2025年中考数学专项复习讲义专题02 整式、分式、根式（解析版）

这是一份2025年中考数学专项复习讲义专题02 整式、分式、根式（解析版），共45页。学案主要包含了阅读理解，类比探究等内容，欢迎下载使用。
题型01 整式的运算
题型02 因式分解
题型03 分式的概念
题型04 分式的计算
题型05 根式概念与性质
题型06 根式的运算
题型07 规律探究
题型01
整式的运算
1．（2025·宁夏银川·一模）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根，合并同类项，同底数幂的乘法以及积的乘方运算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据以上运算法则进行计算，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
2．（2025·广东湛江·一模）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查幂的运算，根据合并同类项法则、积的乘方法则、同底数幂乘除法则逐项判断即可．
【详解】解∶A．，故原计算错误，不符合题意；
B．，故原计算错误，不符合题意；
C．，故原计算错误，不符合题意；
D． ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
3．（2025·湖南娄底·一模）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，单项式的乘法，根据以上运算法则逐项分析即可．
【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
4．（2025·辽宁·一模）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方法则、合并同类项法则、平方差公式、完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解∶ A．，故原计算错误；
B．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误；
C．，故原计算正确；
D．，原计算错误；
故选：C．
5．（2025·甘肃白银·一模）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，正方形和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为、，斜边为，
∵图中大正方形是由四个全等的直角三角形拼成且大正方形的面积为，
∴，
∵小正方形的面积为，
∴，
∴，
∵将这四个直角三角形拼成图，
∴图2中最大的正方形的面积为：．
故选：A．
6．（2025·广东深圳·模拟预测）计算的结果等于 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了积的乘方，正确掌握运算法则是解题关键．
直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
7．（2025·福建泉州·一模）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是平方差公式，解题关键是熟练掌握平方差公式．
根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
8．（2025·河北邯郸·一模）如图
(1)求整式；
(2)若，求当时整式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减法的运算法则是解答关键．
（1）根据题意列式计算求解；
（2） 根据题意先列式求出的代数式，再将代入求解．
【详解】（1）解：根据题意可知
．
（2）解：当时，
解得，
．
当时，
．
9．（2025·河北石家庄·一模）已知整式．
(1)若，求整式；
(2)对任意实数，判断整式的值能为负数吗？说明理由．
【答案】(1)；
(2)整式不能为负数．理由见解析．
【分析】本题主要考查了整式的混合运算、公式法分解因式，解决本题的关键是根据平方的非负性判断整式的取值范围．
把整式，，代入，根据整式的加法法则进行计算即可；
利用公式法分解因式可得：，根据平方的非负性可得：，从而可得整式的值不能为负数．
【详解】（1）解：整式，，
；
（2）解：整式不能为负数，
理由如下：
，
不论为何值，，
，
即该化简结果不能为负数．
10．（2025·河北石家庄·一模）规定：若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式是“如意式”．例如：．
验证：是“如意式”；
证明：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，利用平方差公式解答即可．
【详解】解：验证：∵．
∴能被8整除，
∴是；
证明：设任意两个连续奇数为和（是整数），
是整数，
是8的倍数．
任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”．
11．（2025·安徽芜湖·一模）问题提出：请观察下列关于正整数的平方拆分等式：
①；
②；
③；
④．
(1)请用上面的拆分方法拆分；
(2)用含有字母n（n是正整数）的等式表示这一规律，并借助运算证明这个结论是正确的；
(3)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图：这个图形的面积可以表示成：或，∴，这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：请你用图形的几何意义证明（2）中等式结论的正确性．（画出图形并标出相关数据）
【答案】(1)
(2)．理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了数字规律，完全平方公式与几何图形结合，正确理解题意，熟练计算是解题的关键．
（1）根据题意即可解答；
（2）根据规律写出式子，再计算等式左右两边，比较即可；
（3）根据题意画出图形即可．
【详解】（1）解：依据题中等式的规律可得：①；②；③；
④．则；
（2）解：依据题中等式的规律可得：①；②；③；
④．
则第个式子为，
理由：∵右边，左边，
∴左边右边，
∴成立；
（3）解：如图，满足要求.
