，得，解得或，
则圆与交点坐标为，
设经过点以及的圆的方程为,
则，解得，故经过点以及圆与交点的圆的方程为，
故答案为：
【变式2】已知圆和圆，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程．
【答案】
【详解】设两圆交点为A、B，则以AB为直径的圆就是所求的圆．
联立，可得直线AB的方程为．
又圆M的圆心，圆N的圆心所以两圆圆心连线的方程为．
解方程组，可得圆心坐标为．
圆心到直线AB的距离为，圆M的半径为，
弦AB的长为，则所求圆的半径为，
所以所求圆的方程为．
题型05相交圆的公共弦方程
【例1】若圆与圆的公共弦的长为1，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】将两圆方程相减可得直线的方程为，即，因为圆的圆心为，半径为，且公共弦的长为，则到直线的距离为，
所以，解得，所以直线的方程为，故选：D.
【例2】已知，直线为上的动点，过点作的切线，切点为，当最小时，直线的方程为__________.
【答案】
【详解】圆的方程可化为，则圆心，半径，可得点到直线的距离为，所以直线与圆相离，依圆的知识可知，四点四点共圆，且，
所以，原题意等价于取到最小值，当直线时，，此时最小.的直线方程为：，
与联立，解得：，即，则的中点为，
所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即直线的方程为.
故答案为：.
【变式1】圆与圆的公共弦所在的直线方程为______．
【答案】
【详解】联立，两式相减得.
故答案为：
题型06两圆的公共弦长
【例1】已知两圆，．
(1)取何值时两圆外切？
(2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【答案】(1)
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为，两圆的公共弦的长为
【详解】（1）因为圆的标准方程为，
所以两圆的圆心分别为，，半径分别为，.
当两圆外切时，圆心距为半径之和，则，结合，解得；
（2）当时，圆的一般方程为两圆一般方程相减得：，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为，圆圆心到的距离为
故两圆的公共弦的长为．
【变式1】已知圆与圆有两个公共点、，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】对于圆，有，可得，圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，且，
因为两圆有两个公共点、，则，即，
将两圆方程作差可得，
因为，则直线过圆心，所以，，解得，满足.
因此，.故选：C.
【变式2】已知圆与交于两点.若存在，使得，则的取值范围为___________.
【答案】
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径
若两圆相交，则，所以，即，
又两圆相交弦所在直线方程为：即
所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，则弦长，所以，则，所以，若存在，使得，则，即，所以的取值范围为.
故答案为：.
题型07圆的公切线条数
【例1】圆：与圆：公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】根据题意，圆：，即，其圆心为，半径；
圆：，即，其圆心为，半径，
两圆的圆心距，所以两圆相外切，其公切线条数有3条．故选：C．
【例2】若圆与圆恰有两条公共的切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，所以，半径，由，所以，半径为，因为圆与圆恰有两条公共的切线，所以这两个圆相交，于是有，而，所以m的取值范围为，故选：A
【变式1】若圆与圆有且仅有3条公切线，则=（ ）
A．14B．28C．9D．
【答案】A
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为圆与圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切，则，
即，解得.故选：A.
【变式2】两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（ ）
A．B．C．6D．－6
【答案】A
【详解】由已知可得，圆的方程可化为，圆心为，半径；圆的方程可化为，圆心为，半径.因为圆与圆恰有三条公切线，所以两圆外切.
所以有，即，所以.又，当且仅当时，等号成立，所以.故选：A.
【变式3】已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A．4条B．3条C．2条D．0条
【答案】B
【详解】由圆，则圆心，半径；由圆，整理可得，则圆心，半径；由，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.故选：B.
题型08圆的公切线方程
【例1】已知圆与圆恰有两条公切线，则满足题意的一个的取值为____；此时公切线的方程为__________.
【答案】 5（答案不唯一） 和（答案与前空的答案有关联）
【详解】圆的圆心为，半径为5.因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交.即.又，所以，所以可取(答案不唯一.满即可).此时.因为的圆心为，半径为5，的圆心为，半径为5，
所以可设公切线的方程为，且与两圆圆心所在的直线平行，解得，又因为是公切线，所以圆心到直线距离等于半径，即，解得.所以当时，公切线的方程为和.
故答案为: 5；和.
【例2】写出与圆和圆都相切的一条直线的方程___________.
【答案】或或（三条中任写一条即可）
【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为；
与的距离为，所以两圆外切.过与的直线方程为.
由图可知，直线是两圆的公切线，由解得，设，
设两圆的一条公切线方程为，到直线的距离为，
即，解得，所以两圆的一条公切线方程为，即.
由两式相减并化简得，所以两圆的公切线方程为或或.故答案为：或或（三条中任写一条即可）
【变式1】已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】圆：的圆心，圆：可化为
，，则其圆心为，半径为，因为圆与圆相内切，所以，即，故.由，可得，
即与的公切线方程为.故选：D
题型09圆的公切线长
【例1】已知圆的方程为，圆的方程为.
(1)判断圆与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.
(2)求两圆的公切线长.
【答案】(1)两圆相交，，；(2).
【详解】（1）圆A：，圆：，
两圆心距，∵，∴两圆相交，
将两圆方程左、右两边分别对应相减得：，此即为过两圆交点的直线方程.
设两交点分别为、，则垂直平分线段，
∵A到的距离，∴.
（2）设公切线切圆A、圆的切点分别为，，则四边形是直角梯形.
∴，∴.
【变式1】求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长．
【答案】或，8
【详解】，，，．
设内公切线与连心线交于点，则在轴上且．设，可得，．
设内公切线所在直线方程为，即．由，得．
所以内公切线所在直线方程为或．
内公切线的长为．
课后巩固练习
一、单选题
1．设圆，圆，则圆，的位置（ ）
A．内切B．相交C．外切D．外离
【答案】D
【详解】圆，化为，圆心为，半径为；
圆，化为，圆心为，半径为；
两圆心距离为：，，圆与外离，故选：D.
2．已知圆和交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】将和相减得直线，
点到直线的距离，所以．故选：B
3．与两圆和都相切的直线有（ ）条
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】由题意知，，所以圆心距,
所以两圆相离，公切线有4条.故选：D.
4．已知圆与圆有两个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意知，圆心与圆心，则圆心距，因为圆与圆有两个交点，
则圆与圆相交，则，解得．故选：B.
5．已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】切线长，所以当取得最小值时，切线长取得最小值.当 共线且点在之间时，最小，由于,所以min，
所以.故选：.

