2025年中考数学总复习 专题07 锐角三角函数（分层训练）(原卷版+解析版）

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【基础训练】
一、单选题
1．（2022·吉林长春·校联考模拟预测）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：2（坡比是坡面铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度最接近（ ）（参考数据：3≈1.73，5≈2.24）
A．5.2mB．6mC．6.7mD．9m
【答案】C
【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，BC=3米，tanA=1：2；
∴AC=BC÷tanA=6米，
∴AB=AC2+BC2=32+62=35≈6.7(m)．
故选：C．
【点睛】本题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
2．（2023上·广西玉林·九年级统考期中）将直角边长为3cm的等腰直角ΔABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积( )
A．332cm2B．33cm2C．23cm2D．6cm2
【答案】A
【分析】根据旋转的性质，旋转角∠CAC′=15∘，则∠BAC′=45∘−15∘=30°，可见阴影部分是一个锐角为30°的直角三角形，且已知直角边AC′=3厘米，根据勾股定理或者三角函数求出另一直角边即可解答．
【详解】解：设AB与B′C′交于D点，
根据旋转性质得∠CAC′=15°，而∠CAB=45°，
∴∠C′AD=∠CAB−∠CAC′=30°，
又∵AC′=AC=3cm，∠C′=∠C=90°，
∴C′D=AC′·tan30°=3，
∴阴影部分的面积=12×3×3=332cm2．
故选：A．
【点睛】本题考查旋转的性质和解直角三角形．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点·旋转中心；②旋转方向；③旋转角度
3．（2023上·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角比正确的是（ ）
A．sinA＝ACABB．csA＝ADACC．tanA＝CDBDD．csA＝CDAD
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义解答即可．
【详解】解：因为∠ACB=90°，CD⊥AB，
所以sinA=BCAB，csA=ADAC=ACAB，tanA=CDAD，
故选：B．
【点睛】本题考查三角函数的问题，关键是利用三角函数的定义解答．
4．（2022上·山东潍坊·九年级统考阶段练习）如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是（ ）
A．CD=AB⋅tanBB．CD=AD⋅tanA
C．CD=AC⋅sinBD．CD=BC⋅csA
【答案】B
【分析】由Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，可得∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°, 再利用锐角三角函数的定义逐一分析即可.
【详解】解：∵Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，
∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°,
∴tanA=CDAD=BCAC, tanB=CDBD=ACBC,
∴CD=AD⋅tanA,CD=BD⋅tanB,
故A不符合题意，B符合题意；
而sinB=CDBC=ACAB,csA=ACAB=ADAC,
∴CD=BC⋅sinB,
故C，D不符合题意；
故选B.
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义并予以应用是解本题的关键.
5．（2022下·全国·九年级统考期中）若∠A为锐角，且tanA＝33，则csA的值为（ ）
A．12B．22C．32D．3
【答案】C
【分析】根据特殊三角函数值可进行求解．
【详解】解：∵tanA＝33，
∴∠A＝30°，
则csA＝32．
故选：C．
【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．
6．（2023·山东济宁·统考三模）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，在地面D处用高为1米的测角仪测得路灯A的仰角为30°，再向路灯方向前进2米到达E处，又测得路灯A的仰角为45°（点A，B，C，D，E，G在同一平面内），则路灯A离地面的高度为（ ）
A．3米B．(3+1)米C．(3+2)米D．2米
【答案】C
【分析】延长BC交AG于点M，由含45°角的直角三角形的性质可得AM=CM，再根据30°角的正切值进行求解即可．
【详解】如图所示，延长BC交AG于点M，
由题可知BD=MG=1，DE=BC=2，△ABM和△ACM分别是含30°和45°的直角三角形，
∴AM=CM，
设AM=CM=x，则BM=2+x，
∴tan30°=AMBM=x2+x=33，
解得：x=3+1，
∴AG=AM+GM=3+2．
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了利用三角函数测高的知识点，准确构造直角三角形是解题的关键．
7．（2023上·山东德州·八年级校考期中）△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，D为BC上一点，且AD=2CD，则∠DAB=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．15°
【答案】D
【分析】在Rt△ADC中，由CDAD=12得到∠ADC＝60°，而∠ADC＝45°＝∠B＋∠DAB，根据等腰直角三角形即可求出∠ADC．
【详解】解：在Rt△ADC中，∠C=90°，sin∠CAD=CDAD=12，
∴∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝60°
而∠ADC＝∠B＋∠DAB
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠B＝45°
∴∠DAB＝15°．
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形外角和定理和等腰直角三角形的性质，掌握这些知识点是解题关键．
8．（2023·吉林长春·统考一模）如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD的高度，信号塔CD对面有一座高15米的瞭望塔AB，测得瞭望塔底B与信号塔底D之间的距离为25米，若从瞭望塔顶部A测得信号塔顶C的仰角为α，则信号塔CD的高为（ ）
A．15+25sinα米B．15+25⋅sinα米
C．15+25tanα米D．15+25⋅tanα米
【答案】D
