专题20++圆柱和圆锥（讲义）-2024年小升初数学复习讲练测（通用版）-A4

这是一份专题20++圆柱和圆锥（讲义）-2024年小升初数学复习讲练测（通用版）-A4，共20页。
（高频考点梳理＋重难点讲解＋同步练习＋答案）
【知识梳理】
1、圆柱的定义：以长方形的一条边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体叫作圆柱。
2、圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周,得到的几何体叫作圆锥。
3、圆柱和圆锥的特征：
【例1】把一个底面半径为0.5米的圆柱形水桶横放在地面上，如果要将这个水桶推到与它相距9.42米的墙边，需要转动（ ）周。
【解题分析】
把圆柱形水桶横放在地面上推到墙边，那么水桶滚动一周的距离就是这个圆柱底面的周长，先求出底面周长，用要推的距离除以底面周长就是需要转动的周数。
9.42÷（2×3.14×0.5）
＝9.42÷3.14
＝3（周）
【答案】3；
【例2】把一个圆柱体的侧面展开，得到一个长方形，这个长方形的周长是30.12厘米，圆柱体的底面半径是2厘米，那么圆柱体的高是多少厘米？
【解题分析】
圆柱体侧面展开如果是长方形，那么长方形的长等于底面圆的周长，长方形的宽等于圆柱体的高。先根据底面半径求出底面周长，也就是长方形的长，因为长方形的周长是30.12厘米，所以再根据周长公式，求出长方形的宽，也即是圆柱体的高。
【解答】
2×3.14×2
＝6.28×2
＝12.56（厘米）
30.12÷2－12.56
＝15.06－12.56
＝2.5（厘米）
答：圆柱体的高是2.5厘米。
【例3】一个底面半径是5厘米的圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的高是（ ）厘米。
A.1 B.2 C.3 D.4
【解题分析】
先根据圆的周长公式算出底面周长。
2×3.14×5
＝6.25×5
＝31.25（厘米）
因为侧面展开图是正方形，所以高等于底面周长，即高为31.25厘米。
【答案】31.25；
【练习1】把一个底面半径是3厘米，高是10厘米的圆柱沿一条高剪开可以得到一个长方形，这个长方形的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米。
【练习2】有一个高为12.56厘米的圆柱，它的侧面展开图是一个正方形，则底面半径是（ ）厘米。
【知识梳理】
1、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高
S侧＝Ch＝2πrh＝πdh
2、圆柱的表面积：指的是圆柱表面的总面积。
圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋底面圆的面积×2
S表＝Ch＋2πr2
【例4】一台压路机的前轮是一个圆柱体，轮宽3米，直径是2米，如果前轮转动两周，压路的面积是多少平方米？
【解题分析】
前轮转动一周压路的面积就是这个圆柱的侧面积。根据圆柱的侧面积＝底面圆的周长×轮宽，底面圆的周长＝π×直径，先算出底面圆的周长，再乘轮宽得到一周压路面积，然后乘2就是两周压路的面积。
【解答】
3.14×2×3×2
＝6.28×3×2
＝18.84×2
＝37.68（平方米）
答：压路的面积是37.68平方米。
【例5】要制作一个圆柱体的有盖的铁皮油桶，量得底面半径为4分米，高为12分米。做一个这样的铁皮油桶，至少需要（ ）平方分米铁皮？
【解题分析】
要求做一个这样的油桶需要多少铁皮，就是求这个圆柱的表面积。圆柱的表面积包括两个底面圆的面积和一个侧面长方形的面积。底面圆的面积＝πr²，侧面长方形的面积＝底面圆的周长×高，底面圆的周长＝2πr。
3.14×4²×2＋2×3.14×4×12
＝100.48＋301.44
＝401.92（平方分米）。
即至少需要401.92 平方分米铁皮。
【答案】401.92
【例6】把一根长3米，底面直径是0.8米的圆柱形钢材平均截成6段，表面积增加了（ ）平方米。
【解题分析】
把圆柱形钢材平均截成6段，需要截5次，每截一次会多出两个底面圆的面积，所以共多出了10个底面圆的面积，要求出表面积增加了多少，只需求出一个底面圆的面积再乘8即可。
3.14×（0.8÷2）²×10
＝3.14×0.16×10
＝5.024（平方米）
【答案】5.024；
【例7】把一根长3米的圆柱体木料，横着截掉3分米，剩下的圆柱体木料表面积比原来减少了18.84平方分米，则原来圆柱体的表面积是（ ）平方分米。
