湖南省怀化市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份湖南省怀化市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以.
故选：D.
2. 如图，角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为角的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，
所以.
故选：B.
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由推不出，故充分性不成立；
由推得出，故必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 已知函数，则（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以.
故选：A.
5. 函数在区间上是单调递减的，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意，的图象开口向上，对称轴为直线，
因为在区间上单调递减，所以，解得.
故选：C.
6. 下列比较大小中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A：因为，，
又，所以，所以，故A错误；
对于B：因为在上单调递减，，所以，故B错误；
对于C：因为，，所以，故C错误；
对于D：因为，又在上单调递增，所以，
即，故D正确.
故选：D.
7. 已知，，，，则下列一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以，，
又，所以，
又，所以，所以.
故选：C.
8. 已知，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
所以，
又，所以，
所以.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题是真命题的有（ ）
A. 若，，则B. 若且，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】对于A：如，，，，满足，，但是，故A错误；
对于B：因为，所以，又，所以，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，则，又，所以，故C正确；
对于D：若，则，故D错误.
故选：BC.
10. 下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位
B. 函数的图象关于点中心对称
C. 若，则
D. 函数在区间内单调递增
【答案】BCD
【解析】对于A：将函数的图象向左平移个单位得到，故A错误；
对于B：因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；
对于C：因为，所以，
所以，故C正确；
对于D：由，所以，
因为在上单调递增，
所以函数在区间内单调递增，故D正确.
故选：BCD.
11. 若是定义在R上的函数，当时，，且对任意x，，恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 是偶函数
C. 的图象关于对称
D. 若，则恒成立
【答案】ACD
【解析】已知，
令，可得，解得，故A正确；
再令，得，即，
因为不恒成立，所以，所以为奇函数，故B错误；
因为为奇函数，所以关于原点对称，
则的图象关于对称，故C正确；
因为当时，，所以当时，，则；
设任意的，，且，
则，
所以，
因为，，且，
所以，，，，，
所以，即，
所以在上单调递增，则在上单调递增，
又，且当时，，当时，，
所以是R上的增函数，则当时，恒成立，故D正确．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域是______．
【答案】
【解析】，即定义域为.
13. 当时，的最小值是___________.
【答案】4
【解析】由，可得.
可令，即，
则，
当且仅当，时，等号成立.
14. 对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质．下列四个函数中具有性质的有______．（填序号）
①；②；③；④．
【答案】②③④
【解析】对于①：假设具有性质，则在上存在，使得，
即，因为，所以，故方程无解，
即不具有性质，故①错误；
对于②：假设具有性质，则在上存在，使得，
即在时有解，
设，，显然为定义域上的连续函数，
又，，即在上有零点，
所以具有性质，故②正确；
对于③：假设具有性质，则存在，使得，
即有解，
令，显然为连续函数，
又，，所以上存在零点，
所以具有性质，故③正确；
对于④：假设具有性质，则存在，使得，
即有解，
令，显然为连续函数，
又，，
所以在上存在零点，所以具有性质，故④正确.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
解：（1）由，即，解得，
所以，
当时，，
所以.
（2）因为，所以，
又，，
所以，所以实数m的取值范围为.
16. 已知函数．
（1）求的最大值；
（2）若，且直线与的图象在上有交点，求m的取值范围．
解：（1）因为，
因为，所以，
当，即时取得最大值且.
（2）因为，
当，则，所以，则，
又直线与的图象在上有交点，所以.
17. 为了美化城市，某部门计划在一处绿化带做一个“福地怀化”字样的园圃，如图所示，该园圃的形状是扇形挖去半径为其一半的扇形后得到的扇环，园圃的外围周长为50m，其中圆心角小于，的长不超过10m．设（单位：m），园圃的面积为（单位：）．
（1）写出关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域；
（2）当x为多少时，园圃的面积最大，求出y的最大值及此时与的长．
解：（1）在扇形中，由题意得，，
由扇形面积公式得扇形的面积为，
扇形的面积为，
故，由弧长公式得的长度为，
长度为，而园圃的外围周长为50m，
故，解得，
因为圆心角小于，所以，
解得，而，故，
故，该函数的定义域为.
（2）由二次函数性质得在内单调递增，
当时，的最大值为，
的长度为，
的长度为.
18. 已知函数是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）求的最小值；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）函数的定义域为，
因为为偶函数，所以，
即，解得，
此时函数
的定义域为，
且，
所以为偶函数，符合题意，
所以.
（2）由（1）可得，
因为，，所以，当且仅当，
即时等号成立；
所以，
即的最小值为，当时取得最小值.
（3）由（1）可得，
则，
由不等式对任意恒成立，
即不等式对任意恒成立，
令，则，，
所以不等式对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
因为函数在上单调递增，
所以当时取得最小值，
所以，即实数的取值范围为.
19. 若定义在上的函数满足：存在非零实数，对，都有，则称函数是可分解函数．
（1）判断函数是否为可分解函数，如果是，求出一个的值；如果不是，请说明理由；
（2）若是可分解函数，且存在，使得对，都有，求，；
（3）对于函数，是否存在，，使得是可分解函数？若存在，求出，；若不存在，请说明理由．
解：（1）函数是可分解函数，
因为，，
且，
所以，即对，都有，
所以存在，使函数是可分解函数（答案不唯一）.
（2）因为是可分解函数，所以，
令，可得，所以；
又，所以且，
所以，
若，则当时，，不符合题意；
所以.
（3）因为是可分解函数，所以且，
即，即，又，所以，所以；
又，否则且，
则，
则当时，，与矛盾；
所以，又，所以，所以或；
当，即时，，
此时，
而，
则，不符合题意，故舍去；
当，即时，，
此时，
而，
则，符合题意；
综上可得，存在，，使得函数是可分解函数.