2024-2025学年江苏省无锡市第一中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省无锡市第一中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果质点沿直线运动，位移S(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为S=2t3，则该质点在t=3s的瞬时速度(单位：m/s)为
A. 6B. 18C. 54D. 81
2.掷一个均匀骰子．记A为“掷得点数大于2”，B为“掷得点数为奇数”，则PAB为
A. 56B. 34C. 23D. 12
3.已知ξ的分布列如下表所示，设η=2ξ−2，则Eη=
A. 173B. 56C. 176D. 113
4.已知随机事件A,B满足PA=23，PAB=25，则PBA=
A. 34B. 12C. 35D. 25
5.一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X，则PX≤2=( )
A. 45B. 25C. 15D. 35
6.已知函数fx=ex−f′1x，则f′1=( )
A. 0B. 1C. e2D. e4
7.在1−x(1+2x)5的展开式中，x3的系数是( )
A. 20B. −20C. 40D. −40
8.某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20，30，50名学生，则不同的抽样结果共有( )
A. C204C306C5020B. C205C3010C5015C. C206C309C5015D. C2010C3010C5010
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.x+2 x5的展开式中，下列结论正确的是
A. 展开式共5项B. 含x2项的系数为40
C. 无常数项D. 所有项的系数之和为35
10.已知函数fx，其导函数f′x的图象如图所示，则下列说法错误的是
A. fx有2个极值点B. fx在x=1处取得极小值
C. fx有极大值，没有极小值D. fx在−∞,1上单调递减
11.已知函数fx=x3−3x，则下列说法正确的是
A. fx有两个极值点B. fx的极大值为2
C. fx在区间−1,1上单调递增D. fx的极小值为−2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.解方程：3Cx−3x−7=5Ax−42，则x= ．
13.已知函数fx=x−sinx，x∈−π2,π2，则fx的最大值为 ．
14.某同学收集了第一届全国学生(青年)运动会吉祥物“壮壮”和“美美”的卡片各一张，第19届亚运会吉祥物“宸宸”“琮琮”和“莲莲”的卡片各一张.现该同学准备将这5张卡片贴在墙上，若将“壮壮”和“美美”的卡片贴在“宸宸”和“莲莲”之间，则不同的贴法种数为 .(用数字作答)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌唱节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单：
(1)歌唱节目排在两头，有多少种排法?
(2)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法?
(3)歌唱节目、舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法?
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2−5x+2lnx．
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间14,4上的最大值．
17.(本小题15分)
在 x−2x28的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
(2)若第k项是有理项，求k的取值集合．
18.(本小题17分)
人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球;乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12(先验概率)．
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率;
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球;方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex(e为自然对数的底数，e=2.71828⋯)，g(x)=ax+b，
⑴若ℎ(x)=f(x)g(x)，a=1，求ℎ(x)在[0,1]上的最小值φ(b)的表达式；
⑵若b=e−a，当x≥1时，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
⑶若b=0，方程f(x)=g(x)的两根为x1,x2 (x12．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.D
5.A
6.C
7.C
8.C
9.BCD
10.ABD
11.ABD
12.11
13.π2−1
14.20
15.(1)先排两头的歌唱节目，2个歌唱节目进行全排列，则排法有A22=2×1=2种.
再排中间的5个节目，这5个节目进行全排列，排法有A55=5×4×3×2×1=120种.
所以歌唱节目排在两头的排法共有2×120=240种.
(2)7个节目进行全排列，排法有A77=7×6×5×4×3×2×1=5040种.
3个舞蹈节目进行全排列，排法有A33=3×2×1=6种.
因为三个舞蹈节目出场顺序固定，所以不同的排法共有A77A33=50406=840种.
(3)将2个歌唱节目看成一个整体，内部全排列，排法有A22=2×1=2种.
将3个舞蹈节目看成一个整体，内部全排列，排法有A33=3×2×1=6种.
把这两个整体进行全排列，排法有A22=2×1=2种.
此时形成3个空，将2个小品节目插入这3个空中，排法有A32=3×2=6种.
根据分步乘法计数原理，总排法有2×6×2×6=144种.
16.解：(1)由题意可得f′(x)=2x−5+2x，所以f′(1)=−1，又f(1)=−4，
由直线的点斜式方程可得在x=1处的切线方程为y−(−4)=−(x−1)，即y=−x−3；
(2)因为f(x)=x2−5x+2lnx的定义域为(0,+∞)，
令f′(x)=2x−5+2x=2x2−5x+2x=(2x−1)(x−2)x=0，得x=12或x=2，
所以当x∈(0,12)∪(2,+∞)时，f′(x)>0；当x∈(12,2)时，f′(x)6ln e−74=3−74>0，
所以f(x)在区间[14,4]的最大值为f(4)=4ln2−4．
17.解：(1) Tr+1=C8r x8−r−2x2r=−1rC8r2rx4−52r ， r=0,1,⋯,8 ，
二项式系数最大的项为中间项，即第 5 项，
所以 T5=−14C8424x4−202=1120x−6 ；
(2) Tr+1=C8r x8−r−2x2r=−1rC8r2rx4−52r ， r=0,1,⋯,8 ，
当 4−52r 为整数时为有理项，即 r=0,2,4,6,8 ，
则 k 的取值集合为 1,3,5,7,9 ．
18.解：(1)设“选到甲袋”为事件A1，“选到乙袋”为事件A2，
“摸到红球”为事件B1，“摸到白球”为事件B2，
P(B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)=12×910+12×210=1120．
答：首次试验结束的概率为1120．
(2)①因为B1，B2是对立事件，
所以P(B2)=1−P(B1)=920．
所以P(A1|B2)=P(A1B2)P(B2)=P(B2|A1)P(A1)P(B2)=110×12920=19，
答：选到的袋子为甲袋的概率为19．
②若选择方案一，则原来袋子是甲袋的概率为19，是乙袋的概率为89，
所以方案一中取到红球的概率：
P1=P(A1) P(B1|A1)+ P(A2) P(B1|A2)=19×910+89×210=518．
若选择方案二，则另一个袋子是甲袋的概率为89，是乙袋的概率为19，
所以方案二中取到红球的概率：
P2=P(A1) P(B1|A1)+ P(A2) P(B1|A2)=89×910+19×210=3745．
因为3745>518，所以选择方案二第二次试验结束的概率更大．
19.解：(1)ℎ(x)=ex(x+b)，ℎ′(x)=ex(x+b+1)，
①当b≥−1时，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)在[0,1]上为增函数，此时φ(b)=ℎ(0)=b，
②当b≤−2时，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)在[0,1]上为减函数，此时φ(b)=ℎ(1)=e(b+1)，
③当−2