2025届高三数学一轮复习课件规范答题增分专项三高考中的数列问题（人教版新高考新教材）

这是一份2025届高三数学一轮复习课件规范答题增分专项三高考中的数列问题（人教版新高考新教材），共43页。PPT课件主要包含了考情分析，典例突破等内容，欢迎下载使用。

高考数列解答题主要题型有等差数列、等比数列的基本量运算问题;证明一个数列是等差数列或等比数列;根据递推关系求数列的通项公式;求一般数列的前n项和;证明数列型不等式等.题目难度中等,一般为解答题的前两题,有时会命制结构不良型的开放题.
突破策略一　公式法对于等差数列、等比数列,求其通项及求前n项和时,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可.
解:选①.当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,又a1满足an=2n,所以an=2n,选②.
突破策略二　转化法无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,都可以通过变形、整理,把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.例2　已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,且3S1,2S2,S3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=lg3an,T2n=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1,求T2n.
证明:(1)当n=1时,a1=S1=1.∵Sn=(m+1)-man,①∴Sn-1=(m+1)-man-1(n≥2),②由①-②,得an=man-1-man(n≥2),即(m+1)an=man-1.∵a1≠0,m<-1,∴an-1≠0,m+1≠0.
对点训练4设数列{an}的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*),其中m为常数,且m≠0,m≠-3.(1)求证:{an}是等比数列;
(1)证明 当n=1时,(3-m)a1+2ma1=m+3,由m≠-3,得a1=1.由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减,得(3+m)an+1=2man.又m≠-3,m≠0,an≠0,
突破策略一　错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,即和式两边同乘等比数列的公比,然后作差求解.
对点训练5已知{an}为等差数列,前n项和为Sn,{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;(2)设cn=a2nb2n-1,求数列{cn}的前n项和.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2.所以bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.①由S11=11b4,可得a1+5d=16,②联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.故数列{an}的通项公式为an=3n-2,数列{bn}的通项公式为bn=2n.
(2)设数列{cn}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,得a2nb2n-1=(3n-1)×4n,即cn=(3n-1)×4n,故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1
对点训练6已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且3Sn=an+1-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设等差数列{bn}的前n项和为Tn,a2=b2,T4=1+S3,
解 (1)∵3Sn=an+1-1,①∴当n>1时,3Sn-1=an-1,②由①-②,得3(Sn-Sn-1)=3an=an+1-an,则an+1=4an.又a2=3a1+1=4=4a1,∴数列{an}是首项为1,公比为4的等比数列,则an=4n-1.
要证明关于一个数列的前n项和的不等式,一般有两种思路:一是先求和再对和式放缩;二是先对数列的通项放缩再求数列的和,必要时对其和再放缩.例7　已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
对点训练7已知数列{an}为等比数列,数列{bn}为等差数列,且b1=a1=1,b2=a1+a2, a3=2b3-6.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
求解数列中的存在性问题,先假设所求对象存在,再以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在;若推不出矛盾,则得到存在的结果.
假设存在,将Tn代入Tn·2n-1=n+50,得2n-n-26=0.令f(x)=2x-x-26(x>0),则f'(x)=2xln 2-1.
因为f'(x)=2xln 2-1>0对于x∈[1,+∞)恒成立,所以f(x)=2x-x-26在区间[1,+∞)上单调递增.因为f(4)=24-4-26=-14<0,f(5)=25-5-26=1>0,所以不存在正整数x使得f(x)=2x-x-26=0,即不存在正整数n使得2n-n-26=0.故不存在正整数n使得Tn·2n-1=n+50成立.