2026届高三数学一轮复习课后习题规范答题增分专项3 高考中的数列问题（Word版附解析）

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(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记Sn为数列{lg3an}的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.
解:(1)设等比数列{an}的公比为q,则an=a1qn-1.
由已知得a1+a1q=4,a1q2-a1=8,
解得a1=1,q=3.
所以数列{an}的通项公式为an=3n-1.
(2)由(1)知lg3an=n-1,故Sn=n(n-1)2.
由Sm+Sm+1=Sm+3,得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0,解得m=-1(舍去),m=6.
2.(2021新高考Ⅰ,17)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.
(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;
(2)求{an}的前20项和.
解:(1)b1=a2=a1+1=2,
b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.
由bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,
得bn+1-bn=a2n+3-a2n=3.
所以bn是首项为2,公差为3的等差数列,
所以bn=2+(n-1)×3=3n-1.
(2)由(1)知,数列an的偶数项组成的数列是以3为公差的等差数列,由已知得an=an+1-1,n为奇数,所以数列{an}的奇数项组成的数列也是以3为公差的等差数列.
设数列an的前n项和为Sn,则S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=10+10×92×3+20+10×92×3=300,
所以an的前20项和为300.
3.在①a1=-8,a2=-7,an+1=kan+1(n∈N*,k∈R);②若{an}为等差数列,且a3=-6,a7=-2;③设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=12n2-172n(n∈N*)这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.
在数列{an}中, .记Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,求T20.
解:若选择①,
因为an+1=kan+1,所以a2=ka1+1,
即-8k+1=-7,解得k=1,
则an+1-an=1,即数列{an}是首项为-8,公差为1的等差数列,
故an=n-9;
若选择②,
设等差数列{an}的公差为d,
因为a3=-6,a7=-2,
所以a1+2d=-6,a1+6d=-2,
解得a1=-8,d=1,故an=a1+(n-1)d=n-9;
若选择③,
因为Sn=12n2-172n,
所以a1=S1=12-172=-8,
当n≥2时,Sn-1=12(n-1)2-172(n-1)=12n2-192n+9,
则an=Sn-Sn-1=n-9(n≥2),
因为a1=-8也满足上式,所以an=n-9.
由an≥0,得n≥9,
故T20=(-a1)+(-a2)+(-a3)+…+(-a8)+a9+a10+a11+…+a20=-(a1+a2+a3+…+a8)+(a9+a10+a11+…+a20)
=-(-8-1)×82+(0+11)×122=102.
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bnan是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)依题意得3a1+3×22d+5a1+4×52d=50,(a1+3d)2=a1(a1+12d),
解得a1=3,d=2.
故an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,
即an=2n+1.
(2)由题意可知bnan=3n-1,
则bn=an·3n-1=(2n+1)×3n-1.
故Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1,①
3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n,②
由①-②,得
-2Tn=3+2×3+2×32+…+2×3n-1-(2n+1)×3n
=3+2×3×(1-3n-1)1-3-(2n+1)×3n
=-2n·3n,
故Tn=n·3n.
5.已知{an}为等差数列,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数都不在同一列中.
请从①a1=2,②a1=1,③a1=3这三个条件中选一个填入上表,使满足以上条件的数列{an}存在,并在此存在的数列{an}中,试解答下列两个问题:
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn=(-1)n+1an2,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)若选择条件①,当第一行第一列为a1时,由题意知,可能的组合有:
a1=2,a2=6,a3=7,不是等差数列,a1=2,a2=9,a3=8,不是等差数列;
当第一行第二列为a1时,由题意知,可能的组合有:
a1=2,a2=4,a3=7,不是等差数列,a1=2,a2=9,a3=12,不是等差数列;
当第一行第三列为a1时,由题意知,可能的组合有:
a1=2,a2=4,a3=8,不是等差数列,a1=2,a2=6,a3=12,不是等差数列,
则将a1=2放在第一行的任何一列,满足条件的等差数列{an}都不存在.
若选择条件②,则放在第一行第二列,结合条件可知a1=1,a2=4,a3=7,
则公差d=a2-a1=3,
所以an=a1+(n-1)d=3n-2.
若选择条件③,当第一行第一列为a1时,由题意知,可能的组合有:
a1=3,a2=6,a3=7,不是等差数列,a1=3,a2=9,a3=8,不是等差数列;
当第一行第二列为a1时,由题意知,可能的组合有:
a1=3,a2=4,a3=7,不是等差数列,a1=3,a2=9,a3=12,不是等差数列;
当第一行第三列为a1时,由题意知,可能的组合有:
a1=3,a2=4,a3=8,不是等差数列,a1=3,a2=6,a3=12,不是等差数列,
则将a1=3放在第一行的任何一列,满足条件的等差数列{an}都不存在.综上可知,an=3n-2.
(2)由(1)知,bn=(-1)n+1(3n-2)2.
当n为偶数时,Tn=b1+b2+b3+…+bn=a12-a22+a32-a42+…+an-12-an2=(a1+a2)(a1-a2)+(a3-a4)(a3+a4)+…+(an-1+an)(an-1-an)=-3(a1+a2+a3+…+an)=-3×n(1+3n-2)2=-92n2+32n;
当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=-92(n-1)2+32(n-1)+(3n-2)2=92n2-32n-2.
故Tn=-92n2+32n,n=2k,k∈N*,92n2-32n-2,n=2k-1,k∈N*.
6.已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足an=Sn+Sn-1(n≥2).
(1)求证:{Sn}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)记数列1anan+1的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,不等式4Tn