6．已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】B
【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为，圆，可得圆心，半径为，可得圆心距，如图，，所以，
当共线时，取得最小值，故的最小值为.

故选：B
7．圆：与圆：公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】根据题意，圆：，即，其圆心为，半径；
圆：，即，其圆心为，半径，
两圆的圆心距，所以两圆相外切，其公切线条数有3条．故选：C．
8．已知圆：，为直线：上的一点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由圆的知识可知，，，，四点共圆，且，所以，
又，当时，此时取得最小值，此时直线的方程为，即，
，解得，即.所以的中点为，所以以为直径的圆的方程为，又圆：，即，两圆的方程相减可得：，即直线的方程为．故选：D
二、填空题
9．已知圆与圆内切，则的最小值为_______
【答案】2
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆的圆心距，两圆内切，，可得，所以．当且仅当时，取得最小值，的最小值为2．故答案为：2．
10．已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为__________．
【答案】
【详解】由题意可得：，即圆的圆心为，半径为，
即圆心到直线的距离为，故所截弦长为．
故答案为：
三、解答题
11．如图，已知点A、B的坐标分别是，点C为线段AB上任一点，P、Q分别以AC和BC为直径的两圆的外公切线的切点，求线段PQ的中点的轨迹方程.

【答案】
【详解】过C作，交于点，则是两圆的内公切线，
因为直线为两圆的外公切线，由切线长知识可得，，，
所以是线段PQ的中点，设，则，，，
连接，，，，则
又因为，，，,
所以，，所以，，
从而可得，所以，
所以，所以，
因为点是线段上任一点，和为直径，所以，
所以线段PQ的中点的轨迹方程为.

