2025年中考数学专项复习讲义专题11 锐角三角函数(3大模块知识梳理+9个考点+4个重难点+2个易错点)(解析版)

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知识模块一：锐角三角函数
知识点一： 正弦，余弦，正切
正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做
∠A的正弦，记作sin A，即；
余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做
∠A的余弦，记作cs A，即；
正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，则
【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
3）表示，可以写成，不能写成(正弦、余弦相同).
知识点二： 锐角三角函数
锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）
取值范围：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论：，，.
增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cs A随∠A的增大而减小.
【补充】利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小.
知识点三： 特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示：
知识点四： 锐角三角函数的关系
在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：
1）同角三角函数的关系：
① 平方关系：sin2A+cs2A=1；
② 商数关系：tanA=sinAcsA .
2) 互余两角的三角函数关系：
① 互余关系：
sin A = cs(90°-∠A) = cs B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.
sin B = sin(90°-∠A) = cs A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
② 倒数关系：tanA•tanB=1
知识模块二：解直角三角形
知识点一： 解直角三角形
定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B.
2）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）.
3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.
4）边角之间的关系：sin A = ac ，sin B = bc ，cs A= bc，cs B =ac，tan A = ab，tan B =ba.
【补充】三角函数是连接边与角的桥梁.
5）面积公式（h为斜边上的高）.
知识点二： 解直角三角形的常见类型
【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定.
【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).
【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对(邻)用正切.
知识模块三：解直角三角形的应用
知识点一：仰角、俯角
视角：视线与水平线的夹角叫做视角．
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的.
知识点二：坡度、坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=hl.
坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角.
【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是i=hl，坡角越大，坡度越大.
知识点三：方位角、方向角
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
知识点四：解直角三角形实际应用的一般步骤
①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.
③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等.
考点一： 理解锐角三角函数的概念
1．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC=α，下列关系式正确的是（ ）
A．sinα=ABBCB．sinα=BCABC．sinα=ABACD．sinα=ACAB
【答案】D
【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．
【详解】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴sinα=ACAB，
故选：D．
【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．
2．（2024·天津红桥·一模）如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，D为边AB上一点，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则下列结论中正确的是（ ）
A．sinA=BCABB．csA=AEADC．tanA=BCADD．tanA=ABBC
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断．
【详解】解：∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠ABC=90°，
A、sinA=BCAC，故A不符合题意；
B、结论正确，故B符合题意；
C、tanA=CBAB，故C不符合题意；
D、tanA=BCAB，故D不符合题意．
故选：B．
3．（2024广州市模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．扩大2倍B．不变C．缩小12D．扩大12
【答案】B
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的性质可知锐角A的度数不变，所以锐角A对应的三角函数值就不变．
【详解】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就不变．
故选：B．
考点二： 求角的三角函数值
1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，DB平分∠ADC．若AD=1，CD=3，则sin∠ABD= ．
【答案】66
【分析】过点D作BC的垂线交于E，证明出四边形ABED为矩形，△BCD为等腰三角形，由勾股定理算出DE=5，BD=6，即可求解．
【详解】解：过点D作BC的垂线交于E，
∴∠DEB=90°
∵∠A=∠ABC=90°，
∴四边形ABED为矩形，
∴DE//AB,AD=BE=1，
∴∠ABD=∠BDE，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∵AD//BE，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠CDB=∠CBD
∴CD=CB=3，
∵AD=BE=1，
∴CE=2，
∴DE=DC2−CE2=9−4=5，
∴BD=DE2+BE2=5+1=6
∴sin∠BDE=BEBD=16=66，
∴sin∠ABD=66，
故答案为：66．
【点睛】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解．
2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F，若AB=6，BC=8，则cs∠ABF的值是 ．
【答案】2425
【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证BF=DF，再利用Rt△ABF求出边长，从而求解即可．
【详解】解：∵折叠，
∴∠DBC=∠DBF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=8，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠DBF=∠ADB，
∴BF=DF，
∴AF=AD−DF=8−BF，
在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，
∴62+(8−BF)2=BF2，
解得BF=254，
∴cs∠ABF=ABBF=2425，
故答案为：2425．
3．（2024·江西·中考真题）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan∠CAB= ．
【答案】12/0.5
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图1，设等腰直角△MNQ的直角边为a，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图1，设等腰直角△MNQ的直角边为a，则MQ=2a，小正方形的边长为a，
∴MP=2a，
∴EM=2a2+2a2=22a，
∴MT=EM=22a，
∴QT=22a−2a=2a，
如图2，过点C作CH⊥AB的延长线于点H，则CH=BD，BH=CD，
由图（1）可得，AB=BD=22a，CD=2a+2a=22a，
∴CH=22a，BH=22a，
∴AH=22a+22a=42a，
∴tan∠CAB=CHAH=22a42a=12，
故答案为：12．
考点三： 由三角函数求边长
1．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，若BC=10．sin∠AFB=45，则DE= ．