【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，AB=DE=15米，AE=BD=25米，从而求出CE=x−15米，然后在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【详解】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E
则AB=DE=15米，AE=BD=25米，
设CD=x米，
∴CE=CD−DE=x−15米，
在Rt△ACE中，∠CAE=α，
∴tanα=CEAE=x−1525，
∴x=15+25⋅tanα，即CD=15+25⋅tanα米
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．（2023下·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，线段AB和CD分别表示甲、乙两幢楼的高，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，从甲楼A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°，测得乙楼底部点D的俯角β=60°，且AB=24米，则CD为（ ）米．
A．34B．36C．32D．24+83
【答案】C
【分析】首先由AB⊥BD，CD⊥BD，可得四边形ABDE是矩形，则可求得DE的长，然后由三角函数的性质，求得CE的长，即可求得答案．
【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形ABDE是矩形，
∴DE=AB=24m，
∵在Rt△AED中，AE=EDtanβ=243=83(m)，
∴在Rt△ACE中，CE=AE⋅tanα=83×33=8(m)，
∴CD=DE+CE=24+8=32（m）．
故选：C．
【点睛】此题考查了仰角与俯角的知识．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
10．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处，然后右转40°再航行53km到B处．在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是( )
A．北偏东10°B．北偏东30°C．北偏东35°D．北偏东40°
【答案】C
【分析】连接BC，由题意得：∠ACP=∠ACD=90°，∠PAC=30°，PA=10km，∠BAE=40°，AB= 53km，根据cs∠PAC=ACPA=cs30°=32得出AC=AB，进而根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，连接BC，
由题意得：∠ACP=∠ACD=90°，∠PAC=30°，PA=10km，∠BAE=40°，AB= 53km，
∴∠BAC=180°−∠PAC−∠BAE=180°−30°−40°=110°，
∵cs∠PAC=ACPA=cs30°=32，
∴AC=32PA=32×10=53(km)，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=12×(180°−∠BAC)=12×(180°−110°)=35°，
即B处在C处的北偏东35°方向，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
11．（2023·重庆·重庆八中校考一模）小明在某个斜坡AB上，看到对面某高楼BC上方有一块宣传“中国国际进口博览会”的竖直标语牌CD，小明在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，并且测得斜坡AB的坡度为i=1：3（B、C、D在同一条直线上），已知斜坡AB长20米，高楼高19米（即BC=19米），则标语牌CD的长是（ ）米．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin42°≈0.67，cs42°=0.74，tan42°≈0.9，3≈1.73）
A．2.3B．3.8C．6.5D．6.6
【答案】D
【分析】作AE⊥BD于E．分别求出BE、DE，可得BD的长，再根据CD=BD-BC计算即可．
【详解】解：如图，作AE⊥BD于E．
∵斜坡AB的坡度为i=1：3，
∴tan∠ABF=AFBF=13=33，
∴∠ABF=30°，
∴AF=12AB=12×20=10，
BF=3AF=103，
∴BE=AF=10，AE=BF=103．
在Rt△ADE中，DE=AE•tan42°≈10×1.73×0.9=15.57，∴BD=DE+BE≈15.57+10=25.57，
∴CD=BD﹣BC=25.57﹣19≈6.6（m），
答：标语牌CD的长约为6.6m．
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线而构造直角三角形解决问题．
12．（2023·浙江杭州·校联考一模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则sin∠AEC的值为（ ）
A．255B．3510C．12D．104
【答案】A
【分析】过A作AF⊥CD，构造出直角三角形，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出AF的长，然后利用相似三角形的性质求出AE的长，根据正弦函数的定义即可得出答案．
【详解】过A作AF⊥CD于F，
在Rt△ADB中，BD＝3，AD＝3，由勾股定理得：AB＝32+32＝32，
在Rt△CAD中，AC＝1，AD＝3，由勾股定理得：CD＝12+32＝10，
由三角形的面积公式得：12×CD×AF＝12×AC×AD，
10×AF＝1×3，
解得：AF＝31010，
∵AC∥BD，
∴△CEA∽△DEB，
∴ACBD=AEBE，
∴13=AE32−AE，
∴AE＝324，
∴sin∠AEC＝AFAE＝31010324＝255．
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质和判定、锐角三角形函数等知识点，能够正确作出辅助线是解此题的关键．
13．（2023·陕西·统考二模）如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A=60°，BD:CD=2:1，BD=4，则△DBC的面积为（ ）
A．3B．2C．23D．33
【答案】C
【分析】过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD:CD=2:1得BH=23，CD=2，于是求出△DBC的面积．
【详解】解：过点B作BH⊥CD于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，
∴∠BDC=90°+12∠A=90°+12×60°=120°，
则∠BDH=60°，
∵BD=4，BD:CD=2:1
∴DH=2，BH=23，CD=2，
∴△DBC的面积为12CD⋅BH=12×2×23=23，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
14．（2023·河南南阳·统考二模）如图，反比例函数y=kx (k≠0)第一象限内的图象经过ΔABC的顶点A，C，AB=AC，且BC⊥y轴，点A，C，的横坐标分别为1，3，若∠BAC=120°，则k的值为（ ）

