专题18 圆（讲义）-2024年小升初数学复习讲练测（通用版）-A4

这是一份专题18 圆（讲义）-2024年小升初数学复习讲练测（通用版）-A4，共22页。
（高频考点梳理＋重难点讲解＋同步练习＋答案）
【知识梳理】
1、圆的有关意义。
在一个平面内，一个动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫作圆。
2、圆的各部分名称
圆中心的一点叫作圆心，一般用字母O表示；连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径，一般用字母r表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，一般用字母d表示。
圆有无数条半径和无数条直径。
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
3、圆是一个轴对称图形，有无数条对称轴。
4、圆的特征：
（1）在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
（2）直径是半径的两倍，用字母表示是：d＝2r或r＝d2 。
【例1】从一块长是12分米，宽是7分米的长方形铁板上，最多能截取（ ）个直径是3分米的圆形铁板。
A、6 B、8 C、10 D、12
【解题分析】
长方形的长可以截取：12÷3＝4（个），长方形的宽可以截取：7÷3＝2（个）……1（分米），所以最多能截取的圆形铁板数量为：4×2＝8（个）。
【答案】B；
【例2】将一个圆沿着半径剪成若干等份，拼成一个近似长方形（如图），这个近似长方形的周长比圆的周长增加了10厘米，那么圆的面积是（ ）平方厘米。
【解题分析】
把圆拼成近似长方形后，增加的周长就是2个半径的长度，所以可以求出半径。然后根据圆的面积公式求出面积。
半径为：10÷2＝5（厘米）
圆的面积为：3.14×5×5＝78.5（平方厘米）
【答案】78.5；
【例3】一个圆的直径是10厘米，在圆中有一个内接正方形（如图），那么这个正方形的面积是（ ）平方厘米。
【解题分析】
圆的直径就是内接正方形的对角线长度。圆的直径为10厘米，那么对角线的一半为：10÷2＝5（厘米）。可以把正方形沿着对角线分成两个完全一样的等腰直角三角形，等腰直角三角形的底就是圆的直径，高是直径的一半。根据三角形面积＝底×高÷2，可求出一个三角形的面积为：10×5÷2＝25（平方厘米）；再乘2就是正方形的面积：25×2＝50（平方厘米）。
【答案】50；
【例4】如图，已知OA＝AB＝BC＝1cm，那么点E在点O的（ ）处。
A.南偏西30°，50km B.南偏西60°，50km
C.南偏西30°，100km D.南偏西60°，100km
【解题分析】
用方向和距离结合来描述路线时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物），二是方向，三是距离。因为90°的角被平分成3份，则每份是30°。所以点E在点O的南偏西30°。
因为OA＝AB＝BC＝1cm，所以OE＝OB＝2cm。而图上距离1cm代表实际距离50 km，2×50＝100（km），所以点E在点O的100km处。
【答案】C；
【练习1】辩一辩。对的打√，错的打×。
（1）在一个圆内，连接圆上任意两点的所有线段中，最长的线段一定是直径。（ ）
（2）圆和半圆都有无数条对称轴。（ ）
（3）用6个半径相等且圆心角都是60°的扇形一定可以拼成一个圆。（ ）
（4）圆的直径都大于半径。（ ）
【练习2】把一个圆沿半径剪成若干等份，拼成一个近似的梯形（如图），已知这个梯形的周长大约是28.56厘米，那么这个圆的面积大约是（ ）平方厘米。
【练习3】在一张长为12厘米、宽为8厘米的长方形纸内画一个最大的圆，那么这个圆的半径是（ ）厘米。
A.12 B.6 C.8 D.4
【知识梳理】
1、围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
2、圆的周长公式：
（1）C＝??；
（2）C＝???。
3、圆周率：圆的周长与直径的比值叫作圆周率。圆周率用希腊字母“?”表示，它是一个无限不循环小数。
