2021-2022学年河南省商丘市高二下学期4月联考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年河南省商丘市高二下学期4月联考数学（理）试题

一、单选题

1．抛物线的焦点坐标为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标.

【详解】由得：，

其焦点坐标为.

故选：A.

2．用反证法证明命题“已知．如果，那么a，b都不为0”时，假设的内容应为（       ）

A．a，b都为0 B．a，b不都为0 C．a，b中至少有一个为0 D．a不为0

【答案】C

【分析】按要求否定命题的结论即可

【详解】命题“已知．如果，那么a，b都不为0”，

则用反证法证明命题时假设应否定结论，

故假设的内容应为：a，b中至少有一个为0，

故选：C

3．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（       ）

A． B．0 C． D．1

【答案】A

【分析】求出导函数，计算得切线斜率，由斜率求得倾斜角．

【详解】，

设倾斜角为，则，，．

故选：A．

4．已知函数，则（ ）

A．3 B． C． D．0

【答案】C

【分析】求出导函数，进而可求得结果.

【详解】由得，所以.

故选：C.

5．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出导函数，则在有根，且根的两侧异号即可.

【详解】由，①当时函数单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.

故选：C.

6．函数在上的最大值为（        ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】B

【分析】求出函数，由此探讨在上单调性即可作答.

【详解】因，当时，，

由，得，当时，，当时，，

于是得在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，取得最大值.

故选：B

7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则为（       ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形

【答案】B

【分析】由余弦定理可得，再利用可得答案.

【详解】因为，所以，

由余弦定理，

因为，所以，

又，∴，故为直角三角形.

故选：B.

8．已知函数，则下列正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用导数研究函数的单调性，即可做出判断.

【详解】，，∴当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数，又，∴.

故选：C.

9．已知，类比这些等式，若（a，b均为正整数），则（       ）

A．72 B．71 C．55 D．42

【答案】B

【分析】分析式子的特点找出规律，用归纳推理求解即可

【详解】由题可知，规律可表示为，

故可得，则．

故选：B

10．已知Р是曲线上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】如图所示，若使得取最小值，则曲线在点P处的切线与直线平行，然后利用导数的几何意义求出点P的坐标

【详解】如图所示：

若使得取最小值，则曲线在点P处的切线与直线平行，

对函数求导得，

令，可得，

因为，解得，

当时，，

所以点P的坐标为，

故选：D

11．已知函数在定义域上为单调递减函数，则a的最大值是（       ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】D

【分析】等价转化为导函数小于等于0恒成立，利用分离参数法和二次函数的性质进一步求解即可得到实数的取值范围，从而做出判定.

【详解】由题得在恒成立，所以在恒成立，因为函数在上当时取得最小值为，所以，所以a的最大值为.

故选：D.

12．已知函数的图象上存在关于直线对称的不同两点，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】依题意，函数的图象上存在关于对称的不同两点，则存在，，且，使得，即，构造函数，，故问题转化为存在，使得函数与有交点，然后通过研究函数的图象与性质即可求出结果.

【详解】依题意，函数的图象上存在关于对称的不同两点，则存在，，且，使得，则，因此，设，，故问题转化为存在，使得函数与有交点，又在上恒成立，，∴函数在上单调递增，故，因此，为使函数与有交点，只需.

故选：B.

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

二、填空题

13．在等差数列中，，公差，则__________.

【答案】

【分析】利用等差数列的通项公式进行求解即可.

【详解】因为是等差数列，，公差，

所以，

故答案为：

14．已知双曲线的离心率，左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，若，则__________.

【答案】

【分析】根据题意得，结合已知解出求解即可.

【详解】由已知得，且，解得，

又双曲线的离心率，所以，即.

故答案为：.

15．已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是_______________.

【答案】

【分析】构造函数，利用导数求得的单调区间、极值，画出其大致图象，由此求得的取值范围.

【详解】令，有三个零点即与有三个交点，，在和上单调递减，在上单调递增，且，

的极大值为，极小值为.

结合图象与有三个交点，即，∴.

故答案为：

16．某生物病毒繁殖规则如图，现有一个这种生物病毒，初始状态为（表示时间，单位：小时），由此推测小时后此病毒的个数为__________.