，
大正方形面积为等于小正方形的面积加两个矩形面积，
即.
12．（2025·江苏连云港·一模）先化简，再求值：，其中， ．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．先根据完全平方公式，平方差公式，以及整式的混合运算法则进行化简，然后把x、y的值代入化简后的式子进行计算，即可解题．
【详解】解：
，
当， 时，原式．
13．（2025·河南开封·一模）（1）计算：
（2）化简；．
【答案】（1）（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.
（1）先乘方，求立方根，再利用特殊角的三角函数值计算即可；
（2）先进行括号内计算，再计算除法即可.
【详解】解：（1）
；
（2）
.
14．（2025·广西南宁·一模）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【分析】本题考查了有理数计算，整式的化简求值，解题的关键是能正确根据有理数计算顺序和法则，完全平方公式，单项式乘多项式的运算法则．
（1）先算乘除法，再处加法；
（2）先运用完全平方公式，单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，然后将x值代入计算，求出答案即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
当时，原式．
15．（2025·广东深圳·一模）【阅读理解】已知，求的值．
解：由已知可得，则，
．①
，②
．
（1）第②步运用了______公式；（A．平方差 B．完全平方）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值．
【答案】（1）B；（2）
【分析】本题考查了完全平方公式在分式中的应用，注意计算的准确性即可．（1）根据解题步骤即可求解；（2）由题意得，推出，根据即可求解；
【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式，
故答案为：B
（2）由已知可得，则，
∴，即，
∵，
∴
16．（2025·甘肃兰州·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是关键．
运用整式的混合运算法则计算，再代入计算即可．
【详解】解：


，
当时， 原式．
17．（2025·河北·一模）如图，大正方形A的边长为a，小正方形B的边长为b，两个正方形重叠部分（阴影部分）的面积为m．
(1)用含b，m的代数式表示正方形B中空白部分的面积：______．
(2)若，，设正方形A中空白部分的面积为，正方形B中空白部分的面积为，求的值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】本题考查了平方差公式的几何应用．
（1）利用正方形B的面积减去m即可求解；
（2）分别求得，；求得，利用平方差公式分解，再整体代入数据求解即可．
【详解】（1）解：正方形B中空白部分的面积为：；
故答案为：；
（2）解：正方形B中空白部分的面积为：；
正方形A中空白部分的面积为：；
∴
，
∵，，
∴．
18．（2025·浙江·一模）《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想.如图①，借助四边形的面积说明了等式成立．
(1)观察图②，③，找出可以推出的等式：
等式A：；
等式B：；
可知，图②对应等式_____；图③对应等式_____．
(2)如图④，中，，，于点，是边上一点，作于点于点，过作的平行线交直线于点．分别记，，，的面积为．求的值．
【答案】(1)B，A
(2)
【分析】本题考查了乘法公式在几何图形中的应用，分式的化简，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断；
（2）由题意可得，，，均为等腰直角三角形，设，则，用代数式分别表示，再代入化简即可．
【详解】（1）解：图②中大正方形的面积为，也可以表示为两个正方形和两个长方形的面积和，则为，
∴，
∴图②对应等式B；
图③中实线部分的两个长方形的面积和可以表示为大正方形面积减去小正方形面积即为，当把右下角的小长方形移至大长方形左边，则两个长方形的面积和可以表示为，
∴得到，
∴图③对应等式A；
故答案为：B，A；
（2）解：由题意可得，，，，均为等腰直角三角形，
设，如图：
则，
∴，
∴．
19．（2025·湖北·一模）教材内容一
七年级下《不等式与不等式组》中的“阅读与思考”——用求差法比较大小．
两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a，b比较大小，那么
当时，一定有；
当时，一定有；
当时，一定有；
反过来也对，即
当时，一定有；
当时，一定有；
当时，一定有．
教材内容二
八年级上《整式的乘法与因式分解》中的“完全平方式”节选
你能根据图2和图3中图形的面积说明完全平方公式吗？
阅读以上材料完成下列任务：
问题探究
对于图2我们进一步的探讨．
（1）______；______；
（2）比较与的大小，并说明理由：
拓展运用
（3）应用以上结果，求的最小值．
【答案】（1）能，（2）（3）2
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，分式的求值：
