2024-2025学年江苏省无锡市第六高级中学高一下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省无锡市第六高级中学高一下学期期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(1,2)，b=(x,−1)，若向量a→/\!/b→，则x=( )
A. 2B. 12C. −12D. −2
2.已知一个物体在三个力F1=(6,−5),F2=(−3,4),F3的作用下处于静止状态，则F3=( )
A. (−3,1)B. (−3,−1)C. (3,−1)D. (3,1)
3.已知zi=i−1，则z的虚部为( )
A. −1B. 1C. −iD. i
4.已知向量a，b满足a=1，b=2，a，b夹角为3π4，则b在a上的投影向量为( )
A. − 2B. 2aC. − 2aD. − 24a
5.在▵ABC中，b2+c2−a2=bc，且sinB=sinC，则▵ABC的形状是( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
6.复数z=3−4i1+2i，则z在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
7.若平面向量a,b,c两两夹角相等，且a=1,b=1,c=3，则a+b+c=( )
A. 2B. 5C. 2或5D. 2或 5
8.已知1+2i是关于x的方程x2−px+q=0的一个根，p,q均为实数，则p+q=( )
A. 7B. 3C. −1D. −3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于复数，给出下列命题正确的是( )
A. 3>3iB. 16>4i2
C. 2+i>1+iD. 2+3i>2+i．
10.在下列各组向量中，不可以作为基底的是( )
A. e1=(0,0),e2=(1,−2)B. e1=(−1,2),e2=(5,7)
C. e1=(3,5),e2=(6,10)D. e1=(2,−3),e2=12,−34
11.已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若sinA>sinB，则A>B
B. 若a2+b2>c2，则▵ABC为锐角三角形
C. 若acsA=bcsB，则▵ABC为等腰三角形或直角三角形
D. 若b=2，A=π3，这样的三角形有两解，则a的取值范围为( 3,2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如图).若A船的航行速度为60n mile/ℎ，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距 n mile．
13.定义运算abcd=ad−bc，则符合条件1−1zzi=4+2i的复数z= ．
14.如图，在ΔABC中，D是BC的中点，E,F是A,D上的两个三等分点，BA⋅CA=4，BF⋅CF=−1，则BE⋅CE的值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在复数范围内解方程：
(1)x2+16=0；
(2)x2+4x+5=0．
16.(本小题15分)
已知复数z=m2+m−6+m2−m−2i(m∈R)．
(1)若z是实数，求实数m的值；
(2)若z是虚数，求实数m的取值范围；
(3)若z是纯虚数，求实数m的值．
17.(本小题15分)
已知向量a=(3,2)，b=(x,−1)．
(1)当a+2b⊥2a−b且x>0时，求a−b；
(2)当c=(−8,−1)，a与b+c夹角为钝角，求x范围．
18.(本小题17分)
如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB=2CD=4，E、F分别为DC、CB的中点，且AC⋅EF=2，P是线段AB上的一个动点．
(1)若EF=mAB+nAD，求mn的值；
(2)求AD的长；
(3)求PE⋅PF的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，有一块空地▵OAB，其中OA=3km，∠OAM=60°，∠AOB=90°.当地政府计划将这块空地改造成一个度假区，拟在中间挖一个人工湖▵OMN，其中M,N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在▵OAM地带上方便建造景观，剩下的▵OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在▵OAN的周围安装防护网．设∠AOM=θ.
(1)当AM=32km时，求θ的值，并求此时防护网的总长度；
(2)为节省投入资金，人工湖▵OMN的面积要尽可能小，求：▵OMN面积的最小值．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.C
5.C
6.B
7.C
8.A
9.BD
10.ACD
11.ACD
12.30 2
13.3−i
14.78
15.【详解】(1)由x2+16=0，得x2−16i2=0，即(x−4i)(x+4i)=0，解得x=−4i或x=4i，
所以方程的解为x=−4i或x=4i．
(2)由x2+4x+5=0，得(x+2)2=i2，则x+2=±i，解得x=−2±i，
所以方程的解为−2±i．

16.【详解】(1)若z是实数，则m2−m−2=0，解得m=2或m=−1．
(2)若z是虚数，则m2−m−2≠0，解得m≠2且m≠−1．
(3)若z是纯虚数，则m2−m−2≠0,m2+m−6=0,解得m=−3．

17.【详解】(1)a=(3,2)，b=(x,−1)，则2a−b=(6−x,5)，a+2b=(3+2x,0)，
由于a+2b⊥2a−b可得a+2b⋅2a−b=(6−x)(3+2x)=0，
由于x>0，故x=6，
此时a=(3,2)，b=(6,−1)，故a−b=(−3,3)，则a−b= 32+32=3 2，
(2)c=(−8,−1)，b+c=(x−8,−2)，
由a//(b+c)，可得3×(−2)−2×(x−8)=0，解得x=5，
由a⋅(b+c)=3(x−8)−4