经过精密计算?＝3.1415926…在小学数学中，我们常常取圆周率的近似值3.14。
【例5】一个钟表的时针长5厘米，分针长8厘米，从上午9时到上午12时，时针扫过的面积是（ ）平方厘米，分针尖端走过的路程（ ）厘米。
【解题分析】
【解题分析】从上午9时到上午12时，时针转了3个大格，即转了312＝14圈，时针扫过的面积是半径为5厘米的圆的面积的14。分针转了3圈，分针尖端走过的路程是半径为8厘米的圆的周长的2倍。
时针扫过的面积：
3.14×52×14
＝3.14×25×14
＝19.625（平方厘米）
分针尖端走过的路程：
2×3.14×8×3
＝6.28×8×3
＝150.72（厘米）。
【答案】19.625；150.72；
【例6】一块圆形纸片的周长是25.12厘米，它的半径是（ ）厘米；从圆中剪下一个最大的正方形（如图），那么剩下部分的面积是（ ）平方厘米。
【解题分析】
已知圆形纸片的周长，根据圆的周长公式C＝2πr可求出半径。
25.12÷3.14÷2
＝8÷2
＝4（厘米）
要在圆中截取最大的正方形，则正方形的对角线就是圆的直径。可以把正方形分成两个相等的等腰直角三角形，三角形的底就是圆的直径，高就是圆的半径，先求出正方形的面积，再用圆的面积减去正方形的面积就是阴影部分的面积。
3.14×4×4－4×2×4÷2×2
＝50.24－32
＝18.24（平方厘米）。
【答案】4；18.24；
【例7】在一张长8厘米，宽6厘米的长方形纸上，剪下一个最大的半圆，这个半圆的周长是（ ）厘米，剩余纸张面积约占原来纸张面积的（ ）％。
【解题分析】
对于剪下最大半圆的问题，这个半圆的直径应等于长方形的长。半圆的周长等于圆周长的一半加上直径。先求出半圆的半径，根据圆的周长公式求出半圆的弧长，再加上直径就是半圆的周长。用长方形的面积减去半圆的面积可得到剩余木板面积，用剩余木板面积除以长方形面积再乘以100％可求出所占比例。
半圆的半径为：8÷2＝4（厘米）
半圆的周长：
3.14×8÷2＋8
＝12.56＋8
＝20.56（厘米）
剩余木板面积：
8×6－3.14×4×4÷2
＝48－25.12
＝22.88（平方厘米）
剩余木板面积占比：22.88÷48×100％≈47.67％。
【答案】20.56；47.67；
【例8】把一个半径为20厘米的圆形披萨切成大小相同的8份，已经吃掉了三份，则剩下披萨的面积为（ ）平方厘米，周长为（ ）厘米。
【解题分析】
圆的面积＝πr²，半径为20厘米，所以披萨的总面积为：3.14×20²＝1256（平方厘米），一份披萨的面积为：1256÷8＝157（平方厘米）。吃掉3份后剩下5份，所以剩下披萨的面积为：157×5＝785（平方厘米）。
根据圆的周长＝2πr，求出整个披萨的周长，剩下的披萨的圆弧占原来那个圆周长的58，再加上两个半径长即可。
2×3.14×20×58＋2×20
＝125.6×38＋40
＝78.5＋40
＝118.5（厘米）
【答案】785；118.5；
【例9】公园有一个半径是50米的圆形广场，广场的周长是（ ）米，沿着广场的周围每隔2米摆一盆花，一共可摆（ ）盆花。
【解题分析】
根据圆的周长公式C＝2πr，可得池塘周长为：
2×3.14×50
＝6.28×50
＝314（米）。
圆的周长是314米，每隔2米摆一盆花，那么花盆的间隔数为：314÷2＝157，由于花的盆数等于间隔数，所以共可摆157盆花。
【答案】314；157；
【练习1】用圆规画圆时，已知圆规两脚间的距离是4厘米，画出来的圆直径是（ ）厘米，周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。
【练习2】在长为10厘米、面积为50平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是（ ）平方厘米。
【练习3】一个大圆和一个小圆的半径比是3∶2，则它们的周长比是（ ），面积比是（ ）。
【知识梳理】
1、圆所占平面的大小叫圆的面积。
2、圆的面积公式： S＝πr2 。
把一个圆平均分成若干份，剪开后拼成一个近似的平行四边形，如果分的份数越多，拼成的图形越接近长方形，这个近似长方形的长等于圆周长的一半,宽等于圆的半径 ,由此圆的面积S＝πr2
