江苏省无锡市青山高级中学2024-2025高二下学期期中考试 数学试卷（含解析）

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一、单选题
1．若，则（ ）
A．2B．4C．2或4D．2或3
2．已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84
3．在的展开式中，的系数是（ ）
A．B．C．20D．80
4．2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合再次以获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．甲､乙､丙､丁､戊､己共6名同学进行数学文化知识比赛，决出第1名到第6名的名次.甲､乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名.”对乙说：“你和丙的名次是相邻的.”从对这两人回答分析，这6人的名次排列的所有可能不同情况有（ ）种.
A．144B．156C．168D．192
7．已知函数，若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钓着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，若从顶端投入1024粒小球，则落入3号格子的小球的均值为（ ）
A．93B．120C．210D．300
二、多选题
9．已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），记“男生甲被选中”，“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．对于函数，下列结论正确的（ ）
A．在处取得极大值B．有两个不同的零点
C．D．若恒成立，则
三、填空题
12．一质点的运动方程为（s的单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为 .
13．展开式中的系数为 ．
14．已知函数有三个不同的零点，其中则的值为 .
四、解答题
15．3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．
（1）从中选出1名男生和3名女生排成一列；
（2）全体站成一排，男生必须站一起；
（3）全体站成一排，甲不站排头，乙站在排尾．
16．已知，求解：
（1）；
（2）；
（3）．
17．已知函数．
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若在上有解，求实数的取值范围．
18．DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
19．已知函数
（1）当 时，求曲线 )在点处的切线方程;
（2）讨论函数的单调性；
（3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，所以或，解得或.
故选D.
2．【答案】C
【详解】由题意得，
由正态曲线的对称性知，
所以．
故选C
3．【答案】D
【分析】先求出展开式中的通项，再求出值即可．
【详解】展开式中的通项公式为：
，
令，则，
展开式中的系数为，
故选D．
4．【答案】B
【详解】“莎头”组合再次以获胜，即前局“莎头”组合胜局、负局，第局“莎头”组合获胜，
所以“莎头”组合再次以获胜的概率.
故选B
5．【答案】D
【详解】由可得，
令可得，即.
故选D
6．【答案】C
【详解】依题意，甲､乙都不能排第一名，乙和丙的名次相邻，
当丙是第一名时，则第二名肯定是乙，则共有种不同名次排列情况；
当丙不是第一名时，甲､乙都不能排第一名，乙和丙的名次相邻，
则共有种不同名次排列情况，
故共有种不同名次排列情况.
故选C
7．【答案】D
【详解】由可得，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即，即，
令，则，
当时，，则单调递增，
所以，
所以，即.
故选D
8．【答案】B
【详解】由于小球是等概率的向左或向右下落，则最后落入格子的号码数，
所以，
又1024个小球落入第三个格子的球数，
所以，即落入第三个格子的球数均值为120.
故选B.
9．【答案】BD
【详解】对于，由分布列的性质可得，解得，故错误；
对于，故B正确；
对于
，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选BD.
10．【答案】ACD
【详解】由题意，总情况数为，
符合事件的情况有先选定男生甲，再从剩下的人种选出人，则情况数为，
所以，
对于事件“男生甲被选定，且男生乙和女生丙至少一个被选中”，
符合事件的情况有
①先选定男生甲，再选定男生乙，
最后再除男生甲乙与女生丙之外的人中选出人，则情况数为，
②先选定男生甲，再选定女生丙，
最后再除男生甲乙与女生丙之外的人中选出人，则情况数为，
③先选定男生甲，再选定男生乙与女生丙，则情况数为，
所以，
对于事件，易知其对立事件“男生乙与女生丙都不选”，
则事件的情况有从除男生乙与女生丙之外人选人，则情况数为，
所以，
由条件概率公式可得．
故选ACD．
11．【答案】ACD
【详解】由函数，可得，
令，解得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，所以A正确；
当时，，当时，，
则函数的图象，如图所示，
所以函数有且仅有一个零点，所以B错误；
由函数的图象，可得，
因为，所以，所以C正确；
若在恒成立，则在恒成立，
令，可得，
当时，；当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以，所以D正确.
故选ACD.
12．【答案】12
【详解】因为质点的运动方程为，所以，
所以当时的瞬时速度为.
13．【答案】
【详解】因为展开式通项，
所以展开式中项为：
，
所以展开式中的系数为.
14．【答案】1
【详解】设，
，
当时，；
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
且时，；时，，
∴，
作出的图象，如图
要使有三个不同的零点，其中
令，则需要有两个不同的实数根（其中）
可得，
∵，∴，则
∴，则，且
∴.
15．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）从3名男生中任选1名有种选法，从4名女生中任选3名有种选法，
再将选取的4人全排列有种排法，由分步乘法计数原理可得共有种排法．
（2）将3个男生看作一个整体，然后与4个女生全排有种，
再将3个男生全排列有种，由分步乘法计数原理可得共有种排法．
（3）乙站在排尾，对于甲有种排法，其他人有种排法，
由分步乘法计数原理可得共有种排法．
16．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）令，得①．
令，得②，
由①②，得，
.
（2）求，即相当于求二项式的系数和，
令，得．
（3）因为，
两边分别求导，得，
令，得．
17．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值；
（2）
【详解】（1）当时，，所以，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值；
（2）当时恒成立，所以；
当，在上有解，即在上有解，
即在上有解，
令，，
则
由（1）知时，即，
所以当时，当时；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数的取值范围是.
18．【答案】（1）分布列见解析，1
（2）（ⅰ）；（ⅱ）1100
【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
的分布列为
的数学期望．
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
，
即每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，
，则（万元），
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
19．【答案】（1）
（2）答案见解析
（3）3
【详解】（1）当时，函数，
求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程是.
（2），
当时，，恒成立，函数在定义域单调递减；
当时，由，可得：，由，可得，
所以在单调递减，在单调递增；
综上：当时，在定义域单调递减，无增区间，
当时，在单调递减，在单调递增；
（3），，
令，求导得，
由（2）知，在上单调递增，，，
因此存在唯一，使得，即，
当时，，即，当时，，即，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，则，
所以整数的最大值是3.
-2
1
3
0
1
2