2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练48 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（Word版附解析）

这是一份2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练48 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。
1.十字路口来往的车辆,如果不允许掉头,那么行车路线共有( )
A.24种B.16种C.12种D.10种
答案:C
解析:根据题意,行车路线的起点有4种,行驶方向有3种,因此行车路线共有4×3=12(种).故选C.
2.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有( )
A.10种B.20种
C.25种D.32种
答案:D
解析:5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有25=32种.故选D.
3.如图,给A,B,C,D,E 5个点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数为( )
A.24B.48
C.96D.120
答案:C
解析:先涂A,B,E三个点,有4×3×2=24(种)涂色方法;再涂点C,有2种涂色方法;最后涂点D,有2种涂色方法.故不同的涂色方法有24×2×2=96(种).
4.某学校有东、南、西、北四个校门,学校对进入四个校门做出如下规定:学生只能从东门或西门进入校园,教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园(不分先后顺序),则进入校园的方式共有( )
A.6种B.12种C.24种D.32种
答案:D
解析:第一步安排学生,因为学生只能从东门或西门进入校园,所以3名学生进入校园的方式共有23=8(种);
第二步安排教师,因为教师只能从南门或北门进入校园,所以2名教师进入校园的方式共有22=4(种).
由分步乘法计数原理,可知2名教师和3名学生进入校园的方式共有8×4=32(种).
5.已知集合M={1,-1,2},N={-3,4,6,-8},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在平面直角坐标系中位于第一、第二象限内的不同点的个数为( )
A.18B.16C.14D.12
答案:C
解析:分两类:第一类,M中的元素作为点的横坐标,N中的元素作为点的纵坐标,在第一象限内的点共有2×2=4(个),在第二象限内的点共有1×2=2(个);第二类,M中的元素作为点的纵坐标,N中的元素作为点的横坐标,在第一象限内的点共有2×2=4(个),在第二象限内的点共有2×2=4(个).
故所求不同点的个数为4+2+4+4=14.
6.三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数是 .
答案:36
解析:另两边长用x,y(x,y∈N*)表示,且不妨设1≤x≤y≤11,要构成三角形,必须x+y≥12.当y取11时,x可取1,2,3,…,11,有11个三角形;当y取10时,x可取2,3,…,10,有9个三角形;……当y取6时,x只能取6,只有1个三角形.
因此所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.
7.已知有5名同学参加某演讲比赛,其中3名女生,2名男生.若男生不排第一个演讲,且2名男生不能相邻演讲,则不同的演讲顺序有 种.
答案:36
解析:第一步,安排女生演讲顺序,有3×2×1=6(种);第二步,安排男生演讲顺序,女生安排好后,有4个空位,因为男生不排第一个演讲,且两名男生不能相邻演讲,所以只有3个空位可选,有3×2=6(种).故演讲顺序有6×6=36(种).
8.在数字0,1,2,3,4,5,6中,任取3个不同的数字为系数a,b,c组成二次函数y=ax2+bx+c,则一共可以组成 个不同的解析式.
答案:180
解析:分三步完成:第一步任取一个数为a,由于a不为0,有6种方法;第二步从剩余的6个数中任取一个数为b,有6种方法;第三步从剩余的5个数中任取一个数为c,有5种方法.
由分步乘法计数原理,可知共有6×6×5=180(个)不同的解析式.
9.我们把中间位上的数字最大,而两边依次减小的多位数称为“凸数”.如132,341等,则从1,2,3,4,5中任取3个数,可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是 .
答案:20
解析:根据“凸数”的特点,中间的数字只能是3,4,5,故分三类.
第一类,当中间数字为“3”时,此时有2种;
第二类,当中间数字为“4”时,从1,2,3中任取两个放在4的两边,故有A32=6(种);
第三类,当中间数字为“5”时,从1,2,3,4中任取两个放在5的两边,故有A42=12(种).
根据分类加法计数原理,可知组成无重复数字的三位凸数的个数是2+6+12=20.
10.如图,用4种不同的颜色给图中5个区域涂色,要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,且4种颜色都要使用,则不同的涂色方法种数为 .
答案:96
解析:按区域1与3是否同色分类:
第一类,区域1与3同色,第一步,涂区域1与3,有4种涂色方法;第二步,涂区域2,4,5,有A33种涂色方法.
故当区域1与3同色时,共有4A33=24(种)涂色方法.
第二类,区域1与3不同色,第一步,涂区域1与3,有A42种涂色方法;第二步,涂区域2,有2种涂色方法;第三步,涂区域4,只有1种涂色方法;第四步,涂区域5,有3种涂色方法.
故当区域1与3不同色时,共有A42×2×1×3=72(种)涂色方法.
由分类加法计数原理,可知不同的涂色方法种数为24+72=96.