A．1B．2C．3D．2
【答案】C
【分析】先表示出CD，AD的长，然后在Rt△ACD中利用∠ACD的正切列方程求解即可．
【详解】过点A作AD⊥BC，
∵点A、点C的横坐标分别为1，3，
且A，C均在反比例函数y=kx第一象限内的图象上，
∴A(1,k)，C3,k3，
∴CD=2，AD=k-k3，
∵AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，
∴∠ACD=30°，∠ADC=90°，
∵tan∠ACD=ADDC，
∴DC=3AD，即2=3k−k3，∴k=3．
故选：C．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
15．（2023上·九年级单元测试）如图，小黄站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30∘，若小黄的眼睛与地面的距离DG是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度为i=4:3，坡长AB=10.5米，则此时小船C到岸边的距离CA的长为（ ）米．（3≈1.7，结果保留两位有效数字）
A．11B．8.5C．7.2D．10
【答案】D
【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到CA的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE=EH即为AC长度．
【详解】过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．
∵i=BEAE=43，设BE=4x，则AE=3x，AB=5x．
∵AB=10.5，∴x=2.1，∴BE=8.4，AE=6.3．
∵DG=1.6，BG=0.7，∴DH=DG+GH=1.6+8.4=10，AH=AE+EH=6.3+0.7=7．
在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=10，tan30°=DHCH=33，∴CH≈17．
又∵CH=CA+7，即17=CA+7，∴CA=17﹣7=10（米）．
故选D．
【点睛】本题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．
二、填空题
16．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）已知△ABC中，∠C=90°，csA=35，AC=6，那么AB的长是 ．
【答案】10
【分析】根据余弦的定义：即邻边与斜边的比，进行解答即可．
【详解】在Rt△ABC中，
∵csA=ACAB=35，AC=6，
∴AB=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟知余弦的定义是解本题的关键．
17．（2023·福建泉州·校联考一模）机器人沿着坡度为1:7的斜坡向上走了52米，则机器人在竖直方向上升的高度为 米.
【答案】1
【分析】设机器人在竖直方向上升的高度为x米，根据坡度的概念用x表示出水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】设机器人在竖直方向上升的高度为x米，
∵坡度为1：7，
∴水平距离为7x米，
由勾股定理得，x2+(7x)2=(52)2，
解得，x=1，
∴机器人在竖直方向上升的高度为1米，
故答案是：1．
【点睛】考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
18．（2023上·安徽安庆·九年级安徽省安庆市外国语学校校考阶段练习）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：2（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝4m，则坡面AB的长度是 m．
【答案】43
【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，BC＝4米，tanA＝1：2；
∴AC＝BC÷tanA＝42，
∴AB=42+(42)2=43，
故答案为：43．
【点睛】本题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，解题的关键是熟练运用勾股定理．
19．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，平面直角坐标系xOy中，∠AOB=60°，AO=BO，点B在x轴的正半轴上，点P是x轴正半轴上一动点，连接AP，以AP为边长，在AP的右侧作等边△APQ．设点P的横坐标为x，点Q的纵坐标为y，则y与x的函数关系式是 ．
【答案】y=32x(x＞0)．
【分析】先求证△AOB是等边三角形，并作出辅助线证得△OAP≌△BAQ，得出OP=BQ=x，∠AOP=∠ABQ=60°，进一步求得∠QBH=60°，根据QH=y，HQ=QB•sin60°，得出y=32x(x＞0).
【详解】连接BQ，过点Q作QH⊥x轴于H．
∵AO=BO，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AB，∠OAB=60°．
∵△PAQ是等边三角形，
∴AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴∠OAB=∠PAQ，
∴∠OAP=∠BAQ，
∴△OAP≌△BAQ(SAS)，
∴OP=BQ=x，∠AOP=∠ABQ=60°．
∵∠ABO=60°，
∴∠QBH=180°﹣60°﹣60°=60°．
∵QH=y，HQ=QB•sin60°，
∴y=32x(x＞0)．
故答案为：y=32x(x＞0)．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建求得是解题的关键.
20．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，在⊙O中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则⊙O的直径为 .
【答案】23
【分析】如图，先判定△ABC是等边三角形，∠EOC=60°，再在Rt△OEC中，根据60度角的正弦计算即可．
【详解】解：如图，作OE⊥BC于E，连接OB,OC，
∵∠A=∠D=60°,∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，∠BOC=120°，
∴BC=AC=3，
∵OE⊥BC，
∴BE=EC= 32，
∵OB=OC，
∴∠EOC=12∠BOC=60°，
∴sin60°= ECOC，
∴OC= 3，
∴圆O直径为23.
故答案为：23
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，垂径定理以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键.
21．（2023·浙江杭州·校考三模）如图，将△ABC沿BC翻折得到△DBC，再将△DBC绕C点逆时针旋转60°得到△FEC，延长BD交EF于H，已知∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，AC＝1，则线段DE的长为 ，四边形CDHF的面积为 .
【答案】 1 33
【分析】利用解直角三角形得到BC=2AC=2，AB=3，再利用翻折、旋转的性质知AC=CD=CF=1，∠ACB=∠BCD=∠FCE=60°，CE=CB=2，EF=BD=AB=3，∠E=∠ABC=30°，则DE=1，接着计算出DH=33DE=33，然后利用S四边形CDHF=S△CEF−S△DEH进行计算．
【详解】解：∵∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=1，
∴BC=2AC=2，
∴AB=BC2−AC2=22−12=3，
由翻折、旋转的性质知AC=CD=CF=1，∠ACB=∠BCD=∠FCE=60°，
∴∠ACF=180°，
即点A、C、F三点共线，
∴CE=CB=2，EF=BD=AB=3，∠E=∠ABC=30°，
∴DE=2-1=1，
在Rt△DEH中，DH=33DE=33，
S四边形CDHF=S△CEF−S△DEH
=12×1×3−12×1×33
=33．
故答案为：1；33．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了折叠的性质和含30度的直角三角形三边的关系．
22．（2023·陕西宝鸡·统考三模）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C,D分别落在边BC下方的点C′,D′处，且点C′,D′,B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F,D′F与BE交于点G．设AB=3，那么△EFG的周长为 ．