【解题分析】
横着截去3分米，表面积减少的部分就是截去的小圆柱体的侧面积，侧面积除以截去的高可得到圆柱体的底面周长，进而求出底面半径，然后根据圆柱体的表面积＝2个底面积＋侧面积，求出原来圆柱体的表面积。
3米＝30分米，
底面周长：18.84÷3＝6.28（分米）
底面半径：6.28÷3.14÷2＝1（分米）
原来圆柱体的表面积：
2×3.14×1²＋6.28×30
＝6.28＋188.4
＝194.68（平方分米）。
【答案】194.68；
【例8】一张长方形纸板，宽是8厘米，按下面的图示剪下阴影部分刚好可以做成一个圆柱。则做成的圆柱的表面积是（ ）平方厘米。（接口处忽略不计）
【解题分析】
从图中可以看出长方形的长是圆柱底面周长加上一个底面直径，长方形的宽就是圆柱的高。先求出圆柱底面直径，进而求出底面半径，再根据圆柱表面积公式计算表面积。
直径：8÷2＝4（厘米）
半径：4÷2＝2（厘米）
3.14×4＝12.56（厘米）
3.14×2²×2＋12.56×8
＝12.56×2＋12.56×8
＝12.56×（2＋8）
＝12.56×10
＝125.6（平方厘米）
【练习1】一有个没有盖的圆柱形铁皮桶，已知高是24厘米，高与底面直径的比是4∶3，则求这个圆柱的侧面积是（ ）平方厘米。
【练习2】制作一个底面半径是3厘米，高是10厘米的圆柱形笔筒，在它的侧面和一个底面贴上装饰纸，需要多少平方厘米的装饰纸？
【练习3】一个圆柱形铁块，底面半径是3厘米，高是8厘米。
（1）这个铁块的表面积是多少平方厘米？
（2）如果把它熔炼成同样高的圆锥，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？
【知识梳理】
1、圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积。
2、圆柱的体积公式：
圆柱的体积＝底面积×高
V圆柱＝Sh
V圆柱＝πr2h
【例9】一个底面内直径为30厘米，高40厘米的圆柱形水桶，如果每立方分米可以装水1千克，这个水桶可装水（ ）千克。
【解题分析】
先求出圆柱水桶的底面半径，进而求出底面积，用底面积乘高可得到水桶的体积，单位换算成立方分米，再根据每立方分米装水1千克，求出装水的质量。
30÷2＝15（厘米）＝1.5（分米）
40厘米＝4分米
3.14×1.5×1.5×4
＝7.065×4
＝28.26（立方分米）
1×28.26＝28.26（千克）。
【答案】28.26；
【例10】如图，把一个高是5分米的圆柱木块沿底面直径将圆柱分成两个完全一样的半圆柱，两个半圆柱的表面积和比原来圆柱的表面积增加了50平方分米。圆柱的体积是（ ）立方分米。
【解题分析】
把圆柱沿底面直径分成两个半圆柱后，增加的表面积是以底面直径和高为边长的两个长方形的面积。由此可求出底面直径，进而求出底面半径。然后根据圆柱的体积公式求出体积。
50÷2÷5
＝25÷5
＝5（分米）
3.14×（5÷2）²×5
＝3.14×2.5²×5
＝3.14×6.25×5
＝98.125（立方分米）
【答案】98.125；
【例11】如图，有一根长1米，横截面直径是10厘米的圆柱体木头浮在水面上，它正好是一半露出水面。
（1）这根木头的体积是多少立方厘米？
（2）这根木头与水接触的面积是多少平方厘米？
【解题分析】
（1）先把单位米换算成厘米，根据圆柱的体积公式求出整个木头的体积，因为木头一半露出水面，所以实际体积为整个体积的一半。
（2）与水接触的面积包括两个底面半圆的面积和半个侧面的面积，而其侧面展开是一个长方形，长为木头的长，宽为底面圆的周长的一半。
【解答】
（1）1米＝100厘米
3.14×（10÷2）2
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
78.5×100＝7850（立方厘米）
答：这根木头的体积是7850立方厘米。
（2）3.14×10÷2×100
＝31.4÷2×100
＝1570（平方厘米）
78.5＋1570＝1648.5（平方厘米）。
答：这根木头与水接触的面积是1648.5平方厘米。
【例12】如图，一根圆柱体自来水管，长80厘米，外直径是10厘米，管壁厚1厘米。
（1）将这根自来水管的外侧面（不包括底面）涂上油漆，涂油漆的面积是多少平方厘米？
（2）在这样的自来水管中，水刚好以每秒0.8米的速度流动，那么每分钟流过自来水管的流水量约是多少立方米？（得数精确到0.01）
【解题分析】
