河南省商丘市商师联盟2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题（解析版）

这是一份河南省商丘市商师联盟2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，9B， 下列四个命题中的假命题为等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
所以.
故选：B.
2. 已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为命题是全称量词命题，则命题为存在量词命题，
由全称量词命题的否定得，命题：.故选：D.
3. 设随机变量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，，解得，
所以.
故选：D
4. 五人站成一排拍照，其中甲､乙必须相邻且两人均不能站两端，则不同的站法有（ ）
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
【答案】B
【解析】由题意，首先将甲、乙两人捆绑，有种方法，
其次将捆绑后的甲、乙安排在中间2个位置，有种方法，
最后将剩余3人全排列，有种方法，所以不同的站法有种.
故选：B.
5. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】的解集为R,
即恒成立，
当时，即，不符合题意，
当时，则’解得
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B
6. 对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选项A、B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为，
选项A中，由图象得，从而，选项A可能；
选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能；
选项D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，选项D不可能；
选项C中，由图象与轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能.
故选：A.
7. 某人外出，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.2．若邻居浇水的概率为P，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.74，则实数P的值为（ ）
A. 0.9B. 0.85C. 0.8D. 0.75
【答案】A
【解析】记A为事件“盆栽没有枯萎”，W为事件“邻居给盆栽浇水”，
由题意可得，
由对立事件的概率公式可得.
由全概率公式可得，
解得
故选：A
8. 若数若关于的方程恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作出的图象如下图：
可化为，解得或，由图可知无解，故问题等价于有两个不相等实数根，
由图象可得．
故选：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列四个命题中的假命题为（ ）
A. ，
B. 集合与集合是同一个集合
C. “为空集”是“A与B至少一个为空集”的充要条件
D. 命题p：．命题q：．则p是q的充分不必要条件
【答案】BCD
【解析】A选项，当时，，故，，A为真命题；
B选项，集合与集合不是同一个集合，B为假命题；
C选项，不妨设，此时“为空集”，但不满足“A与B至少一个为空集”，故充分性不成立，C为假命题；
D选项，，解得或，不妨设，满足，但不能推出．则p不是q的充分条件，D为假命题.
故选：BCD
10. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，故A错误；
对于B，因为，所以，故，
又因，当且仅当时取等号，
所以，故B正确；
对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：BCD.
11. 设随机变量，函数没有零点的概率是，则下列说法正确的是（ ）
附：若，
则.
A. 随机变量的数学期望是1B. 随机变量的方差是2
C. D.
【答案】ACD
【解析】当函数没有零点时，，解得，
又因为没有零点的概率是，所以，由正态曲线的对称性知，
所以，即，即随机变量的数学期望是，方差是，故A正确，B错误；
又，所以，则，故C正确；
又，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中项的系数为______.
【答案】15
【解析】的二项展开式的通项，
令，得，所以的展开式的项的系数为.
故答案为：
13. 已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为为偶函数，所以，
函数的图象关于对称，
又在上单调递增，，
所以，解得．
故答案为：.
14. 一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第n次向左跳动的概率为，则________；________．
【答案】；
【解析】由题意，得，，，
由，
设，则，，
所以数列是首项为，公比为等比数列，
所以，，
所以．
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知，求的最小值；
（2）求函数的定义域.
解：（1）因为，所以，则
，
当且仅当，即时，等号成立．所以（）的最小值为．
（2）对于函数，则，即，
解得或，所以函数的定义域为.
16. 电视剧《庆余年2》自2024年5月16日在CCTV-8和腾讯视频双平台开播以来，其收视率一路飙升，《庆余年2》剧组为了解该剧的收视情况，在喜欢看电视的居民中随机抽取了1000名居民进行调查，其中，男性居民和女性居民人数之比为9：11，且观看本剧的居民比没有观看本剧的居民多800人，没有观看本剧的女性居民有50人．
（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为是否观看《庆余年2》与性别有关联？
（2）在这1000名居民中，按性别比例用分层随机抽样的方法从看过《庆余年2》的居民中随机抽取9人，并从这9人中随机抽取3人采访其观剧感受，记这3人中男性居民的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，其中．
解：（1）男居民人数人，女居民人数人，
设看过《庆余年2》的人数为，没看过《庆余年2》的人数为，
则，
提出假设：是否观看过《庆余年2》与性别无关，
，
所以根据小概率值，可以认为是否观看过《庆余年2》与性别无关.
（2）由（1）可知，在看过《庆余年2》的人中随机抽取9人中，男性居民有4人，女性居民有5人，服从超几何分布，
，，
，，
所以的分布列如下表
.
17. 脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换.近日埃隆.马斯克宣布，脑机接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑.未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据.现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图.
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中.
（1）根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由）
（2）根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1）
附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
解：（1）选择模型②，理由如下：
由于模型②残差点比较均匀在落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄，
所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以模型②比较合适.
（2）根据模型②，令与可用线性回归来拟合，有.
则，所以
则关于的经验回归方程为，所以关于的经验回归方程为.
由题意，，解得，又为整数，所以.
所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人.
18. 已知函数为偶函数.
（1）求的值；
（2）设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意知函数的定义域为，
因为为偶函数，所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以，解得.
（2）由（1）知
所以，
令，则，其对称轴为，
①当，即时，在上单调递减，
所以，
由，
解得，此时不满足，此时不存在符合题意的值；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由，解得或，又，所以；
③当，即时，在上单调递增，
所以，
由，解得，不满足，此时不存在符合题意的值.
综上所述，存在，使得函数在区间上的最小值为.
19. 对于定义在上的函数和，若对任意给定的，不等式都成立，则称函数是函数的“从属函数”．
（1）若函数是函数“从属函数”，且是偶函数，求证：是偶函数；
（2）设，求证：当时，函数是函数的“从属函数”；
（3）若定义在上的函数和的图像均为一条连续曲线，且函数是函数的“从属函数”，求证：“函数在上是严格增函数或严格减函数”是“函数在上是严格增函数或严格减函数”的必要非充分条件．
解：因为是上的偶函数，故对任意的都有．又是上的“从属函数”，于是恒成立，即对任意的成立，故是偶函数；
（2）不妨设，当时，在上是严格增函数，
有．
而
，
所以，
因此，当时，函数是函数的“从属函数”；
（3）举反例不具备充分性.
令，显然在上是严格增函数，
因为，
所以函数是函数的“从属函数”，但在上不是单调函数．
因此不是的充分条件．
必要性证明，即证：函数是函数的“从属函数”，
若函数在上为严格增函数或严格减函数，
则函数在上是严格增函数或严格减函数．
任取，且，有，即对任意，且，有．
下面证明：对任意的实数，有或成立．
若存在，，使得且…①，
其中不妨设…②，
当①或②式中有等号成立时，则与（其中）矛盾！
当①②两式中等号均不成立时，考虑，
因为，
由连续函数的零点存在定理知，必存在使得，
也与（其中）矛盾！
同理可证且也不可能.男性居民
女性居民
总计
看过《庆余年2》
没看过《庆余年2》
50
总计
1000
a
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
男性居民
女性居民
总计
看过《庆余年2》
400
500
900
没看过《庆余年2》
50
50
100
总计
450
550
1000
0
1
2
3
7.5
2.25
82.50
4.50
12.14
2.88