【答案】6
【分析】连接BC'，作FH⊥BC于H，则D'在BC上，FH=AB=3，由翻折的性质得，CE=C'E，证明△EFG是等边三角形，得出EF=FG=EG，∠FEG=60°，由三角函数求出EF，即可得出△EFG的周长．
【详解】解：连接BC'，作FH⊥BC于H，如图所示：

则D'在BC上，FH=AB=3，由翻折的性质得，CE=C'E，
∵BE=2CE，
∴BE=2C'E，
又∵∠C'=∠C=90°，
∴∠EBC'=30°，
∵∠FD'C'=∠D=90°，
∴∠BGD'=60°，
∴∠FGE=∠BGD'=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AFG=∠FGE=60°，
∴∠EFG=12(180°−∠AFG)=12(180°−60°)=60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴EF=FG=EG，∠FEG=60°，
在Rt△EFH中，
EF=ABsin60°=332=2，
∴△EFG的周长=3EF=6，
故答案为6．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，三角函数；熟练掌握翻折变换和举行的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
23．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）身高1.5m的小明想在校园里测量红旗杆的高度，他从仰角45°的地方靠近6米后发现仰角变成了60°，则红旗杆的高度约为 ．（计算结果保留根号）．
【答案】9+33m
【分析】先根据题意画出示意图，再利用直角三角形的边角关系求解即可．
【详解】
如图所示，AB=CD=EF=1.5m，AD=BC=6m，∠HAE=45°，∠HDE=60°，AE⊥HF，
在Rt△HDE中，由tan∠HDE=HEDE得，
HE=DE⋅tan∠HDE=3DE，
∵∠HAE=45°，
∴AE=HE．
∵AE=AD+DE=6+DE，
∴6+DE=3DE．
∴DE=33+3．
∴HE=3DE=333+3=9+33．
故答案是9+33米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意正确画出示意图，构造直角三角形是解题的关键．
24．（2022上·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，2），点A（4，2），以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B，在M1（−33，0），M2（−3，﹣1），M3（1，4），M4（2，112）四个点中，直线PB经过的点是 ．
【答案】M2
【分析】首先根据条件求出B点坐标，然后计算出PB所在直线的函数表达式，最后将各点坐标代入表达式，即可找到符合条件的答案；
【详解】解：∵P（0，2），A（4，2）
∴PA=PB=4
∵∠BAP=60°
∴B点的横坐标为PB·cs60°=4×12=2
B点的纵坐标为2+PB·sin60°=2+4×32=2+23
∵直线PB过点P和点B
∴PB所在直线的表达式为：y=3x+2
将M1（−33，0），M2（−3，﹣1），M3（1，4），M4（2，112）分别代入表达式，等式成立的只有M2；
故答案为M2．
【点睛】本题考查了60°角的三角函数，涉及了平面直角坐标系等相关知识，掌握并熟练使用相关知识，同时注意在解题中需注意的事项是本题的解题关键．
25．（2023·湖北随州·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，若tan∠EAC=13，AB=4，则BE= ；若点G是AD中点，点H是直线CD上的一动点，连GH，将△DGH沿着GH翻折得到△PGH,连PB交AE于Q，连PA、PD，当BPPQ最小值时，则△PAD的面积为 ．

【答案】 2； 455．
【分析】作EF⊥AC于F，设CE=2x，BE=4−2x，在Rt△CEF中，表示出CF，AF，在Rt△AEF中，根据tan∠EAC=EFAF列出方程求得结果；作PK∥BC，交AE于K，△PKQ∽△BEQ，根据比例性质得出当BPPQ最小时，PK最大，可得点P在以G为圆心，2为半径的圆上，作P′W∥AE，切⊙G于P′，交AD的延长线于W，从而当点P运动到P′时，BPPQ最小，解直角三角形GWP′，进而解Rt△WTP′，进一步求得结果．
【详解】解：①如图1，作EF⊥AC于F，

在正方形ABCD中，BC=AB=4，AC=42+42=42，
设CE=2x，BE=4−2x，
在Rt△CEF中，由∠ECF=45°可得，EF=CF=CE⋅tan∠ECF=2x⋅tan45°=2x⋅22=2x，
∴AF=AC−CF=42−2x，
在Rt△AEF中，
∵tan∠EAC=EFAF=13，
∴2x42−2x=13，
∴x=1，
∴CE=2x=2，BE=4−2x=2．
②如下图，作PK∥BC，与AE交于点K．则∠KPQ=∠BEQ,∠KPQ=∠EBQ，