（1）涂油漆的面积就是圆柱的侧面积，圆柱侧面积＝底面圆周长×高，底面圆周长＝π×直径，这里的直径是外直径。
（2）先求出水管内直径，进而求出内半径，利用圆柱的体积公式求出1秒钟流水的体积，再乘以60可得到1分钟流水的体积。
【解答】
（1）3.14×10×80
＝31.4×80
＝2512（平方厘米）
答：涂油漆的面积是2512平方厘米。
（2）内半径为：
10÷2－1
＝5－1
＝4（厘米）
1.5米＝150厘米，
1秒钟流水的体积：
3.14×4²×80
＝3.14×16×80
＝4019.2（立方厘米）
1分钟流水量：
4019.2×60＝241152（立方厘米）
＝0.241152（立方米）≈0.24（立方米）
答：每分钟的流水量约是0.24立方米。
【例13】如图，一个瓶子呈圆柱形（不包括瓶颈），瓶子的容积为50立方厘米，当瓶子正放时，瓶内液体液面高度为9厘米，当瓶子倒放时，空余部分为3厘米，瓶内液体的体积是（ ）立方厘米。
下
【解题分析】
把瓶子的容积分为两部分，一部分是液体部分的体积，另一部分是空余部分的体积。因为瓶子的底面积是不变的，液体部分的体积与液体的高度成正比。先算出瓶子总的高度，即正放时液体高度加上倒放时空余部分的高度，然后根据比例关系求出液体的体积。
50×9÷（9＋3）
＝50×9÷12
＝37.5（立方厘米）。
【答案】37.5；
【练习1】一个圆柱形的玻璃杯，从里面量得底面直径是8厘米，高是10厘米，把一盒净含量是500毫升的果汁倒入杯中，可以装得下吗？
【练习2】农场修建了一个圆柱形仓库，底面直径是4米，高是3米。
（1）把底面和侧面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？
（2）这个仓库能装多少立方米的粮食？
【知识梳理】
圆锥的计算公式：
底面积：S底＝πr²
底面周长：C底＝πd＝2πr
体积：V锥＝ 13 S底h＝ 13πr²h
【例14】一个底面直径为8米，高为0.9米的圆锥形沙堆，如果每立方米沙的质量为1.5吨，这堆沙的质量是（ ）吨。
【解题分析】
先求出圆锥的底面半径，根据圆锥的体积公式求出这个圆锥形沙堆的体积，然后用体积乘每立方米沙的质量，即可求出这堆沙的总质量。
8÷2＝4（米）
13×3.14×4²×0.9
＝13×3.14×16×0.9
＝3.14×16×0.3
＝15.072（立方米）
1.5×15.072＝22.608（吨）
【答案】22.608；
【例15】一个长方体容器，长5分米，宽4分米，高6分米，装满水后，将水倒入一个高10分米的圆锥形容器中刚好装满，则圆锥形容器的底面面积是（ ）平方分米。
【解题分析】
长方体容器的体积就是水的体积，因为水倒入圆锥形容器中刚好装满，所以长方体容器的体积等于圆锥形容器的体积。根据长方体体积＝长×宽×高可求出水的体积，也就是圆锥形容器的体积，再根据圆锥体积＝13×底面积×高，可求出圆锥形容器的底面面积。
5×4×6×3÷10
＝120×3÷10
＝36（平方分米）。
【答案】36；
【例16】往一个底面半径为20厘米，高40厘米的圆柱形水桶里装水，再把一个底面半径为5厘米的圆锥形铁块放入水桶中，铁块完全浸没在水中。如果把铁块从水中完全取出后桶里的水面下降了0.5厘米，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？
【解题分析】
当把圆锥形铁块取出后，水面下降的体积就是圆锥形铁块的体积。先根据圆柱的底面积公式求出圆柱水桶的底面积，再乘水面下降的高度得到铁块的体积。然后根据圆锥的体积公式，用铁块的体积乘3除以圆锥的底面积可求出圆锥的高。
【解答】
3.14×20²×0.5
＝1256×0.5
＝628（立方厘米）
628×3÷（3.14×5²）
＝628×3÷78.5
＝24（厘米）
答：这个圆锥形铁块的高是24厘米。
【例17】把一个底面直径是8厘米的圆锥体沿直径剖成两半后，表面积增加了80平方厘米，原来圆锥体的体积约是多少立方厘米？
【解题分析】
把圆锥沿直径剖成两半后，增加的表面积是两个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积。据此可求出圆锥的高。然后根据圆锥的体积公式求出圆锥的体积。
【解答】
三角形的高（即圆锥的高）：
80÷2×2÷8
＝40×2÷8
＝10（厘米）
圆锥的体积：
13×3.14×（8÷2）²×10
＝13×3.14×16×10
≈167.47（立方厘米）
答：原来圆锥体的体积约是167.47立方厘米。
