2024-2025学年江苏省无锡市青山高级中学高一下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省无锡市青山高级中学高一下学期期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面α，直线m，n，如果m/\!/n，且m/\!/α，那么n与α的位置关系是( )
A. 相交B. n/\!/α或n⊂αC. n⊂αD. n/\!/α
2.若复数z=a2−4+(a−2)i为纯虚数，则实数a的值为( )
A. 2B. 2或−2C. −2D. −4
3.已知a，b是平面内两个不共线向量，AB=ma+2b，BC=3a−b，A，B，C三点共线，则m=( )
A. −23B. 23C. −6D. 6
4.如图，矩形O′A′B′C′是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′=4,O′C′=1，那么▱OABC的面积为( )
A. 4B. 4 2C. 8D. 8 2
5.如图，在▵ABC中，已知∠CBA=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB=( )
A. 4 3B. 5 2C. 2 10D. 5 62
6.若一扇形的圆心角为43π，面积为6π，该扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的体积为( )
A. 2 53πB. 4 5πC. 4 53πD. 5 53π
7.在锐角▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b−2c=acsC−2acsB，则cb=( )
A. 13B. 12C. 1D. 2
8.如图，设Ox，Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标，则该坐标系中Mx1,y1和Nx2,y2两点间的距离为( )
A. x1−x22+y1−y22−2x1−x2y1−y2sinθ
B. x1−x22+y1−y22+2x1−x2y1−y2sinθ
C. x1−x22+y1−y22−2x1−x2y1−y2csθ
D. x1−x22+y1−y22+2x1−x2y1−y2csθ
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，复数z=3+2i2−i，则以下为真命题的是( )
A. z在复平面内对应的点在第一象限
B. z的虚部是−75
C. |z|=3 5
D. 若复数z1满足z1−z=1，则z1的最大值为1+ 655
10.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是( )
A. 若▵ABC为锐角三角形，则sinA>csB
B. 若sin2A=sin2B，则▵ABC为等腰三角形
C. 若A>B，则sinA>sinB
D. 若a=8，c=10，B=60∘，则符合条件的▵ABC有两个
11.如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=BC=AD=12CD, CD=4，则( )
A. 该圆台的高为1
B. 该圆台轴截面面积为3 3
C. 该圆台的体积为7 3π3
D. 一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等边▵ABC中，AC=1，则AB⋅BC= ．
13.已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为 ．
14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点)如图，已知锐角▵ABC外接圆的半径为4，且三条圆弧沿▵ABC三边翻折后交于点P.若AB=6，则cs∠PAC= ；若AC:AB:BC=6:5:4，则PA+PB+PC的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知m∈R，复数z=2m+3+(m−1)i．
(1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围；
(2)若z满足z+3z=n+4i，n∈R，求|n+mi3+4i|的值．
16.(本小题15分)
已知a=(2,1)，b=(−3,4)．
(1)设向量a，b的夹角为θ，求csθ的值；
(2)求向量b在向量a上的投影向量的坐标；
(3)若a−b//a+kb，求k的值．
17.(本小题15分)
已知三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点．
(1)求证：BC1//平面CA1D；
(2)若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1= 3，求三棱锥B−A1DC体积．
18.(本小题17分)
在▵ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且m=csB,csC，n=(2a+c,b)，m⋅n=0，
(1)求角B的大小；
(2)若a+c=4，▵ABC的面积为34 3，求▵ABC的周长．
19.(本小题17分)
如图所示，在▵ABC中，P在线段BC上，满足2BP=PC，O是线段AP的中点．
(1)延长CO交AB于点Q(图1)，求AQQB的值；
(2)过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F(图2)，设EB=λAE，FC=μAF．
(i)求证2λ+μ为定值；
(ii)设▵AEF的面积为S1，▵ABC的面积为S2，求S1S2的最小值．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.D
5.D
6.C
7.D
8.D
9.AD
10.AC
11.BCD
12.−12/−0.5
13.π2/π:2
14.34/0.75 ； 232
15.【详解】(1)复数z在复平面内对应的点为(2m+3,m−1)，
由z在复平面内对应的点位于第四象限，得2m+3>0m−1