∴△PKQ∽△BEQ，
∴BQPQ=BEPK，
∴BQ+PQPQ=BE+PKPK，
∴BPPQ=2PK+1，
∴当BPPQ最小时，
∵由G是AD中点知，PG=DG=2，
∴点P在以G为圆心，2为半径的圆上，
作P′W∥AE，切⊙G于P′，
∴当点P运动到P′时，BPPQ最小，
作P′T⊥AD于T，连接GP′，
∴GP′⊥P′W，
∴∠AWP′+∠WGP′=90°，
∵∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠WGP′=∠BAE，
在Rt△GWP′中，
WP'=GP'·tan∠WGP'=2⋅tan∠BAE=2×BEAB=2×12=1，
在Rt△P′WT中，WP′=1，
P'T=WP'·sin∠AWP'=1⋅sin∠AEB=ABAE=ABAB2+BE2=442+22=425=255，
∴S△PAD=S△′AD=12×AD×P′T=12×4×255=455．
故答案为：2；455．
【点睛】本题属于四边形的综合题，难度大，考查了正方形性质，解直角三角形，确定圆的条件，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
三、解答题
26．（2023上·上海浦东新·九年级校联考期中）求值2sin30∘+10cs60∘−4tan45∘：
【答案】2.
【分析】先将三角函数值代入，再根据混合运算顺序依此计算可得.
【详解】原式＝2×12+10×12−4×1
=2
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握各特殊角的三角函数值.
27．（2024上·安徽池州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinB=45．
(1)求BC的长；
(2)求csA的值．
【答案】(1)12
(2)725
【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，三角函数值相等，引出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）作AD⊥BC，根据sin∠ABD=ADAB求出AD，再根据勾股定理求出BD，利用等腰三角形的三线合一的性质得到BC；
（2）作BH⊥AC，根据S△ABC=12AC⋅BH=12CB⋅AD，得出BH，根据勾股定理得AH，即可得出cs∠BAC；
【详解】（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=10，
∴BC=2BD，
在Rt△ABD中，
∵sin∠ABD=ADAB，
∴AD=AB×sin∠ABD=10×45=8，
∴BD=AB2−AD2=102−82=6，
则BC=2BD=12．
（2）如图，过点B作BH⊥AC于H，
∵S△ABC=12AC⋅BH=12CB⋅AD，
∴BH=CB⋅ADAC=12×810=485，
∴AH=AB2−BH2=102−(485)2=145，
∴cs∠BAC=AHAB=14510=725
28．（2023·山西·校联考一模）如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,2)，B(−3,−2)，C(−2,−4)．

（1）将△ABC向右平移4个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2；
（3）连接OA2，求sin∠OA2C2的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）22
【分析】(1)将A、B、C三点分别向右平移4个单位即可得到的△A1B1C1；
(2)利用关于x轴的点的坐标特征描出A2、B2、C2的坐标，然后顺次连接即可；
(3)利用勾股定理的逆定理证得ΔOA2C2是等腰直角三角形，即可解决问题．
【详解】(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△A2B2C2为所作；

