河南省商丘市九师联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份河南省商丘市九师联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 设离散型随机变量的分布列为等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章第3节，选择性必修第三册第六章~第七章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知离散型随机变量的分布列为，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】由已知可得，.
故选：C.
2. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，要求这2名学生来自不同年级，则不同的选择方法共有（ ）
A. 4种B. 6种C. 8种D. 12种
【答案】A
【解析】由4名学生来自高一、高二各2名，
则随机选2名学生来自不同年级的选择有种.故选：A
3. 函数的单调递增区间为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知函数的定义域为，，
令，得，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：B.
4. 若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中只有1天下雨的概率为（ ）
A.B. C. D.
【答案】A
【解析】由未来连续3天每天下雨的概率均为，
可知这3天中只有1天下雨的概率为：，
故选：A.
5. 篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分.已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为，则（ ）
A. 1.2B. 2.4C. 2.16D. 2.52
【答案】C
【解析】由已知可得，的分布列为
所以，，
.
故选：C.
6. 由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（ ）
A. 360B. 280C. 156D. 150
【答案】C
【解析】若个位上的数字为0，可以组成个无重复数字的4位数的偶数，
若个位上数字为2或4，可以组成，
故可以组成个符合条件的数．
故选：C
7. 随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x（）万条时，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当该软件获得最高收益时，收集的数据量应为（ ）
A. 17万条B. 16万条C. 15万条D. 14万条
【答案】C
【解析】设收益为y元，则，
，当时，；当时，，
所以函数y在上单调递增，在上单调递减，
即当收集的数据量为15万条时，该软件能获得最高收益.
故选：C.
8. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，则，
所以在上单调递减，
因为，
所以不等式可变为，即，
所以，即，
所以不等式的解集为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设离散型随机变量的分布列为
若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对于A、B项，由表格可得，所以.
则，
.故A正确，B错误；
对于C、D项，因为，，，
所以，，.故C错误，D正确.
故选：AD.
10. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ）
A. 展开式共有10项
B. 展开式的二项式系数之和为1024
C. 展开式的常数项为8064
D. 展开式的第6项的二项式系数最大
【答案】BD
【解析】由题意可知，展开式共有11项，故A错误；
展开式的二项式系数之和为，故B正确；
展开式的通项为，
令，得，所以展开式的常数项为，故C错误；
当时，二项式系数最大，所以展开式第6项的二项式系数最大，故D正确.
故选：BD.
11. 已知，则（ ）
A. 曲线关于点对称
B. 1是函数的极大值点
C. 当时，
D. 不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】由题意得曲线是由奇函数的图象向下平移1个单位长度而得，故曲线的对称中心为，故A正确；
，易得在和上单调递增，在上单调递减，所以为的极大值点，1为的极小值点，故B错误；
因为在上单调递减，当时，，所以，故C正确；
由上知，易求，
所以，所以，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的值为______.
【答案】40
【解析】.
故答案为：40
13. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________.
【答案】
【解析】由已知可得，
根据正态分布的对称性可知.
又，所以.
故答案为：.
14. 若,则 的值被4除的余数为__________．
【答案】3
【解析】令，
得，
因为，
所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即，
当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即，
所以，
又，
故被4除余3．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动.（用数字作答下列问题）
（1）社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数；
（2）活动后5人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数.
解：（1）5个人做5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案总数为种.
（2）方法一：甲不在中间，乙不在排头的排法可以分两类：
①甲在排头，其他4人随机排，则有种排法；
②甲不在排头也不在中间，甲有3个位置可以选择，乙不在排头，有3个位置可以选择，其他3人随机排，则有种排法.
综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种.
方法二：5人随机排有种排法，其中甲在中间，其他4人随机排，有种排法，乙在排头，其他4人随机排，有种排法，甲在中间，乙在排头，其他3人随机排，有种排法.
综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种.
16. 某校高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，已知测试成绩满分为100分，规定测试成绩在区间内为“体质优秀”，在内为“体质良好”，在内为“体质合格”，在内为“体质不合格”.现从这个年级中随机抽取6名学生，测试成绩如下：
（1）若该校高二年级有600名学生，将样本频率视为概率，试求在高二年级学生中任意抽取1人，此人是“体质优秀”学生的概率.
（2）若从这6名学生中随机抽取3人，记为抽取的3人中“体质良好”的学生人数，求的分布列与数学期望.
解：（1）由抽取的6名学生中，测试成绩“体质优秀”的共有3人，
此时“体质优秀”的频率为，
将样本频率视为概率，则在高二年级学生中任意抽取1人，
此人是“体质优秀”学生的概率为；
（2）从这6名学生中随机抽取3人，记为抽取的3人中“体质良好”的学生人数，
因为这6名学生中“体质良好”的学生人数为2人，则的所有可能取值为，
，
，
，
即的分布列为
.
17.已知函数的图象在点处的切线与直线平行．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的极值与最值．
解：（1）由，得，．
所以．
因为函数的图象在点处的切线与直线平行，
所以，即，解得．
（2）由（1），得，
令，解得，或．
当变化时，的变化情况如下表所示：
因此，当时，有极小值，且极小值为，当时，有极大值，且极大值为．
又，所以函数在区间上的最大值为12，最小值为．
18. “茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为.
（1）从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率；
（2）若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示）
解：（1）设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元为事件，从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为男性为事件，
，
所以；
（2）设从购买包装茶饮料消费者中随机抽取1名消费者为女性为事件，
，
则.
19.若对,且,函数,满足:，则称函数是函数在区间D上的m级控制函数.
（1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由；
（2）若函数是函数在区间上的m级控制函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数是函数在区间上的m级控制函数，且函数在区间上存在两个零点a，b，求证：.
解：（1）函数是函数在区间上的1级控制函数.
理由如下：
因为，且，所以，，
所以，
即成立，
所以函数是函数在区间上的1级控制函数.
（2）由函数是函数在区间上的m级控制函数，
得，
又，且在上单调递增，
所以，即恒成立.
令，所以当，且时，恒成立，
所以在上恒成立.
因为，所以在上恒成立，
又单调递增，所以在上的最小值为，
所以，解得，
又，所以，即实数m的取值范围是.
（3）因为函数在区间上存在两个零点a，b，
不妨设，所以，
又函数是函数在区间上的m级控制函数，
则，
即，所以，
即，得，所以.
要证，即证，
即证，即证，
令，
所以，所以在上单调递增，
所以，即时，，
即成立，所以得证.
0
3
2
3
4
0.3
0.4
学生编号
1
2
3
4
5
6
测试成绩
60
85
80
78
90
91
1
0
0
单调递减
单调递增
单调递减