（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上2个长方形的面积，得到完全平方公式，直接利用面积公式求出即可；
（2）作差法比较与的大小即可；
（3）利用（2）的结论，利用，即可得出结果．
【详解】解：（1）能，图2：大正方形的面积；
图3：，
∴；
由图可知：；
（2）由（1）知：，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴的最小值为2．
题型02
因式分解
1．（2025·湖南衡阳·一模）下列各式在实数范围内因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握公式法和提公因式法进行因式分解．
利用公式法或提公因式法进行因式分解逐项判断即可．
【详解】解：A. ，该选项正确，故符合题意；
B. ，该选项错误，故不符合题意；
C. ，该选项错误，故不符合题意；
D. ，该选项错误，故不符合题意；
故选：A．
2．（2025·重庆·一模）对多项式因式分解的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了提取公因式，公式法因式分解，掌握因式分解的方法是关键．
先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
故选：B ．
3．（2025·吉林长春·一模）分解因式： ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
4．（2025·甘肃·一模）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
先提取公因式，然后再用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
5．（2025·四川成都·一模）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握提公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．
提公因式x，而后运用平方差公式分解．
【详解】解：．
故答案为：．
6．（2025·广东汕头·一模）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式分解因式即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
7．（2025·四川南充·一模）若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求整式的值，因式分解；利用平方差公式进行因式分解，代入计算即可求解；能利用因式分解进行整体代入简化运算是解题的关键．
【详解】解：
；
故答案为：．
8．（2025·山东潍坊·一模）因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】解：
．
故答案为：．
9．（2025·广东梅州·一模）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．（2023·山东淄博·一模）分解因式： ．
【答案】
【分析】原式提取公因式，再利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了因式分解一提公因式法，十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．（2025·河北邯郸·一模）如下是佳佳作业中的两个问题的解答过程，老师的批改结果是“两个问题都有错误”：
(1)指出两个问题的解题过程中的所有错误；（写步骤序号）
(2)任选一个题目，写出正确的解题过程．
【答案】(1)第一题的错误是步骤②和⑤，第二题的错误是步骤④
(2)见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式、因式分解，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤以及因式分解是解答的关键．
（1）根据去括号法则和不等式的性质，以及因式分解的结果要求逐步检查即可；
（2）若选第一题，根据一元一次不等式的解法步骤正确求解即可；若选第二题，根据因式分解的方法步骤正确求解即可．
【详解】（1）解：∵第一题中由①到②去括号时忘记乘以3了，④到⑤没有变号导致错误，
∴第一题的错误是步骤②和⑤，
∵第二题中到③时已经分解因式完成，再进行④就是又一轮乘法公式了，
∴第二题的错误是步骤④；
（2）解：第一题：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
第二题：，
解：原式
．
题型03
分式的概念
1．（2025·山东泰安·一模）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式有无意义，及分式的值为0，
根据分式的分子等于0时，分式的值为0，可得分式的分子，再根据分式的分母等于0时，分式无意义得出分母即可.
【详解】解：当时，，可知分式的分子中含有因式；
当时，分式无意义，可知分式的分母中含有因式，
所以y代表的分式可能是.
故选：B.