3、一般在计算时π取3.14。
【例10】一根铁丝可以围成一个边长为12.56分米的正方形，如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积是多少平方分米？
【解题分析】
先根据正方形的周长公式求出铁丝的长度，这也是圆的周长。再根据圆的周长公式求出圆的半径，然后根据圆的面积公式求出面积。
【解答】
12.56×4＝50.24（分米）
50.24÷3.14÷2
＝16÷2
＝8（分米）
3.14×8²＝200.96（平方分米）
答：这个圆的面积是200.96平方分米。
【例11】一块半径是10m的圆形花园，其中40％的面积种郁金香，剩下的面积按1∶4 栽种玫瑰和百合，则栽种百合的面积是多少平方米？
【解题分析】
先根据圆面积的公式求出圆形花园的面积，再用圆形花园的面积乘40％求出种郁金香的面积为，从而求出剩下的面积。剩下的面积按1：4分配，百合占剩下面积的41＋4，用剩下面积乘上41＋4可以求出栽种百合的面积。
【解答】
3.14×10²＝314（平方米）
314－314×40％
＝314－125.6
＝188.4（平方米）
188.4×45＝150.72（平方米）
答：栽种百合的面积是150.72平方米。
【例12】一个直角三角形的面积是90平方厘米，其中一条直角边的长度是15厘米，以另一条直角边为直径画一个圆，则这个圆的面积是（ ）平方厘米
【解题分析】
先利用三角形面积公式求出另一条直角边长度：
90×2÷15
＝180÷15
＝12（厘米）
因为圆的半径为12÷2＝6（厘米），再根据圆的面积公式求出圆的面积。
3.14×6×6
＝18.84×6
＝113.04（平方厘米）。
【答案】113.04；
【练习1】将一个圆的半径由4厘米增加至6厘米，圆的面积增加（ ）平方厘米。
A. 50.24 B. 62.8 C. 113.04
【练习2】学校操场的跑道两边是半圆形，中间是长方形（如下图）。其中长方形长80米，宽40米，这个操场的占地面积是（ ）平方米。
【练习3】下图是一个由4个大小相同的半圆围成的一个面积最大的花园，周长是62.8米，这个花园的面积是多少平方米？
【知识梳理】
1、圆上任意两点之间的部分叫做弧。弧是圆的一部分。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
3、由两条半径组成，顶点在圆心的角叫做圆心角。
4、在同圆或等圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形就越大。
【例13】在圆里剪去一个圆心角为30°的扇形，余下部分的面积是剪去部分面积的（ ）倍。
A. 7 B. 9 C. 11
【解题分析】
圆的圆心角为360°，剪去一个圆心角为30°的扇形，则余下部分的圆心角为360°－30°＝330°。余下部分的面积与剪去部分面积的比就等于它们圆心角的比，即330°∶30°＝11∶1，所以余下部分的面积是剪去部分面积的11倍。
【答案】C；
【例14】下面说法中，（ ）是正确的。
A.圆的周长是它的半径的6.28倍。
B.如果圆的直径扩大到原来的4倍，则面积扩大到原来的8倍。
C.用6个圆心角都是60的扇形，一定可以拼成一个圆。
D.如果两个圆的面积相等，那么这两个圆的半径也一定相等。
【解题分析】
A选项，圆的周长是其半径的2π倍，而不是6.28倍，所以A错误。
B选项，圆的面积是π×（直径÷2）²，直径扩大到原来的4倍，面积应扩大到原来的16倍，所以B错误。
C选项，6个圆心角都是60°的扇形，其圆心角之和为 360°，但是扇形的半径要相等才能拼成一个圆，所以C错误。
D选项，两个圆面积相等，根据圆的面积公式可知半径一定相等，所以D正确。
【答案】D；
【例15】一个扇形的面积是它所在圆的18，则这个扇形的圆心角是（ ）°。
【解题分析】
整个圆的圆心角是360°，扇形的面积占所在圆的比例与圆心角占整个圆的比例相同，所以用360°乘以该比例即可得到扇形的圆心角。
360°×18＝45°。
【答案】45；
【练习1】将一张圆形纸片对折4次后得到一个扇形，它的面积是圆片面积的（ ），圆心角是（ ）°。
【练习2】下面各个图形中，对称轴最少的是（ ）。
A. 扇形 B. 等腰梯形 C. 平行四边形 D. 圆
