河南省开封市五校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份河南省开封市五校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 若且，则， 若，则下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】集合，
则.
故选：D.
2. 展开式中的常数项为（ ）
A. -20B. -15C. 15D. 20
【答案】C
【解析】因为的展开式通项公式为
，
令，得，所以，即展开式的常数项为15.
故选：C
3. 从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有（ ）
A. 16个B. 20个C. 12个D. 15个
【答案】A
【解析】若复数为虚数，则任意，由题意，
从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有个.
故选：A.
4. 将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（ ）
A. 504B. 126C. 112D. 56
【答案】D
【解析】取9个小球排成一排形成8个空档，在8个空档中放入3个挡板，把9个小球分成4部分，
每一部分的小球个数即为分配到4个班的名额数，
所以不同的分配方法的种数为.
故选：D
5. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
，.
故选：D.
6. 甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ）
A. 96种B. 132种C. 168种D. 204种
【答案】C
【解析】依题意其余位主播有两种情况：
①位主播去一个景点，位主播去另外一个景点；②分别都是位主播去一个景点；
所以不同游玩方法（种）.
故选：C
7. 两组各有3人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记两组中成功破译出该密码的人数分别为，若，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知：服从二项分布，所以.
同理：服从二项分布，所以.
因为，所以，所以.
对于二次函数，对称轴，所以在上函数单调递增，
所以当时，有，即.
故选：C
8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用表示整数被整除，设且，若，则称与对模同余，记为.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由二项式定理，得
，
因为能够被7整除，
被7除余3，则，
又2030除以7余0，2031除以7余1，2032除以7余2，2033除以7余3，
所以.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】由组合数的性质知，故A错误；
因为，，故，故B正确；
由，得，故C正确；
，故D错误.
故选：BC.
10. 若，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】令，则，
令，可得，即，故A正确；
令，可得，又，
所以，故B正确；
令，所以，
所以，所以，故C错误；
由题可知1798，故D正确.
故选:ABD.
11. 如图，在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，则下列说法正确的是（ ）

A.
B. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的体积为
C. 当二面角的余弦值为时，
D. 若二面角的大小为，且时，直线PB与AC所成角的余弦值最大为
【答案】ACD
【解析】在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，
取的中点，连接，如图，则，

又平面，则平面，又平面，
所以，A正确；
平面，则有平面平面，又平面平面，
于是点在平面上的射影在直线上，点到平面的距离，
当且仅当时取等号，而面积为定值，即最大时三棱锥的体积最大，
此时平面平面，且平面，平面，令的中心分别为，
三棱锥外接球球心为，则平面，平面，于是，
四边形是矩形，，，
因此三棱锥的外接球半径，
所以三棱锥的外接球的体积，B错误；
由选项A知，为二面角的平面角，即，
因为，
所以
，因此，C正确；
二面角的大小为，即，
于是
，
记直线与所成角的大小为，
则，
当 时, ，，
因此，则，
所以的最大值为，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则的值为______.
【答案】
【解析】.
故答案为: .
13. 一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为______．
【答案】
【解析】由题意，X满足超几何分布，且X取值为0，1，2，
则，，，
，，
所以．
故答案为：
14. 在某市举办的城市运动会的跳高比赛中，甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响,若甲、乙各试跳两次，两人中恰有一人第二次才成功的概率为_______.
【答案】
【解析】记“甲第i次试跳成功”为事件，“乙第i次试跳成功“为事件，
依题意得，，且，相互独立．
“甲第二次试跳才成功”为事件，且两次试跳相互独立，，
故甲第二次试跳才成功的概率为0.21，
同理，可求得乙第二次试跳才成功的概率为，
故两人中恰有一人第二次才成功概率为，
故答案为：．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有3名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求：
（1）2名女教师必须坐在一起的坐法有多少种？
（2）2名女教师互不相邻的坐法有多少种？
解：（1）根据题意，先将2名女教师排在一起，有种坐法，
将排好的女教师视为一个整体，与3名男教师进行排列，共有种坐法，
由分步乘法计数原理，共有种坐法．
（2）根据题意，先将3名男教师排好，有种坐法，
再在这3名男教师之间及两头的4个空位中插入2名女教师，有种坐法，
由分步乘法计数原理，共有种坐法．
16. 某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀．
（1）估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例；
（2）若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数．
参考数据：若，则，，．
解：（1）设学生的物理得分为随机变量，
则，所以，，
所以，
，
所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为．
（2）由题意，得，，
即，，
所以，，
所以．
又，
所以全市物理成绩在内的学生人数估计为人．
17. 已知椭圆的上顶点与左､右焦点连线的斜率之积为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知椭圆的左､右顶点分别为，且,点是上任意一点（与不重合），直线分别与直线交于点为坐标原点，求.
解：（1）根据题意可得椭圆的上顶点的坐标为，
左､右焦点的坐标分别为，
由题意可知，即，
又，所以，即，
可得椭圆的离心率.
（2）由，得，即，
所以椭圆的方程为.
如图所示：

设，则，即，
又，则直线的方程为，
直线的方程为；
因为直线分别与直线交于点，
可得，
所以
.
即.
18. 在某大学组织农村专项招生考试面试环节，共设置4道面试题目，每道题5分.已知某学生对于前3道题，每道题答对的概率均为；对于第4道题，答对的概率为.记该学生的总得分为.
（1）求该学生前3道题至少答对2道题的概率；
（2）求的分布列及数学期望.
解：（1）记该学生前3道题答对道为事件，前3题中至少答对2道题为事件，
则，
，，
所以.
（2）依题意，的取值可能为，
，，
，
，.
所以的分布列为：
数学期望.
19. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的.“固点”.经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数.
（1）当时，试求的对称中心.
（2）讨论的单调性；
（3）当时，有三个不相等的实数根，当取得最大值时，求的值.
解：（1），，，
令，，，
故的对称中心为.
（2），
令，则，，
当时，，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，，在，上，，函数在，上单调递增，在上，，
所以函数在上单调递减；
当时，，在，上，，函数在，上单调递增，在上，，函数在上单调递减.
综上所述：
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（3），，
令，，，所以对称中心为，
当和时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
；
，
要使得有三个解，故，，
且，，是方程的根，
由于对称性，为了简化研究，只研究的情况，
，
根据常数项知：，根据对称性知：，
，且，
故，即，
.
当时，取得最大值，此时.0
5
10
15
20