2．（2025·安徽宣城·一模）下列化简运算不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质，逐一分析各选项，即可得到答案．
【详解】解：，故项计算正确，不符合题意；
，故B项计算错误，符合题意；
故项计算正确，不符合题意；
，故项计算正确，不符合题意；
故选：B
3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）若函数有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查求自变量的取值范围及分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为0是解题的关键．
根据分式有意义的条件可得，即可求解．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
4．（2025·江苏南京·一模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式及分式有意义的条件，根据二次根式中被开方数大于等于0，分母不为0即可求解．
【详解】解：式子在实数范围内有意义，
，
，
故答案为： ．
5．（2025·江苏盐城·一模）在函数中，自变量x的取值范围是 ；在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的求解，涉及分式有意义的条件，二次根式被开方数非负性质，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键．
第一个函数中，分母不能为0，因此，即可求出x的范围．
第二个函数中，被开方数不能为负数，因此，可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：
解得；
解得：，
故答案为：；．
6．（2025·安徽滁州·一模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、不等式的性质，熟练掌握二次根式、分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式、分式有意义的条件即可解答．
【详解】解：代数式有意义，
且，
解得：且，
实数的取值范围是且．
故答案为：且．
7．（2025·安徽宣城·一模）若分式的值为0，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件；一元二次方程的解法，根据分式的值为0，则分母不为0，分子为0进行计算即可．
【详解】解：∵的值为0，
，
解得，
∴x的值为，
故答案为：
8．（2025·广西贵港·一模）若分式的值为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．分式的值为即分子为且分母不为，由此计算即可．
【详解】解：若分式的值为，
则，且，
解得：，
故答案为：．
题型04
分式的计算
1．（2025·天津西青·一模）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
根据分式的加减法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选：C．
2．（2025·河北邯郸·一模）若为负整数，且，则的值都在图中数轴上的部分可能为（ ）
A．②B．③C．①加上②D．④加上⑤
【答案】B
【分析】本题考查分式化简求值，无理数大小估算等．根据题意先将分式除法进行化简计算，继而得到本题答案．
【详解】解：∵，
为负整数，且，，
，即，
，
故选：B．
3．（2025·宁夏银川·一模）先化简，再求值：，其中是满足的整数.
【答案】；
【分析】本题考查分式的运算求值；掌握分式的运算法则是解题的关键．根据分式运算法则将原式化为最简形式，将代入运算．
【详解】解：
∵是满足的整数.
∴
又∵
∴时，原式．
4．（2025·河南许昌·一模）（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）2；（2）
【分析】此题考查了实数的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用乘方、绝对值、算术平方根进行计算即可；
（2）先计算括号内分式的减法，再计算除法即可．
【详解】（1）
（2）原式
5．（2025·辽宁·一模）（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（）；（）．
【分析】本题考查了有理数的混合运算，分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（）根据绝对值的意义，乘法运算律，有理数的乘方运算法则求解，然后合并即可；
（）根据分式的混合运算法则求解即可．
【详解】解：（）
；
（）
．
6．（2025·重庆·一模）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式混合运算，完全平方公式、多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据完全平方公式、多项式乘多项式的法则进行展开，再合并同类项，即可作答．
（2）先通分括号内，再运算除法，然后化简，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
7．（2025·陕西咸阳·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】此题主要考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是熟知分式的运算法则．先计算括号内异分母减法，再计算除法，再代入x即可求解．
【详解】解：原式
．
当时，
原式．
8．（2025·江苏淮安·一模）先化简，再求值：，其中x满足方程．
【答案】；
【分析】先对，通过通分，约分分解因式，解二次方程后，验证解是否使原式有意义，再代入化简求值．
本题考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，同时需要结合分式有意义的条件进行取舍．
【详解】原式
；
方程的解为或，
当时，分母，分式无意义，舍去；
当时，．
9．（2025·福建泉州·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键；因此此题可先对分式进行化简，然后再代值求解即可．