B能力提升
1．已知圆和两点，，若圆C上至少存在一点P，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】圆C：的圆心，半径，∵圆C上至少存在一点P，使得，
∴圆：与圆O：位置关系为相交，内切或内含，如图所示，又圆O：的圆心，半径，则，即，∴．故选：B．

2.在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足，，A为线段中点，P为圆任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，则，又，且A为线段中点，则，所以A为圆任意一点，设圆的圆心为M，则，又，所以圆O与圆M相离，所以的几何意义为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，所以，，所以的取值范围为．
故选：A．
3．已知平面内的动点，直线：，当变化时点始终不在直线上，点为：上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由原点到直线：的距离为，可知直线是：的切线，又动直线始终没有经过点，所以点在该圆内，因为点为：上的动点，且，，∴，又，即的取值范围为，故选：D
第10讲 圆与圆的位置关系 随堂检测
1.圆O：与圆C: 的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．外切D．内切
【答案】C
【详解】圆是以为圆心，半径的圆，圆:改写成标准方程为，则圆是以为圆心，半径的圆，则，=3，所以两圆外切，故选：.
2.已知圆：，圆：，则与的位置关系是（ ）
A．外切B．内切C．相交D．外离
【答案】C
【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为，
所以所以圆与的位置关系是相交.故选: C.
3.已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题知：，，，，.
因为和有公共点，所以，解得.故选：C
4.若两圆和圆相交，则的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【详解】圆与圆相交，两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，即，所以.解得或.故选：B
5.已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】B
【详解】圆：的圆心为，半径为a，所以圆心到直线的距离为，解得或．因为，所以.所以圆：的圆心为，半径为．圆：的标准方程为，圆心坐标为，半径，圆心距，所以两圆相内切．所以两圆的公切线只有1条.故选：B．
6.已知圆：与：恰好有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为圆：与：恰好有4条公切线，所以圆与外离，所以，解得或，即实数的取值范围是.故选：D.
7.圆与的交点坐标为______.
【答案】和
【详解】联立，两式相减得，将其代入中得或，进而得或，所以交点坐标为
故答案为：和
8.圆：和圆：交于，两点，则线段的垂直平分线的方程是______.
【答案】
【详解】圆方程为，圆方程为，则圆心分别为，，两圆相交于两点，则线段AB的垂直平分线即为直线，，则直线的方程为，即，故答案为：.
9.已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______.
【答案】
【详解】圆：的圆心坐标为，因为圆过圆的圆心，所以，
所以，所以：，两圆的方程相减可得相交弦方程为.
故答案为：.
10.已知圆：与圆：，若两圆相交于，两点，则______
【答案】
【详解】圆的方程为，即①，
又圆：②，②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为
圆的圆心到直线的距离，所以．
故答案为: .
11.已知圆
(1)若直线过定点，且与圆相切，求直线的方程；
(2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程．
【答案】(1)或(2)或
【详解】（1）圆
化为标准方程为，所以圆C的圆心为，半径为
①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意．
②若直线的斜率存在，设直线的方程为即
由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，
所以，即，解得，所以直线方程为
综上，所求直线的方程为或
（2）依题意，设又已知圆C的圆心为，半径为2，
由两圆外切，可知，所以，解得或
所以或，所以所求圆D的方程为或
12.已知圆与圆
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）圆，圆心坐标为，半径，
圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径，
圆心距，，所以圆与圆相交.
（2）两圆方程相减，得，所以两圆公共弦所在直线的方程为.
（3）设所求圆的方程为，即，圆心坐标为，代入直线可得，解得，所求圆的方程为
课程标准
学习目标
①掌握两圆位置关系的判定的代数方法与几何方法。
②会应用两圆的位置关系求与两圆有关的几何量问题。
通过本节课的学习，会判断两圆的位置关系，会求与两圆位置有关的点的坐标、公共弦长及公共弦所在的直线方程，能求与两圆位置关系相关的综合问题.
图象
位置关系
图象
位置关系
外
离
外
切
相
交
内
切
内
含