专题07 锐角三角形函数（知识串讲+11大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠C=90°。则∠A的三角函数为
（二）特殊角三角函数
（三）直角三角形边角关系
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
， ，
④，h为斜边上的高.
（四）解直角三角形常见类型及解法
（五）解直角三角形的应用举例
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式.

(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.

(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.

(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
考点一遍过
考点1：锐角三角函数定义
典例1：（2024上·湖南娄底·九年级统考期末）在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（ ）
A．sinB=acB．csB=bcC．tanB=abD．tanB=ba
【变式1】（2024上·河北唐山·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，下列用线段比表示csA的值，错误的是（ ）
A．ADACB．ACABC．CDCBD．CDAC
【变式2】（2022上·上海浦东新·九年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=a，那么AB等于（ ）
A．a⋅tanAB．a⋅ctAC．asinAD．acsA
【变式3】（2024上·福建泉州·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，那么下列结论中错误的是（ ）
A．BC=ACtanAB．BC=AB⋅sinA
C．AB=ACcsAD．AC=BC⋅tanB
【变式4】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°，BC=5，则AB边的长是（ ）
A．5cs55°B．5cs55°C．5tan55°D．5sin55°
【变式5】（2023下·山东济南·九年级统考阶段练习）在△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则下列各项正确的是（ ）
A．c=bsinAB．a=btanAC．b=csinAD．b=ctanA
考点2：特殊角三角函数值
典例2：（2024上·河南商丘·九年级校联考期末）已知实数a=tan30°，b=cs60°，c=sin45°，则下列判断正确的是（ ）
A．b>a>cB．c>a>bC．b>c>aD．a>c>b
【变式1】（2023·湖南娄底·统考一模）定义一种运算：csα+β=csαcsβ−sinαsinβ，csa−β=csαcsβ+sinαsinβ.例如：当α=60°，β=45°时，cs60°−45°=12×22+32×22=2+64，则cs75°的值为( )
A．6+24B．6−24C．6−22D．6+22
【变式2】（2019上·广东梅州·九年级广东梅县东山中学校考期末）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=32，csB=12，则△ABC是（ ）.
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形
【变式3】（2023上·辽宁盘锦·九年级校考期末）在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且tanB−3+2csA−32=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【变式4】（2024上·湖南张家界·九年级统考期末）在△ABC中，若∠B=90°，sinA=12则∠C的度数是( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
【变式5】（2023上·河南洛阳·九年级统考期末）下列计算错误的个数是（ ）
①sin60°−sin30°=sin30°；② sin245°+cs245°=1；③(tan60°)2=13；④ tan30°=sin30°cs30°
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点3：锐角三角函数增减性
典例3：（2023·上海静安·校考一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA与csA的差（ ）．
A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定
【变式1】（2023上·福建泉州·九年级校考期中）三角函数sin40°、cs16°、tan50°之间的大小关系是（ ）
A．tan50°>cs16°>sin40°B．cs16°>sin40°>tan50°
C．cs16°>tan50°>sin40°D．tan50°>sin40°>cs16°
【变式2】（2023·甘肃张掖·统考模拟预测）若0°<α<90°，则下列说法不正确的是（ ）
A．sinα随α的增大而增大B．csα随α的减小而减小C．tanα随α的增大而增大D．0【变式3】（2023上·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知12A．30°<α<80°B．10°<α<80°C．60°<α<80°D．10°<α<60°
考点4：解直角三角形——直接法
典例4：（2023上·山东烟台·九年级统考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边．若a=5,b=15，试解这个直角三角形．
【变式1】（2023上·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠BDC=45°，BD=102，AB=20．求sinA的值．
【变式2】（2023上·山东青岛·八年级校联考期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sin∠ABC=35，点D在边BC上，BD=6，连接AD，tan∠DAC=23．
(1)求边AC的长；
(2)求tan∠BAD的值．
【变式3】（2023上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）在△ABC中，∠A,∠B和∠C所对的边长分别为a,b,c,∠C=90°．若∠A−∠B=30°,a+b=4+43，解这个直角三角形．
考点5：解直角三角形——化斜为直
典例5：（2023上·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=30°,∠B=45°,BC=32．
(1)求AC的值．
(2)求△ABC的面积（结果保留根号）
【变式1】（2023上·安徽六安·九年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，∠B=30°，sinC=35，AC=10．
(1)求AB的长；
(2)求△ABC的面积（结果保留根号）．
【变式2】（2023上·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，连接BE．已知DE=2.