【详解】解：原式＝
＝
＝；
当时，
原式．
10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求代数的值，其中：．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角三角函数值的混合计算，分母有理化，先把除法变成乘法，再利用乘法分配律去括号，然后通分化简，接着根据特殊角三角函数值求出a的值，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
当时，原式．
11．（2025·山东临沂·一模）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，请在，，1，2，3这五个数中选择一下你认为最合适的数代入求值．
【答案】（1）；（2），当时，原式等于．
【分析】本题考查实数混合运算，特殊角三角函数值，分式的化简求值，熟练掌握负整指数幂与零指数幂的运算法则和分式混合运算法则是解题的关键．
（1）先计算乘方和把特殊角三角函数值代入，再计算合并同类二次根式即可；
（2）先根据分式混合运算法则化简，再把符合题意的x值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
∵，
∴x取3．
当时，原式．
12．（2025·甘肃·一模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先利用分式的混合运算法则化简得到化简结果，再将，代入计算即可．
【详解】解：
，
，，
原式．
13．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握特殊角三角函数值．根据分式的运算顺序进行化简，再根据特殊角三角函数值求出a的值，代入即可．
【详解】解：原式，
，
，
∵，
∴原式．
题型05
根式概念与性质
1．（2025·广东江门·一模）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，根据二次根式以及分式有意义的条件列出关于x的不等式组求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知：，且，
解得：，
故选：A
2．（2025·广东珠海·一模）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了立方根、二次根式的性质、积的乘方、合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D
3．（2025·山东临沂·一模）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式可得的取值范围．
【详解】解：代数式在实数范围内有意义，
，
解得：．
故答案为： ．
4．（2025·湖北黄冈·一模）要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案为不唯一）
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是关键．根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围，写出一个符合题意的即可．
【详解】解：有意义，
解得，
即的值可以是5（答案为不唯一）．
故答案为：（答案为不唯一）．
5．（2025·宁夏吴忠·一模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ．
【答案】
【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，判断的符号，根据二次根数的性质，进行化简即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∴；
故答案为：．
6．（2025·广东江门·一模）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，根据化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
题型06
根式的运算
1．（2025·辽宁·一模）矩形相邻两边的长分别为，，设其面积为，则的值（ ）
A．在1和2之间B．在2和3之间
C．在3和4之间D．在4和5之间
【答案】C
【分析】本题考查了矩形，二次根式的乘法，无理数的估算等知识，先根据矩形面积公式和二次根式的乘法法则求出，然后根据“夹逼法”求解即可．
【详解】解∶∵矩形相邻两边的长分别为，，
∴其面积为，
∵，
∴，即，
∴的值在3和4之间，
故选∶C．
2．（2025·天津·一模）的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了特殊角三角函数值，二次根式的乘法，熟练掌握特殊角三角函数值是解题的关键．
先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式乘法法则求解，最后合并即可．
【详解】解：
，
故选：．
3．（2025·甘肃定西·一模）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做二次根式，据此可得答案．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选；A．
4．（2025·浙江嘉兴·一模）下列计算正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质和运算，根据二次根式的性质和运算法则逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
故选：．
5．（2025·天津河北·一模）的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了涉及特殊角的三角函数值的计算，二次根式的乘法计算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题的关键．分别代入特殊角的三角函数值，再计算即可．
【详解】解：
，
故选：A．
6．（2025·重庆·一模）估计的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间
C．3和4之间D．4和5之间
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，无理数的估算，不等式的基本性质等知识点，掌握无理数的估算和不等式的基本性质是解题的关键．
