2024-2025学年上海市青浦高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市青浦高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设e1、e2是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是( )
A. e1和e1+2e2B. e1+2e2与3e1−e2
C. e1+2e2与−2e1−4e2D. 3e1−e2与4e2−e1
2.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n⋅1⋅3…(2n−1)，从k到k+1，左边需要增乘的代数式为( )
A. 2k+1B. 2(2k+1)C. 2k+1k+1D. 2k+3k+1
3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若2bcsin2A=b2+c2−a2，则A的大小不可能为( )
A. π6B. π3C. π2D. 5π6
4.已知D为△ABC所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为( )
①若DA+DB+DC=0，则D为△ABC内心
②若(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，则△ABC为等腰三角形
③若DA⋅DB=DB⋅DC=DC⋅DA，则D为△ABC的外心
④若AD=λ(AB|AB|sinB+AC|AC|sinC)(λ∈R)，则点D的轨迹一定经过△ABC的重心
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={2,4}，则A−= ______．
6.不等式−2x2+3x+5>0的解集为______．
7.已知扇形的圆心角α=120°，半径为4，则该扇形的面积为______．
8.计算n=1+∞13n= ______．
9.已知角α的终边经过点P(−3,4)，则cs(π2+α)= ______．
10.在复数范围内，−4的所有平方根为______．
11.已知等差数列{an}满足a2+a4+a6=3，a3+a5+a7=9，则a1+a8= ______．
12.若α，β都是锐角，且csα= 55，sin(α−β)= 1010，则β=______．
13.已知Sn为数列{an}的前n项和，且lg2(Sn+1)=n+1，则数列{an}的通项公式为______．
14.已知向量b=(1,2)，向量a在b方向上的投影向量为−12b，则a⋅b= ______．
15.已知函数f(x)=sinπx3，数列{an}满足a1=1，且an+1=(1+1n)an+1n(n为正整数)，则f(a2025)= ______．
16.已知A1，A2，A3，A4，A5五个点，满足AnAn+1⋅An+1An+2=0，|AnAn+1|⋅|An+1An+2|=2n−1，其中n=1，2，3，则|A1A5|的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知i为虚数单位，m∈R，复数z=(m2−8m+15)+(m2−4m+3)i．
(1)若z是实数，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求m的值．
18.(本小题14分)
已知O为坐标原点，OA=(2,3)，OB=(4,2)，OC=(x,4)．
(1)若A、B、C三点共线，求x的值；
(2)若AB与OC夹角为钝角，求x的取值范围．
19.(本小题14分)
已知复数z1=1−i，z2=1−2i，i是虚数单位．
(1)若z2是实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，求实数a和b的值；
(2)当α为何值时，关于x的二次方程x2−(tanα−z1+1)x−(z2+ 3+3i)=0有一个实根．
20.(本小题14分)
某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%．
(1)求今年1月到12月该消毒剂的总产量；
(2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在120升以内(不含120升)？
参考公式：月产消毒剂中不合格的量=月产量×(1−月产品合格率)
参考数据：1.0510≈1.6，1.0511≈1.7，1.0512≈1.8，1.0513≈1.9
21.(本小题14分)
定义：若非零向量OM=(a,b)，函数f(x)的解析式满足f(x)=asinx+bcsx，则称f(x)为OM的“线性函数”，OM为f(x)的“线性向量”，
(1)若向量OM为函数f(x)=2sin(x+π6)+4sin(x−π2)的“线性向量”，求|OM|；
(2)若函数f(x)为向量OM=( 3,−1)的“线性函数”，在△ABC中，BC=2 3,f(A)=1，且csBcsC=−18，求AB+AC的值；
(3)若函数f(x)为向量OM=( 3,1)的“线性函数”，且当x∈[0,11π6]时，方程f2(x)+(2−a)f(x)+a−3=0存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.B
5.{1,3,5}
6.(−1,52)
7.163π
8.12
9.−45
10.±2i
11.4
12.π4
13.an=3,n=12n,n≥2
14.−52
15.− 32
16.2 63
17.(1)若z是实数，则m2−4m+3=0，解得m=1或3；
(2)若z是纯虚数，则m2−8m+15=0m2−4m+3≠0，解得m=5．
(1)由z是实数，则m2−4m+3=0解出即可；
(2)由z是纯虚数，则m2−8m+15=0m2−4m+3≠0，解出即可．
本题考查复数的基本概念，是基础题．
18.(1)因为OA=(2,3)，OB=(4,2)，OC=(x,4)，
所以AB=OB−OA=(2,−1),BC=OC−OB=(x−4,2)，
因为A、B、C三点共线，所以AB与BC共线，
所以2×2+(x−4)=0，解得x=0；
(2)由(1)知AB=(2,−1)，
因为AB与OC夹角为钝角，所以AB⋅OC=2x−4