【答案】5
【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得AD=AF=10，EF=ED，可得AB=AF⋅sin∠AFB=10×45=8，BF=AF2−AB2=6，设DE=x，则CE=CD−DE=8−x，利用勾股定理可得EF2=CF2+CE2，进而可得结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC=10，
根据折叠可知，可知AD=AF=10，EF=ED，
则，在Rt△ABF中，AB=AF⋅sin∠AFB=10×45=8，则CD=8，
∴BF=AF2−AB2=6，则CF=BC−BF=4，
设DE=x，则CE=CD−DE=8−x，
在Rt△CEF中，EF2=CF2+CE2，即：x2=8−x2+42，
解得：x=5，
即：DE=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键．
2．（2024·山东青岛·中考真题）如图，△ABC中，BA=BC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N．若ON=10，cs∠ABC=35，则半径OC的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明∠EON=∠ABC，根据等边对等角推出∠A=∠OEC，则可证明AB∥OE得到∠EON=∠ABC，再由切线的性质得到∠OEN=90°，则解Rt△EON求出OE的长即可．
【详解】解：如图所示，连接OE，
∵OE=OC，BA=BC，
∴∠A=∠BCA，∠OCE=∠OEC，
∴∠A=∠OEC，
∴AB∥OE，
∴∠EON=∠ABC，
∵MN是⊙O的切线，
∴∠OEN=90°，
∴在Rt△EON中，cs∠EON=cs∠ABC=OEON=35，
∴OE=35ON=6，
∴半径OC的长为6，
故答案为：6．
3．（2023·山东·中考真题）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE=30°，tan∠EAC=13，则BD= ．

【答案】3−3
【分析】过点A作AH⊥BC于H，根据等边三角形的性质可得∠BAC=60°，再由AH⊥BC，可得∠BAD+∠DAH=30°，再根据∠BAD+∠EAC=30°，可得∠DAH=∠EAC，从而可得tan∠DAH=tan∠EAC=13，利用锐角三角函数求得AH=AB⋅sin60°=33，再由DHAH=DH33=13，求得DH=3，即可求得结果．
【详解】解：过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=6，∠BAC=60°，
∵AH⊥BC，
∴∠BAH=12∠BAC=30°，
∴∠BAD+∠DAH=30°，
∵∠DAE=30°，
∴∠BAD+∠EAC=30°，
∴∠DAH=∠EAC，
∴tan∠DAH=tan∠EAC=13，
∵BH=12AB=3，
∵ AH=AB⋅sin60°=6×32=33，
∴DHAH=DH33=13，
∴DH=3，
∴BD=BH−DH=3−3，
故答案为：3−3．

【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明∠DAH=∠EAC是解题的关键．
考点四： 由特殊角的三角函数值求解
1．（2024·山东青岛·中考真题）计算：18+13−1−2sin45°= ．
【答案】22+3/3+22
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．
【详解】解：18+13−1−2sin45°
=32+3−2×22
=32+3−2
=22+3，
故答案为：22+3．
2．（2023·山东·中考真题）计算：|3−2|+2sin60°−20230= ．
【答案】1
【分析】根据先计算绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再进行加减计算即可．
【详解】解：3−2+2sin60°−20230
=2−3+2×32−1
=1
故答案为：1．
【点睛】本题考查了实数的运算，掌握绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键．
3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算；sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ，sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ．例如：当α=45°，β=30°时，sin45°+30°= 22×32+22×12=6+24，则sin15°的值为 ．
【答案】6−24
【分析】根据sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ代入进行计算即可．
【详解】解：sin15°=sin(45°−30°)
=sin45°cs30°−cs45°sin30°
=22×32−22×12
=64−24
=6−24．
故答案为：6−24．
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
考点五： 在平面直角坐标系中求锐角三角函数值
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y=34x上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 ．
【答案】154
【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出OA，当点C在x轴上移动时，作AB与AB'关于AC对称，且AB'交x轴于点D，由对称性质可知，AB'=AB，∠BAC'=∠DAC'，当AB'⊥x 轴于点D时，AB=AB'=AD+B'D最短，记此时点C所在位置为C'，作C'E⊥AB于点E，有DC'=EC'，设DC'=EC'=m，则OC'=OD−DC'=4−m，利用锐角三角函数sin∠AOD=EC'OC'=ADOA=35建立等式求出m，证明△C'DB'∽△ADC'，再利用相似三角形性质求出B'D，最后根据AB=AB'=AD+B'D求解，即可解题．
【详解】解：∵点A在直线y=34x上，且点A的横坐标为4，
∴点A的坐标为4,3，
∴OA=5，
当点C在x轴上移动时，作AB与AB'关于AC对称，且AB'交x轴于点D，
由对称性质可知，AB'=AB，
当AB'⊥x 轴于点D时，AB=AB'=AD+B'D最短，记此时点C所在位置为C'，
由对称性质可知，∠BAC'=∠DAC'，
作C'E⊥AB于点E，有DC'=EC'，
设DC'=EC'=m，则OC'=OD−DC'=4−m，
∴sin∠AOD=EC'OC'=ADOA=35，
∴ m4−m=35，
解得m=32，
经检验m=32是方程的解，
∵∠AC'D+∠DC'B'=90°，∠DAC'+∠AC'D=90°，
∴∠DC'B'=∠DAC'，
∵∠C'DB'=∠ADC'=90°，
∴ △C'DB'∽△ADC'，
∴B'DDC'=DC'AD，
∴B'D32=323，
解得B'D=34，
∴ AB=AB'=3+34=154．
故答案为：154．
【点睛】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况．
2．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=x2+2x+c（c是常数）经过点−2,−2．点A、B是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m、−m，点C的横坐标为−5m，点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，连结AB、AC．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求证：当m取不为零的任意实数时，tan∠CAB的值始终为2；
(3)作AC的垂直平分线交直线AB于点D，以AD为边、AC为对角线作菱形ADCE，连结DE．
①当DE与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE的面积；
②当此抛物线在菱形ADCE内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)y=x2+2x−2
(2)见详解
(3)①S菱形ADCE=9；②m≤−3或−1≤m