【答案】

【分析】设当时（单位：小时），设病毒的个数为，推导出，利用累加法可求得，即可求得结果.

【详解】时，病毒的个数是个；时，病毒的个数是个；时，病毒的个数是个；

时，病毒的个数是个；；（的单位为小时）

则，，，

以此类推可知，当时（单位：小时），设病毒的个数为，则，

所以，

，

也满足，所以，对任意的，，

故小时后此病毒的个数为.

故答案为：.

三、解答题

17．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求在上的最大值和最小值．

【答案】（1）；（2）最大值，最小值．

【分析】（1）利用导数的几何意义，求得切线斜率，利用点斜式即可得解；

（2）利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可求得最值.

【详解】（1）由得，，

∴，，

∴曲线在点处的切线方程，即；

（2）令可得或，此时函数单调递增，

令可得，此时函数单调递减，

故函数在上单调递减，

∴的最大值，最小值．

18．已知函数在处取得极值．

（1）求实数a的值；

（2）若函数在内有零点，求实数b的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由题意可得，从而可求出a的值；

（2）先对函数求导，求得函数的单调区间，从而可由函数的变化情况可知，要函数在内有零点，只要函数在内的最大值大于等于零，最小值小于等于零，然后解不等式组可得答案

【详解】解：（1）在处取得极值，

∴，∴．经验证时，在处取得极值．

（2）由（1）知，

∴极值点为2，．   

将x，，在内的取值列表如下：

 由此可得，在内有零点，只需∴．

19．如图，在长方体中，底面是正方形，，点M是正方形的中心.

(1)证明：平面；

(2)求与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，证明与法向量平行即可；

（2）求出向量的坐标，利用线面角的公式可求结果.

【详解】(1)分别以为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图

则，，，，，，，，，，

设平面的一个法向量为，

取，则

（1）证明：∵，即与平面的法向量平行，

∴平面.

(2)解：由（1）可知平面的一个法向量为，

∵，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

20．已知函数，其中.

（1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值；

（2）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求出代入等于可得的值；

（2）求出，转化为，令，求最大值可得答案.

【详解】（1）由题可知，

则，解得.

（2）∵在上是增函数，

∴对恒成立，∴，

令，

则由得，

当时，，当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，

故只需，故的取值范围是.

21．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，点是椭圆C上一点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若M､N为椭圆C上不同于A的两点，且直线关于直线对称，设直线与y轴交于点，求d的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由椭圆的离心率公式和，，的关系，以及点是椭圆C上一点，可得，，，进而得到所求椭圆方程；（2）设直线AM的斜率为，由对称性可得直线AN的斜率为，求得直线AM的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理可得M的横坐标，将其中的换为，可得N的横坐标，求得MN的斜率和方程，联立椭圆方程，由判别式大于0，结合M，N的位置，解不等式可得所求范围.

【详解】(1)∵，，

∴①

又在椭圆C上，

∴②

由①②解得，，

所以所求椭圆标准方程为

(2)由（1）知，∴轴，设直线的斜率为k，因为，关于直线对称，

所以直线的斜率为，

又，所以直线的方程是，

设，，

，

所以，将上式中的k换成得，，

所以，

所以直线的方程是，

代入椭圆方程得，

所以，解得，

又由题意知点M，N在A点两侧，而直线中，当时，，故.

22．已知函数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，若，且在时恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】（1）求导，分和两种情况讨论分析单调性即可；

（2）由已知不等式可令，通过恒成立，得到；再证明当时，在时恒成立.利用放缩法得到，所以只需证在时恒成立.记，求导，结合导数研究函数的最值，即可求解.

【详解】解：（1），

①当时，恒成立，

即函数在递减；

②当时，令，

解得，

令，

解得，

即函数在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，函数在递减；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）由题意，即当时在时恒成立，

即在时恒成立.

记，

则，

记，

在递增，

又，

当时，

得.

下面证明：当时，在时恒成立.

因为.

所以只需证在时恒成立.

记，

所以，

又，

所以在单调递增，

又，

所以，单调递减；

，单调递增，

所以，

∴ 在恒成立.

即在时恒成立.

综上可知，当在时恒成立时，

实数a的取值范围为.

【点睛】方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.