(3)连接OC2，

OC2=22+42=25，
OA2=22+42=25，
A2C2=22+62=210，
∵252+252=2102，
∴OC22+OA22=A2C22，且OC2=OA2，
∴△OA2C2是等腰直角三角形，且∠C2OA2=90°，
∴∠OA2C2=45°，
∴sin∠OA2C2=sin45°=22．
【点睛】本题主要考查了平移变换以及轴对称变换，勾股定理的逆定理，锐角三角函数等知识，正确得出对应点位置是解题关键．
29．（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB=15°，∠BAC=45°，
(1)求∠ACD的度数；
(2)若BC=6，求AD的长．
【答案】(1)75°
(2)3+33
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决这类问题要找准旋转角以及旋转后的对应角．
（1）由旋转的性质可得CA=CE，△CAB≌△CED，再由等腰三角形的性质可得∠CAE=∠E=45°，再利用三角形的内角和及外角的性质可得答案．
（2）过点C作CH⊥AE于H点，在Rt△DHC中，求得sin∠ADC=CHCD=32，再求得CH=33，DH=3，再在在Rt△ACH中求得CH=AH=33，最后求得结果．
【详解】（1）由旋转知：CA=CE，△CAB≌△CED，
∴CD=CB，∠E=∠BAC=45°，∠DCE=∠BCA=15°，
∴∠CAE=∠E=45°，
∴∠ACE=180°−∠CAE−∠E=180°−45°−45°=90°，
∴∠ACD=∠ACE−∠DCE=90°−15°=75°；
（2）过点C作CH⊥AE于H点，
由（1）得：CD=CB=6，∠CAE=45°，
∵∠E=45°，∠DCE=15°，
∴∠ADC=∠E+∠DCE=15°+45°=60°，
在Rt△DHC中，∠ADC=60°，CD=6，
sin∠ADC=CHCD=32，
∴CH=32CD=32×6=33，DH=CD2−CH2=62−332=3．
在Rt△ACH中∠CAD=45°，tan∠CAD=CHAH=1，
∴CH=AH=33，
∴AD=AH+DH=3+33．
30．（2024上·北京平谷·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=135°，AB=22，sin∠C=25，求BC的长．
【答案】BC=21−2
【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，过点A作AD⊥BC交底CB延长线于点D，由∠ABC=135°，得∠ABD=45°，易得AD=BD=2，根据sin∠C=25=ADAC，求出AC，即可求出BC的长．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC交底CB延长线于点D，
∵ ∠ABC=135°，
∴ ∠ABD=180°−∠ABC=45°，
∴ AD=BD，
∵ AD⊥BC，AB=22
∴∠ADB=90°，
∴ AD2+BD2=2AD2=AB=22，
∴ AD=BD=2，
∵ sin∠C=25=ADAC，
∴ AC=5，
∴CD=AC2−AD2=21
∴ BC=CD−BD=21−2．
31．（2022·重庆·西南大学附中校考三模）北京冬奥会的成功举办，点燃了小明和小代的健身热情，两人立即制定好计划积极投入到健身中，如图，小明家住在A地，小代家住在B地，健身馆在C地，在A处测得健身馆C在A的北偏东15°方向上，在B处测得健身馆C在B的北偏西45°方向上，B在A的北偏东60°方向上．某天小明和小代分别从自己家出发到C地健身，他们约定先在AC上的D处汇合，小明沿着AC方慢跑，小代沿着正西方向以180m/min的速度跑了5分钟到D．（参考数据：3≈1.73，2≈1.41，6≈2.45）
(1)求小明家A到小代家B的距离；（结果精确到0.1m）