【知识梳理】
1、圆环的意义：大圆中间挖掉一个小圆，剩下部分就是圆环。
2、环宽：是指两个圆之间的宽度。
环宽＝外圆半径－内圆半径
3、圆环的面积计算公式：
圆环面积＝大圆面积－小圆面积
用字母表示：如果R表示外圆半径，r表示内圆半径，S表示圆环的面积，则：S环＝π×（R²－r²）或S环＝πR²－πr²。
【例16】在一个周长是18.84米的圆形花坛周围有一条宽2米的环形水泥路，这条环形水泥路的面积是多少平方米？
【解题分析】
先根据圆的半径＝圆的周长÷3.14÷2求出花坛的半径；因为形花坛周围有一条宽2米的环形水泥路，则外圆半径为花坛的半径＋2，然后用外圆面积减去内圆面积可得水泥路的面积，即可求出这条环形水泥路的面积。
【解答】
18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（米）
3＋2＝5（米）
3.14×5²－3.14×3²
＝78.5－28.26
＝50.24（平方米）
答：这条环形水泥路的面积是50.24平方米。
【例17】一个圆形花坛的外沿周长是12.56米，花坛的面积是多少平方米？如果在花坛周围铺一圈2米宽的草坪，每车草坪能铺8平方米，那么至少要运多少车？
【解题分析】
先根据圆的周长公式求出花坛半径，再根据圆的面积公式求出花坛面积；用包括草坪在内的大圆面积减去花坛面积得到草坪面积，然后除以每车能铺的面积可得车数。
【解答】
花坛半径：
12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（米）
花坛面积：
3.14×2×2
＝6.28×2
＝12.56（平方米）
包括草坪在内的大圆半径：2＋2＝4（米）
草坪面积：
3.14×4×4－3.14×2×2
＝50.24－12.56
＝37.68（平方米）
需要车数：37.68÷8＝4.71（车）
答：花坛的面积是12.56平方米；至少要运5车。
【例18】公园里有一条环形小路，外圆半径是20米，内圆半径是18米，这条环形小路的面积是（ ）平方米。如果在这条小路的外围种树，两棵树之间的距离是2米，可以种（ ）棵树。
【解题分析】
先根据圆的面积公式S＝πr2分别求出大圆面积和小圆面积，用大圆面积减去小圆面积即可得到环形小路面积。
3.14×20×20－3.14×18×18
＝1256－1017.36
＝238.64（平方米）。
对于栽树问题，先求出外圆周长，用周长除以树的间隔距离就是树的数量。
2×3.14×20
＝6.28×20
＝125.6（米）
125.6÷2＝62.8（棵）
【答案】238.64；62；
【练习1】一个模型的横截面是一个圆环，外圈直径是10厘米，内圈直径是8厘米，这个模型横截面的面积是多少平方厘米？
【练习2】一种空心圆柱形状的卷纸，底面外直径是10厘米，内直径是4厘米，8层纸厚度是0.2厘米。
（1）这种卷纸底面圆环的面积是多少平方厘米？
（2）若将这样一筒卷纸全部铺开在地上，总长有多少米？
【练习1】
【解题分析】
（1）连接圆上任意两点的线段中，直径是最长的。原题说法正确。
（2）圆沿着任意一条直径所在的直线对折，直线两侧的部分都能完全重合，所以圆有无数条直径，也就有无数条对称轴；而半圆只有沿着与半圆直径垂直的半径所在的直线对折，直线两侧的部分才能完全重合，所以半圆只有1条对称轴。原题说法错误。
（3）6个圆心角为60°的扇形的圆心角之和为6×60°＝360°，而圆的圆心角是360°，所以用6个半径相等且圆心角都是60°的扇形一定可以拼成一个圆。原题说法正确。
（4）需要考虑在同一个圆中或不同圆中的情况。在同一个圆中，直径是半径的两倍，直径一定比半径大；但如果是不同的圆，大圆的半径可能会比小圆的直径大。原题说法错误。
【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；
【练习2】
【解题分析】
把圆剪拼成一个近似的梯形，梯形的上底与下底的和近似等于圆的周长的一半，梯形的腰长近似等于圆的直径。设圆的半径为r，那么圆的周长为2πr，周长的一半就是πr，梯形的周长为上底与下底的和加上两条腰长，即πr＋4r＝28.56，由此可求出半径r的值，进而根据圆的面积公式求出面积。
设圆的半径为r。