二、综合应用
11.如图,现提供5种颜色给图中5个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方法共有( )
A.120种B.260种
C.340种D.420种
答案:D
解析:先涂区域1,2,5,有A53=60(种)涂色方法;再涂区域3,4,若区域3与区域1同色,则区域3只有1种涂色方法,区域4有3种涂色方法,若区域3与区域1不同色,则区域3有2种涂色方法,区域4有2种涂色方法.故不同的涂色方法有60×(1×3+2×2)=420(种).
12.某校开设8门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门.学校规定每名同学选修三门,则每名同学不同的选修方案种数为( )
A.30B.40C.90D.140
答案:B
解析:因为A,B,C三门至多选一门,所以可分两类:
第一类,A,B,C三门课都不选,有C53=10(种)方案;
第二类,A,B,C中选一门,剩余5门课中选2门,有C31C52=30(种)方案.
故根据分类加法计数原理知共有10+30=40(种)方案.
13.用数字3,6,9组成四位数,各数位上的数字允许重复,且数字3至多出现一次,则可以组成的四位数的个数为( )
A.81B.48C.36D.24
答案:B
解析:根据题意,分两类情况讨论.
第一类,数字3不出现,此时四位数的每个数位上的数都为6或9,故四位数有2×2×2×2=16(个).
第二类,数字3出现一次,此时四位数的一个数位上的数为3,剩下的三个数位上的数为6或9,故四位数有4×2×2×2=32(个).
故可以组成的四位数的个数为16+32=48.
14.(2023新高考Ⅰ,13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有 种.
答案:64
解析:若选2门课,只需体育类和艺术类各选1门,有C41×C41=16(种)不同的选课方案;
若选3门课,分两类.体育类选1门、艺术类选2门,体育类选2门、艺术类选1门,有C41×C42+C42×C41=48(种)不同的选课方案.
综上,共有16+48=64(种)不同的选课方案.
15.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3 443,94 249等.显然两位回文数有9个:11,22,33,…,99;三位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999,则五位回文数有 个.
答案:900
解析:第一步,选左边第一个数字和右边第一个数字相同,有9种选法;
第二步,选左边第二个数字和右边第二个数字相同,有10种选法;
第三步,选左边第三个数字,也就是右边第三个数字,有10种选法.
故五位回文数有9×10×10=900(个).
16.已知集合M={1,2,3},N={1,2,3,4},定义函数f:M→N.若点A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),△ABC的外接圆的圆心为D,且DA+DC=λDB(λ∈R),则满足条件的函数有 种.
答案:12
解析:由D为△ABC的外接圆的圆心,DA+DC=λDB(λ∈R),可知△ABC为等腰三角形,且|BA|=|BC|,则必有f(1)=f(3),f(1)≠f(2).
当f(1)=f(3)=1时,f(2)=2,3,4,有3种;
当f(1)=f(3)=2时,f(2)=1,3,4,有3种;
当f(1)=f(3)=3时,f(2)=1,2,4,有3种;
当f(1)=f(3)=4时,f(2)=1,2,3,有3种.
故满足条件的函数有12种.
三、探究创新
17.如图,某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动,准备在一抛物线形地块上的A,B,C,D,G,F,E七点处各种植一棵树苗,其中点A,B,C分别与点E,F,G关于抛物线的对称轴对称.现有三种树苗,要求每种树苗至少种植一棵,且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗,则不同的种植方法种数是 .
答案:36
解析:依题意,只需考虑A,B,C,D四点处种植树苗情况即可.当A,B,C三点处种植树苗均不相同时,有A33=6(种)种植方法,此时点D处有3种种植方法,故不同的种植方法有6×3=18(种);当A,B,C三点处有两点种植树苗相同时,有C32A32=18(种)种植方法,此时点D处只有1种种植方法,故不同的种植方法有18×1=18(种).由分类加法计数原理,可知不同的种植方法有18+18=36(种).
18.用6种不同的颜色给三棱柱ABC-DEF的六个顶点涂色,要求每个点涂一种颜色,且每条棱的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有 种.
答案:8 520
解析:第一类,6种颜色都用上,此时涂色方法有A66=720(种).
第二类,6种颜色只用5种,第一步,选出5种颜色,方法有C65种;第二步,涂A,B,C三点,方法有A53种;第三步,涂D,E,F三点中的两点,方法有A32种;第四步,涂剩余的一点,方法有2种.故此时涂色方法有C65·A53·A32·2=4 320(种).
第三类,6种颜色只用4种,第一步,选出4种颜色,方法有C64种;第二步,涂A,B,C三点,方法有A43种;第三步,涂D,E,F三点中的一点,方法有3种;第四步,涂剩余的两点,方法有3种.
故此时涂色方法有C64·A43·3×3=3 240(种).
第四类,6种颜色只用3种,第一步,选出3种颜色,方法有C63种;第二步,涂A,B,C三点,方法有A33种;第三步,涂D,E,F三点,方法有2种.故此时涂色方法有C63·A33·2=240(种).
由分类加法计数原理,可知不同的涂色方法有720+4 320+3 240+240=8 520(种).