(2)他们在D处汇合的时间恰好为13：57，若他们要在预定的14：00到达健身馆C，请问他们汇合之后的速度至少应为多少？
【答案】(1)小明家A到小代家B的距离约为1229.4m；
(2)他们汇合之后的速度至少应为245m/min．
【分析】（1）过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得∠DAE=45°，∠DBA=30°，BD=180×5=900（m），然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据题意可得∠C=60°，∠DBF=45°，BD=180×5=900（m），利用锐角三角函数可得CD，设他们汇合之后的速度为v m/min，进而列式3v=3006，进而即可解决问题．
【详解】（1）如图，过点D作DE⊥AB于点E，
根据题意可知：∠DAE=45°，∠DBA=30°，BD=180×5=900（m），
∴DE=AE=12BD=450m，
∴BE=3DE=4503m，
∴AB=AE+BE=450+4503=450（3+1）≈1229.4（m）．
∴小明家A到小代家B的距离约为1229.4m；
（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，
根据题意可知：∠C=60°，∠DBF=45°，BD=900m，
∴DF=BD×sin45°=900×22=4502（m），
∴CD=CD=DFsin60°=450232=3006（m），
设他们汇合之后的速度为v m/min，
∴CD=（14：00-13：57）v=3v（m），
∴3v=3006，
∴v=1006≈245（m/min），
∴他们汇合之后的速度至少应为245m/min．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
32．（2023·湖南邵阳·统考一模）某县城为加快5G网络信号覆盖，在高度BC为90米的小山顶上架设了信号发射塔，如图所示．小茜为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端D点的仰角是45°，测得发射塔底部C点的仰角是30°．请你帮小茜计算出信号发射塔DC的高度．（结果精确到0.1米，3≈1.732）
【答案】信号发射塔DC的高度为65.9米．
【分析】有题意得∠DAB=45°，∠CAB=30°，DB⊥AB，BC=90，然后在Rt△ABC与Rt△ABD中解直角三角形即可．
【详解】解：由题意得：∠DAB=45°，∠CAB=30°，DB⊥AB，BC=90
∴在Rt△ABC与Rt△ABD中
AB=BCtan∠CAB=9033=903，∠DAB=∠ADB=45°，
∴BD=AB=903
∴DC=DB−BC=903−90≈65.9
即信号发射塔DC的高度为65.9米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意找到所需的直角三角形并灵活应用三角函数成为解答本题的关键．
33．（2023·江苏苏州·统考二模）计算：2cs60°﹣（﹣3）﹣3+（π﹣3）0﹣|﹣2|．
【答案】127
【详解】试题分析：直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案．
试题解析：
解：原式＝2×12＋127＋1﹣2
＝127．
点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
34．（2023·江西·校联考模拟预测）如图1，一扇门ABCD，宽度AB＝1m，A到墙角E的距离AE＝0.5m，设E，A，B在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡（EA⊥EB′），边BC靠在墙B'C'的位置．