3.14×r＋4r＝28.56
7.14r＝28.56
r＝4
3.14×4×4
＝12.56×4
＝50.24（平方厘米）。
【答案】50.24；
【练习3】
【解题分析】
要在长方形纸内画一个最大的圆，这个圆的直径不能超过长方形的宽，所以这个圆的直径最大为8厘米，那么半径就是8÷2＝4厘米。
【答案】D；
【练习1】
【解题分析】
圆规两脚间的距离就是圆的半径。所以半径为4厘米，直径等于半径的2倍，即4×2＝8（厘米）；
周长根据公式C＝2πr可得，2×3.14×4＝25.12（厘米）；
面积根据公式S＝πr²可得，3.14×4×4＝50.24（平方厘米）。
【答案】8；25.12；50.24；
【练习2】
【解题分析】
先根据长方形面积公式求出长方形的宽，即50÷10＝5厘米。要画最大的半圆，那么这个半圆的直径应等于长方形的长，半径为长方形的宽，即5厘米。然后根据半圆面积＝π×半径²÷2，可求出半圆面积。
3.14×5²÷2
＝3.14×25÷2
＝39.25（平方厘米）
【答案】39.25；
【练习3】
【解题分析】
圆的周长公式为C＝2πr，两个圆的半径比为3∶2，那么周长比也为 3∶2，因为周长是和半径成正比的。圆的面积公式为S＝πr²，那么面积比为半径的平方比，即3²∶2²＝9∶4。
【答案】3∶2；9∶4；
【练习1】
【解题分析】
原来半径为4厘米的圆的面积减去半径增加到6厘米后圆的面积即可求出答案
3.14×6×6－3.14×4×4
＝113.04－50.24
＝62.8（平方厘米）
【答案】B；
【练习2】
【解题分析】
长方形的面积为长×宽，即80×40＝3200平方米。两个半圆可以拼成一个圆，半径为40÷2＝20米，圆的面积为3.14×20²＝1256平方米。运动场占地面积＝长方形面积＋圆的面积，即3200＋1256＝4456平方米。
【答案】4456；
【练习3】
【解题分析】
由图可知，4个半圆相连且中间是一个正方形，所以花园面积是4个半圆面积再加上围在中间的正方形面积。根据圆的面积公式和正方形面积公式，分别求出面积再相加即可求出答案。
【解答】
62.8÷4＝15.7（米）
15.7÷3.14＝5（米）
（5×2）2＋3.14×52×2
＝100＋157
＝257（平方米）
答：花园的面积是257平方米。
【练习1】
【解题分析】
将一张圆形纸片对折4次，就是把这张圆形圆片平均分成16份，求一份占圆片的几分之几，把这张圆形圆片的面积看作单位“1”，用1÷16＝116；圆心角是360°，用圆心角360°×一个扇形占圆片面积的分率即可：360°×116＝22.5°。
【答案】116；22.5；
【练习2】
【解题分析】
扇形有1条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，平行四边形没有对称轴，圆有无数条对称轴，所以对称轴最少的是平行四边形。
【答案】C；
【练习1】
【解题分析】
先根据直径÷2＝半径，分别求出外圈半径和内圈半径；然后按照圆环面积的计算方法，用外圆面积减去内圆面积即可。
【解答】
10÷2＝5（厘米）
8÷2＝4（厘米）
3.14×5×5－3.14×4×4
＝78.5－50.24
＝28.26（平方厘米）。
答：这个模型横截面的面积是28.26平方厘米。
【练习2】
【解题分析】
（1）根据圆环面积公式，用外圆面积减去内圆面积即可求出卷纸底面圆环的面积。
（2）先求出卷纸的圆环宽度，然后除以0.2后乘以8得出总层数，从而得出卷纸的总层数。再根据底面外周长=π×外直径，求出底面外周长，最后用底面外周长乘以总层数，即可得到展开后的总长，注意结果要将单位换算成米。
【解答】
（1）外圆半径：10÷2＝5（厘米）
内圆半径：4÷2＝2（厘米）
圆环面积：
3.14×（5²－2²）
＝3.14×（25－4）
＝3.14×21
＝65.94（平方厘米）
答：这种卷纸底面圆环的面积是65.94平方厘米。
（2）外圆半径：10÷2＝5（厘米）
内圆半径：4÷2＝2（厘米）
5－2＝3（厘米）
纸的总层数为：3÷0.2×8＝120（层）
3.14×10＝31.4（厘米）
31.4×120＝3768（厘米）＝37.68（米）。
答：（1）这种卷纸底面圆环的面积是65.94平方厘米；（2）总长37.68米。