(1)若tanC=12，求AB的长度；
(2)若∠C=30°，求sin∠BEA．
【变式3】（2023·河南许昌·校考一模）如图，AD是△ABC的高，csB=22,sinC=35,AC=10，求△ABC的周长．
考点6：同角三角函数关系
典例6：（2023上·河南鹤壁·九年级校考期中）已知tanα=512，α是锐角，则sinα的值是（ ）
A．135B．1213C．513D．125
【变式1】（2023上·全国·九年级专题练习）已知A为锐角，tanA=34，则sinA的值为（ ）
A．35B．45C．43D．53
【变式2】（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB边上的高，如果AD=m，∠A=α，那么BC的长为（ ）
A．m·tanα·csαB．m·csαtanα
C．m·tanαcsαD．m·tanαsinα
【变式3】（2023上·四川广元·九年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，若csA=513，则tanA的值为（）
A．512B．125C．23D．1213
考点7：互余两角三角函数关系
典例7：（2022·福建南平·统考二模）如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1，若∠DCE=β，则矩形ABCD的周长可表示为（ ）
A．22csβ+5sinβB．22sinβ+5csβ
C．22sinβ+5tanβD．22tanβ+5csβ
【变式1】（2022上·河南南阳·九年级南阳市第十三中学校校考期末）在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=35，那么csB的值等于（ ）
A．35B．54C．34D．43
【变式2】（2019上·山东威海·九年级统考期中）如图，sinα=35，则csβ等于（ ）
A．35B．45C．925D．1625
【变式3】（2019·安徽宿州·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=34，则csB=（ ）．
A．53B．54C．35D．45
考点8：解直角三角形应用——仰角俯角
典例8：（2023上·吉林长春·九年级统考期末）榕榕在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
请你依据此方案，求教学楼的高度（结果保留整数）.
【变式1】（2024上·安徽合肥·九年级统考期末）“时代之舞，梦想领航”，合肥骆岗中央公园全向信标台成为合肥新地标．小丽同学想要通过测量及计算了解信标台CD的大致高度，如图1，当他步行至点A处，测得此时台顶C的仰角为45°，再步行20米至点B处，测得此时台顶C的仰角为56°（点A，B，D在同七、一条直线上），请帮小丽计算信标台CD的高度．（参考数据：sin56°≈0.83，cs56°≈0.55，tan56°≈1.50，结果保留整数）
【变式2】（2024上·安徽亳州·九年级统考期末）如图，无人机在A点测得大楼CD的顶端D的仰角为63.4°，在B点测得底端C的俯角为53.1°，还测得BC两点间的距离为20米，已知AB∥CD，AB=12米，求大楼高度CD．参考数据：sin53.1°≈0.80，cs53.1°≈0.60，tan53.1°≈1.33，sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.84，tan63.4°≈2.00．
【变式3】（2023上·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，某商场大厅阶梯式扶梯AB的倾斜角为30°，AB的长为10m，商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯，改造后的斜坡式扶梯的坡角∠ADB=14°，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度BD．（结果精确到1m，参考数据：sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25，3≈1.73）