【练习1】有一个底面周长是12.56米，高是3米的圆锥形沙堆，用这堆沙在8米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺（ ）米。
【练习2】一个圆锥形沙堆，底面半径2米，高6米，把这堆沙全部装入一个长方体沙坑，正好占沙坑容积 40％，求这个沙坑的容积。
【练习1】
【解题分析】
把圆柱沿高剪开，得到的长方形的长就是圆柱底面的周长，根据圆的周长公式 C＝2πr可求出底面周长；长方形的宽就是圆柱的高。
2×3.14×3
＝6.28×3
＝18.84（厘米）
所以长方形的长是18.84厘米，宽是10厘米。
【答案】18.84；10；
【练习2】
【解题分析】
因为圆柱的侧面展开图是一个正方形，正方形的边长等于圆柱的高，正方形的边长也等于圆柱底面的周长。根据圆的周长公式C＝2πr，可得底面半径＝周长÷（2×π）。
12.56÷（2×3.14）
＝12.56÷6.28
＝2（cm）
【答案】2；
【练习1】
【解题分析】
已知高与底面直径的比，可先求出底面直径，进而求出底面周长，圆柱的侧面积＝底面周长×高。
24÷4×3
＝6×3
＝18（厘米）
3.14×18×24
＝56.52×24
＝1356.48（平方厘米）
【答案】1356.48
【练习2】
【解题分析】
要求需要彩纸多少平方厘米，就是求这个圆柱的侧面积和一个底面积之和。根据圆柱的侧面积＝2πr×h，底面积＝π×r²。
【答案】
2×3.14×3×10＋3.14×3²
＝188.4＋28.26
＝216.66（平方厘米）
答：需要216.66平方厘米的装饰纸。
【练习3】
【解题分析】
（1）圆柱形铁块的表面积包括两个底面圆的面积和一个侧面矩形的面积，底面圆面积根据公式可求出，侧面矩形的长为底面圆的周长，宽为圆柱的高，据此可求出表面积。
（2）圆柱的体积和圆锥的体积相等，先求出圆柱的体积，再根据圆锥体积公式，已知高，可求出圆锥的底面积。
【解答】
（1）3.14×3²＝28.26（平方厘米）
2×28.26＋2×3.14×3×8
＝56.52＋150.72
＝207.24（平方厘米）
答：这个铁块的表面积是207.24平方厘米。
（2）28.26×8＝226.08（立方厘米）
226.08×3÷8
＝678.24÷8
＝84.78（平方厘米）
答：这个圆锥的底面积是84.78平方厘米。
【练习1】
【解题分析】
先求出圆柱形杯子的体积，根据圆柱体积＝底面积×高，底面积＝πr²，半径等于直径的一半。将求出的体积与500毫升进行比较，若体积大于或等于500毫升则能装下，反之则装不下。
【解答】
3.14×（8÷2）²
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米）
50.24×10＝502.4（立方厘米）＝502.4 毫升
502.4毫升＞500毫升
答：可以装得下。
【练习2】
【解题分析】
（1）抹水泥的面积就是圆柱的底面积加上侧面积，底面积根据圆的面积公式可求出，侧面积等于底面圆的周长乘圆柱的高。
（2）仓库能装粮食的体积就是圆柱的体积，根据圆柱体积公式计算。
【解答】
（1）3.14×（4÷2）²
＝3.14×4
＝12.56（平方米）
3.14×4×3
＝12.56×3
＝37.68（平方米）
12.56＋37.68＝50.24（平方米）
答：抹水泥的面积是50.24平方米。
（2）3.14×（4÷2）²×3
＝3.14×4×3
＝37.68（立方米）
答：这个仓库能装37.68立方米的粮食。
【练习1】
【解题分析】
先根据圆锥底面周长求出底面半径，进而求出底面积，再利用圆锥体积公式求出沙堆的体积。把沙铺在公路上形成一个长方体，长方体的宽8米，高是2厘米（要换算成米），根据长方体的底面积＝宽×高求出底面积，然后用沙堆的体积除以长方体的底面积就可得到铺的长度。
12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（米）
13×3.14×2²×3
＝3.14×4
＝12.56（立方米）
2厘米＝0.02米
12.56÷（8×0.02）
＝12.56÷0.16
＝78.5（米）
【答案】78.5；
【练习2】
【解题分析】
先根据圆锥的体积公式求出圆锥形沙堆的体积，因为这个沙堆的体积占长方体沙坑容积的40％，用圆锥形沙堆的体积除以40％就可得到长方体沙坑的容积。
【解答】
13×3.14×2²×6÷40％
＝13×3.14×4×6÷0.4
＝25.12÷0.4
＝62.8（立方米）
答：这个沙坑的容积62.8立方米。