运用二次根式的运算对原式进行化简，利用无理数的估算确定取值范围，再利用不等式的基本性质进行确定化简式的取值范围即可．
【详解】解：，
，
，
，且，
，
，
．
故选：A．
7．（2025·河南焦作·一模）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的乘法，有理数的乘方，二次根式的性质，零指数幂，熟练掌握以上知识是解题的关键；根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
8．（2025·江苏扬州·一模）若 ，则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查了二次根式的分母有理化和无理数的估算．先利用分母有理化化简二次根式，再进行无理数估算即可．
【详解】解：；
∵，
∴，
即；
故选：A．
9．（2025·云南楚雄·一模）若，则的值是（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】本题考查求代数式的值，完全平方公式因式分解及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用完全平方公式因式分解，然后代入求解即可．
【详解】，
当时，原式，
故选：B．
10．（2025·天津·一模）计算结果等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，利用平方差公式直接计算即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键；
【详解】解：，
故答案为：．
11．（2025·宁夏吴忠·一模）计算 ．
【答案】3
【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据乘法法则进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：3．
12．（2025·江苏南京·一模）计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式乘除运算，解题的关键是掌握相应的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
13．（2025·河北保定·一模）如图，数轴上的点表示实数、且与的积为有理数，则整数的值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的计算，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴及二次根式的乘法运算，先求出，再根据与的积为有理数求解即可．
【详解】解：点M在数轴上的位置在2与3之间，
，
，
与的积为有理数，且，
，
故答案为：8
14．（2025·河北唐山·一模）计算： ．
【答案】3
【分析】本题考查二次根式的除法运算，先算除法再化简即可．
【详解】解：，
故答案为：3．
15．（2025·天津西青·一模）计算的结果等于 ．
【答案】8
【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算、二次根式的混合运算，利用平方根公式去括号，再根据二次根式的性质计算即可得出答案．
【详解】解：
，
故答案为：8．
16．（2025·黑龙江大庆·一模）若与最简二次根式能合并，则m的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先将化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可得．
【详解】解：∵，与最简二次根式能合并，
∴
∴
故答案为：3．
题型07
规律探究
1．（2025·重庆·一模）有依次排列的2个整式：，，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，得到第3个整式，称为第一次操作；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，得到第4个整式，称为第二次操作；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，得到第5个整式，称为第三次操作，……，以此类推，下列说法：
①第六次操作得到的整式为；
②第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1；
③第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于．
其中正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了数字的变化规律，找到系数之间的规律是解题的关键．
先计算出三次操作的所有整式，然后找出规律进行判断即可．
【详解】解：第1个整式：，
第2个整式：，
第3个整式：，
第4个整式：，
第5个整式：，
第6个整式：，
第7个整式：，
第8个整式：，故①正确；
由此规律可知，第n个整式中含项的系数的2倍与第个整式中含项的系数之差为1；第n个整式与第个整式，x项的系数和为；
∴第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1，故②正确；第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于，故③错误；
故选：C．
2．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述规定，当时，的值等于（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可．
【详解】解：当时，
，
，
，
，
，
……，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
3．（2025·福建泉州·一模）烷烃是由碳、氢元素组成的有机化合物质，碳原子个数为~，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示．如甲烷、乙烷、丙烷的化学式分别为、、，分子结构如图所示，则癸烷的分子结构中氢原子的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是图形类的规律探索，解题关键是根据题中所给图形归纳出变化规律．