考点9：解直角三角形应用——方位角
典例9：（2023上·广西来宾·九年级统考期末）由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达B处时，测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向．
(1)求线段AC的长度；
(2)若小岛A周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
【变式1】（2023·广东广州·统考二模）如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于其西北方向（北偏西45°方向），2小时后轮船到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东60°方向．求此时船与小岛P的距离（结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）．
【变式2】（2024上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）金秋十一月，阳光大草坪ABCD正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图．经勘测，入口B在入口A的正西方向，入口C在入口B的正北方向，入口D在入口C的北偏东60°方向400m处，入口D在入口A的北偏西45°方向1000m处．（参考数据2≈1.41,3≈1.73）
(1)求AB的长度；（结果精确到1米）
(2)小明从入口D处进入前往M处赏花，点M在AB上，距离入口B的500m处．小明可以选择鹅卵石步道①D−C−B−M，步行速度为50m/min，也可以选择人工步道②D−A−M，步行速度为60m/min，请计算说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到0.1min）
【变式3】（2024上·辽宁阜新·九年级统考期末）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度前行，在A处测得岛C在东北方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C周围25海里内有暗礁，（参考数据：3≈1.732，2≈1.414，sin75°≈0.966，cs75°≈0.259．）
(1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
(2)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由．
考点10：解直角三角形应用——坡比
典例10：（2024上·安徽六安·九年级统考期末）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=1:2，且O、A、B在同一条直线上，求此人所在位置点P的铅直高度PB．（测倾器高度不计，结果保留根号形式）
【变式1】（2024上·广东茂名·九年级统考期末）某校数学兴趣小组为了测量建筑物CD的高度，先在斜坡AB的底部A测得建筑物顶点C的仰角为31°，再沿斜坡AB走了39m到达斜坡顶点B处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度i=1:2.4．（参考数据：tan53°≈43，tan31°≈35）

(1)求点B到地面的高度；
(2)求建筑物CD的高度．
【变式2】（2023上·山东枣庄·九年级滕州育才中学校考阶段练习）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸人树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走410米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i=1:3（点E、C、B住同一水平线上）．
(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
(2)求大树AB的高度（结果保留根号）．
【变式3】（2024上·上海崇明·九年级统考期末）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡BM的坡度i=1:3，在坡面D处有一棵树AD（假设树AD垂直水平线BN），在坡底B处测得树梢A的仰角为45°，沿坡面BM方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角∠ACQ为60°．（点B、C、D在一直线上）

(1)求A、C两点的距离；
(2)求树AD的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：3≈1.732）
考点11：解直角三角形应用——实物建模
典例11：（2024上·湖南常德·九年级统考期末）常德市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm,∠BCD=64°,BC=60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90,cs64°≈0.44,tan64°≈2.05）
(1)求坐垫E到地面的距离；
(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．
【变式1】（2024上·河北唐山·九年级统考期末）如图1，某款台灯由底座、支撑臂AB、连杆BC、悬臂CD和安装在D处的光源组成．如图2是该款台灯放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂AB⊥l，AB=22cm，BC=35cm，CD=40cm，固定∠ABC=143°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高照明效果．
(1)求悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
(2)已知光源D到桌面l的距离为30cm时照明效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.33）
【变式2】（2024上·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考期末）图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点B可以上下调整高度，离地面CD的距离BC=160cm．设花洒臂与墙面的夹角为α，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长AB=30cm．假设水柱AE垂直AB直线喷射，小华在离墙面120cm处淋浴．

(1)当α=30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE．（结果保留一位小数）
(2)如果小华要洗脚，需要调整水柱AE，使点E与点D重合，调整的方式有两种：
①其他条件不变，只要把活动调节点B向下移动即可，移动的距离BF与小华的身高DE有什么数量关系？直接写出你的结论．
②活动调节点B不动，只要调整α的大小，如图3，试求α的度数．（结果保留一位小数，参考数据：3≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75）
【变式3】（2023上·四川成都·九年级双流中学校考阶段练习）如图，图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架水平横管BC的长度为0.4米，求安装热水器的铁架竖直管CE的长度．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34，sin22°≈38，cs22°≈1516，tan22°≈25）

定义
表达式
取值范围
关系
正弦
sinA=csB
csA=sinB
余弦
正切
tanA＞0
三角函数
30°
45°
60°
1
已知条件
解法步骤
Rt△ABC
两
边
两直角边(a，b)
由tanA=ab，求∠A；
∠B=90°－∠A；
斜边，一直角边(如c，a)
由sinA=ac，求∠A；
∠B=90°－∠A；
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
c=bcsA
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
课题
测量教学楼高度
图示

测得数据
CD=6.9m，∠ACG=22°，∠BCG=13°
参考数据
sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，
sin13°≈0.22，cs13°≈0.97，tan13°≈0.23．