2024-2025学年江苏省无锡市玉祁高级中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省无锡市玉祁高级中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(1−i)z=i(其中i为虚数单位)，则|z|=( )
A. 12B. 22C. 1D. 2
2.设a与b是两个不共线向量，且向量a+λb与2a−b共线，则λ=( )
A. 0B. −12C. −2D. 12
3.如图，在▱ABCD中，设AB=a，AD=b，若点E在CD上，且CE=2ED，则BE=( )
A. a−23bB. −23a+bC. −13a+bD. a−13b
4.若圆锥的母线长为1，其侧面展开图的面积为π2，则这个圆锥的体积为( )
A. 324πB. 312πC. 36πD. 33π
5.设有两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是( )
A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m//α，m//β，则α//β
C. 若m//n，m//α，则n//αD. 若α//β，m⊂α，则m//β
6.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B，现测得∠OBA=105°，∠OAB=45°，AB=45m，在点B处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为( )
A. 15 6mB. 15 22mC. 45 6mD. 45 22m
7.在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 2sinA=sin(C−B)，则角A的最大值是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
8.《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”(汉唐之间出现的十部古算书)中非常重要的一
部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵”ABC−A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1.若球O的表面积为4π，则这个三棱柱的表面积是( )
A. 2+2 2B. 2 2C. 3+2 2D. 3+2 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,2),b=(−2,2),c=(4,k)，则下列说法正确的是( )
A. a的相反向量是−aB. 若a+b⊥c，则k=−2
C. a在b上的投影向量为−12,12D. 若a+b//c，则k=1
10.已知a，b，c分别为▵ABC内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是( )
A. 若acsA=bcsB，则▵ABC为等腰三角形
B. 在锐角▵ABC中，不等式sinA>csB恒成立
C. 若B=π3，a=2 3，且▵ABC有两解，则b的取值范围是3,2 3
D. 若∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，BD=1，则4a+c的最小值为9
11.如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=2，E，F，G分别是AB，BC，PB的中点，则( )
A. EF//AC
B. 平面GEF//平面PAC
C. 三棱锥P−AGC的体积为23
D. 四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为8π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如下图，▵A′B′C′是▵ABC用“斜二测画法”画出的直观图，其中O′B′=O′C′=1，O′A′= 32，那么▵ABC的周长是 ．
13.已知向量a,b，且a=1,b=2 2,2a−b=2 5，则向量a与b的夹角为 ．
14.已知圆锥底面圆的直径为2，高为 3，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=a+4i,z2=4+3i,i为虚数单位，其中a是实数．
(1)若z1z2是实数，求a的值；
(2)若复数z1z2在复平面内对应的点在第二象限，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin2C= 3sinC．
(1)求C；
(2)若b=4，且▵ABC的面积为2 3，求▵ABC的周长．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为梯形，其中AD//BC，且AD=2BC，点E为棱PD的中点．
(1)求证：CE//平面PAB；
(2)若M为CE上的动点，N为线段AD的中点，试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明．
18.(本小题17分)
已知▵ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且3sinA−sinBsinC=3c−2ba+b．
(1)求sinA；
(2)若▵ABC的面积为163 2；已知E为BC的中点，求▵ABC底边BC上中线AE长的最小值；
19.(本小题17分)
如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点．
(1)若cs∠CAB=13，当k为何值时，AC+2AB与kAC−AB垂直？
(2)若G为▵ABC的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且AP=λAB,AQ=μAC，求λ+μ+23最小值．
(3)若AC+tAB的最小值为1，求AB的值．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.A
5.D
6.A
7.B
8.C
9.AC
10.BCD
11.ABD
12.6
13.3π4
14.2 23/23 2
15.【详解】(1)z1z2=a+4i4+3i=a+4i4−3i4+3i4−3i=4a+12+(16−3a)i25，
因为z1z2是实数，则16−3a=0,∴a=163．
(2)z1z2=a+4i4−3i=4a−3ai+16i+12=(4a+12)+(16−3a)i，
因为复数z1z2在复平面内对应的点在第二象限，则4a+120 ⇒a< −3a