根据题目中的图形，可以发现氢原子的个数的变化特点，然后即可写出癸烷的分子结构中氢原子的个数．
【详解】解：由图可得：甲烷分子结构中氢原子的个数是个，
乙烷分子结构中氢原子的个数是个，
丙烷分子结构中氢原子的个数是个，
丁烷分子结构中氢原子的个数是个，
……
癸烷的分子结构中氢原子的个数是个．
故答案为：．
4．（2025·重庆·一模）观察图形的规律，第①个图形中共有3个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有18个小黑点，按照此规律第⑥个图形中共有（ ）个小黑点
A．54B．63C．84D．90
【答案】B
【分析】本题考查了探索图形规律问题．根据所画出的图形中小黑点的个数，按照规律即可得到第6个图形中小黑点的个数．
【详解】解：由图形1、2、3可以看出，
第1个图形小黑点的个数：；
第2个图形小黑点的个数：；
第3个图形小黑点的个数：；
∴第个图形小黑点的个数：；
∴第6个图形小黑点的个数：．
故选：B．
5．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）美术课上，老师请同学们用黑色棋子设计有规律的图案，小华这组出色地完成了这个设计，摆出的图案不仅具有艺术美感，还存在数学规律，如图，观察他们的设计，按此规律，则第⑥个图案需要棋子的个数是（ ）
A．28B．29C．30D．31
【答案】B
【分析】本题主要考查了数与形结合的规律，根据棋子发现规律：多一组图形，则多用5个棋子，即第n个图形中，需要棋子个，代入计算即可．
【详解】解：根据分析可得：
（个）
所以，第6个图形中棋子的个数为29个，
故选：B．
6．（2025·广西桂林·一模）按一定规律排列的数列：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…．对于这列数，存在这样一个规律：，，，，，，…．由此规律，可得第12个数和第13个数的和为 ．
【答案】156
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可得当n为奇数时，第n个数为，当n为偶数时，第n个数为，据此规律分别求出第12个数和第13个数，二者再求和即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
以此类推可知，当n为奇数时，第n个数为，当n为偶数时，第n个数为，
∴第12个数为，第13个数为
∴第12个数和第13个数的和为，
故答案为：．
7．（2025·四川成都·一模）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为 ．
【答案】
【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答．
本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键．
【详解】解：这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
由于，
即前2025个数共有组，
∴奇数有个．
故答案为：．
8．（2025·河南驻马店·一模）如图，图1是一个边长为2，有一个内角为的菱形，我们称之为原始菱形，将图1中的菱形沿水平方向向右平移个单位，得到图2，将图2中的原始菱形沿水平方向平移个单位，得到图3，依此类推…
若经过若干次平移后，图的面积为，则 ．
【答案】17
【分析】本题考查了图形的平移，菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题关键是学会探究规律的方法，学会利用参数构建方程解决问题．连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出，求出，根据平移可知：，，，证明，得出，证明，，求出，得出图2长面积为，同理得出图3的面积为，图4的面积为，总结得出一般规律：图n的面积为，最后求出结果即可．
【详解】解：连接，，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据平移可知：，，，
∴，
∴，
同理可得：，
∴为的中点，为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴图2的面积为：，
同理可得：图3的面积为，
图4的面积为，
图n的面积为，
当时，
解得：．
故答案为：17．
9．（2025·安徽宿州·一模）观察下列等式：
第个等式：．
第个等式：．
第个等式：．
第个等式：．
……
按照以上规律，解决下列问题．
(1)写出第个等式：______．
(2)写出你猜想的第（为正整数）个等式（用含的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析．
【分析】（1）根据前个等式所总结的规律即可写出第个等式；
（2）根据规律猜想出第个等式，证明方法：计算出左边的结果看是否等于，即是否左、右相等．
【详解】（1）解：第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
故答案为：．
（2）解：猜想第个等式为，
证明：左边，
又右边，
左边右边，
即．
【点睛】本题考查的知识点是数字类规律探索、整式四则混合运算、完全平方公式，解题关键是能正确总结概括出规律．
10．（2025·广东韶关·一模）如图1，这是一种海螺，图2是由这种海螺抽象出的螺旋图形，它是由一系列直角三角形组成的，其中，，且每个三角形都以点为顶点．
(1)求的值．
(2)如图3，若有一个海螺图形恰好由9个直角三角形拼成，其中每一个直角三角形都有一条直角边为1，且这个图形的周长（实线部分）为，则最接近哪个整数？
【答案】(1)
(2)13
【分析】本题考查了解直角三角形，估计实数的大小，图形规律型，正确得到规律是解题的关键．
（1）根据勾股定理，逐一计算，得到规律，即可解答；
（2）计算出第九个直角三角形的斜边长，再计算周长，即可解答．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
，
；
（2）解：根据（1）中的结论，可知第9个直角三角形的斜边长为，
这个海螺图形的周长为，
，且接近，
，且接近，
，且最接近的整数是13，
即最接近的整数是13．第一题：解不等式．
解：去分母，得，……①
去括号，得，……②
移项，得，……③
合并同类项，得，……④
系数化为1，得．……⑤
第二题：分解因式：．
解：原式……①
……②
……③
．……④
…
0
1
2
…
…
0
无意义
*
*
*
…