（1）求∠BAB'的度数；
（2）打开门后，门角上的点B在地面扫过的痕迹为弧BB'，设弧BB'与两墙角线围成区域（如图2）的面积为S（m2），求S的值（π≈3.14，3≈1.73，精确到0.1）．
【答案】（1）120°；（2）1.3m2
【分析】（1）连接AB′，在RtΔEAB′，利用cs∠EAB′=AEAB′=12求出∠EAB′进而求出∠BAB'的度数即可；
（2）根据S=SΔEAB′+S扇形ABB′计算即可．
【详解】解：（1）如图，连接AB′，

∵EA⊥EB′，
∴∠AEB′＝90°，
∵AB＝AB′＝1m，AE＝0.5m，
∴B′E=12−0·52=0.53m，
∵cs∠EAB′=AEAB′=12，
∴∠EAB′＝60°，
∴∠BAB′＝120°．
（2）S＝S△EAB′+S扇形ABB′
=12×12×32+120·π·12360
=38+π3
≈1.3m2．
【点睛】本题考查解直角三角形、扇形的面积公式等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
35．（2022·广东东莞·石龙三中校考三模）如图，AB为⊙O的直径CE与⊙O相切于点D，与BA的延长线交于点E，EF⊥CO交CO延长线于点F，连接OD，CB，已知CB=3,EB=4,∠FEB=∠FCB．
(1)求证：CB是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径；
(3)连接BF，求sin∠FBE．
【答案】(1)证明见详解；
(2)32；
(3)55．
【分析】（1）根据三角形内角和定理及切线的判定方法可得结论；
（2）利用切线的性质及勾股定理可得答案；
（3）延长CB，EF交于点P，利用全等三角形的判定与性质可得EF=PF，再根据直角三角形的性质、勾股定理及解直角三角形可得答案．
【详解】（1）证明：在△OEF和△OBC中，
∠FEB=∠FCB，∠EOF=∠BOC，
∴∠EFO=∠OBC=90°，
∴OB⊥BC，
∵OB是半径，
∴CB是⊙O的切线；
（2）∵∠CBE=90°，BC=3，BE=4，
∴CE=42+32=5，
∵CD，CB是⊙O的切线，
∴CD=CB=3，
∴DE=2，
设⊙O的半径为x，
∴OD=OB=x，
∴OE=4-x，
在Rt△ODE中，x2+22=(4−x)2 ，
∴x=32，即⊙O的半径为32；
（3）如图，延长CB，EF交于点P，
∵CD，CB是⊙O的切线，
∴∠ECF=∠PCF，
∵CF⊥PE，
∴∠CFE=∠CFP=90°，
在△CFE和△CFP中，
∠ECF=∠PCFCF=CF∠CFE=∠CFP=90°
∴△CFE≌△CFP（SAS），
∴EF=PF，
∵∠EBP=90°，
∴EF=PF=BF，
∴∠FPB=∠FBP，
∵∠P+∠FCP=90°，∠FBP+∠FBE=90°，
∴∠FBE=∠FCP，
∴∠FBE=∠OCB，
∵OB=32，BC=3，
∴OC=32+322=352
∴sin∠OCB=OBOC=32352=55 ，
∴sin∠FBE=55．
【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形、垂径定理及勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．
【能力提升】
36．（2023上·湖南娄底·九年级统考期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的体现，在计算tan15°时，如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°,∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以tan15°=ACCD=12+3=2−32+32−3=2−3．类比这种方法，

(1)类比这种方法，求得tan22.5°=______；
(2)如图2，锐角∠ABC=α，已知tanα=m，求证：tanα2=m2+1−1m．
【答案】(1)2−1
(2)见解析
【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．
（1）作Rt△ABC，使∠C=90°,∠ABC=45°，延长CB到D，使BD=AB，连接AD，设AC=x，则BC=x，AB=2x，求出CD=1+2x，即可求解；
（2）延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=α2，设BC=1，由tanα=m得到AC=m，AB=m2+1，CD=m2+1+1，根据正切的定义代入化简即可证明．
【详解】（1）解：作Rt△ABC，使∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB到D，使BD=AB，连接AD，

设AC=x，则BC=x，AB=2x，CD=1+2x，
tan22.5°=tan∠D=ACCD=x1+2x=2−1，
故答案为：2−1；
（2）证明：延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=α2，

设BC=1，
∵tanα=m，
∴AC=m，AB=m2+1，
∴CD=m2+1+1
∴tanα2=mm2+1+1=mm2+1−1m2+1+1m2+1−1=m2+1−1m．
37．（2023下·福建龙岩·九年级校考期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边腰=BCAB．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：

(1)sad90°=________．
(2)对于0°