2024-2025学年江苏省无锡市市北高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省无锡市市北高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=2，则|z|=( )
A. 2B. 1C. 22D. 12
2.用符号表示“点A在直线上l，直线l在平面α外”，正确的是( )
A. A∈l，l∉αB. A∈l，l⊄αC. A⊂l，l⊄αD. A⊂l，l∉α
3.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2，A′B′=B′C′=1，则平面图形ABCD的面积为( )
A. 1
B. 32
C. 3 34
D. 3
4.若圆锥的轴截面(过圆锥轴的一个截面)是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A. πB. 2πC. 3πD. 4π
5.在下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. e1=(0,0)，e2=(1,−2)B. e1=(−1,2)，e2=(5,7)
C. e1=(3,5)，e2=(6,10)D. e1=(2,−3)，e2=(12,−34)
6.已知平面向量a,b是两个单位向量，a在b上的投影向量为12b，则a⋅(a+b)=( )
A. 1B. 32C. 2D. 3
7.如图，在△OCB中，A是边BC的中点，D是边OB上靠近点O的三等分点，设OA=a，OB=b，则DC=( )
A. 2a−53b
B. 2a+53b
C. 2a−43b
D. −2a+43b
8.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=α，∠BDC=β，CD=s，在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB=( )
A. s⋅tanθsinβsin(α+β)
B. s⋅tanθsin(α+β)sinβ
C. s⋅sinθsin(α+β)sinβ
D. s⋅sinθsinβsin(α+β)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. 复数z=1+2i1−i的虚部为32i
B. 复数z=12−12i在复平面内对应的点位于第四象限
C. 若|z1|=|z2|，则z12=z22
D. 若复数z满足1z∈R，则z∈R
10.若直线a不平行于平面α，则下列结论不成立的有( )
A. α内的所有直线均与a异面B. α内不存在与a平行的直线
C. α内直线均与a相交D. 直线a与平面α有公共点
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)：(a+c)：(b+c)=9：10：11，则下列结论正确的是( )
A. sinA：sinB：sinC=4：5：6
B. △ABC是钝角三角形
C. △ABC的最大内角是最小内角的2倍
D. 若c=6，则△ABC外接圆半径为8 77
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平行四边形ABCD的顶点A(−1,−2)，B(3,−1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为______．
13.已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为______．
14.已知复数z满足|z−(2+i)|=3，则|z|的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
若复数z=(m2−2m−3)+(m2−5m+6)i(m∈R)，i为虚数单位．
(1)当复数z为纯虚数时，求实数m的值；
(2)当m=1时，z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．
16.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acsC+ 3asinC−b−c=0
(1)求A；
(2)若a=2，△ABC的面积为 3；求b，c．
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求中线AM的长；
(2)求∠MPN的余弦值．
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD中，ABCD是平行四边形，M是PC的中点．
(1)若AB的中点为N，求证：MN//平面APD；
(2)在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，H在BD上，证明：AP//GH．
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(tanA+tanB)=2ctanB．
(1)求A的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，求bc的取值范围；
(3)若△ABC为锐角三角形，且△ABC的面积为S，求a2+b2+c2S的取值范围．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：∵z⋅(1+i)=2，
∴z=21+i=21−i2=1−i，
∴z= 12+−12= 2．
故选A．
2.【答案】B
【解析】解：∵点A在直线上l，直线l在平面α外，∴A∈l，l⊄α．
故选B．
利用点线面的关系即可用符号表示．
正确理解点线面的关系和符号表示是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，在梯形A′B′C′D′中，∠B′A′D′=45°，则该梯形的高ℎ=A′B′sin45°= 22，
梯形A′B′C′D′的面积为S′=A′D′+B′C′2⋅ 22=3 24，
故平面图形ABCD的面积S=2 2S′=2 2×3 24=3．
故选：D．
根据给定条件，求出梯形A′B′C′D′的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形ABCD的面积．
本题考查平面图形的直观图，注意原图面积与直观图面积的关系，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．
根据圆锥的轴截面求出圆锥的母线长和底面圆半径，计算它的侧面积．
【解答】
解：圆锥的轴截面边长为2的等边三角形，如图所示；
则圆锥的母线长为l=2，底面圆半径为r=1，
所以圆锥的侧面积为S侧面积=πrl=π⋅1⋅2=2π．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】解：对于A，零向量与任一向量都共线，所以零向量不可以作为向量的基底，故A错误；
对于B，因为−1×7−2×5≠0，所以e1=(−1,2)，e2=(5,7)不共线，可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故B正确；
对于C，因为3×10−5×6=0，所以e1=(3,5)，e2=(6,10)共线，不可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故C错误；
对于D，因为2×(−34)−(−3)×12=0，所以e1=(2,−3)，e2=(12,−34)共线，不可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故D错误．
故选：B．
由基底的定义可知，不共线的两向量可以作为基底，因此逐一判断各选项的向量是否共线即可．
本题考查基底的概念和向量共线的判断，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：因为平面向量a，b是两个单位向量，a在b上的投影向量为12b，
所以a⋅bb·bb=12b，
所以a·b=12，
所以a⋅(a+b)=a2+a·b=1+12=32．
7.【答案】C
【解析】解：∵A是边BC的中点，∴AC=BA，
∴OC=OA+AC=OA+BA=OA+(OA−OB)=2OA−OB，
∵D是边OB上靠近点O的三等分点，∴DO=−13OB，
∴DC=DO+OC=−13OB+(2OA−OB)=2OA−43OB=2a−43b．
故选：C．
利用向量的线性运算和三角形法则可以得到．
本题考查平面向量基本定理，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：在△BCD中，由正弦定理可知：
BCsin∠BDC=CDsin∠CBD⇒BCsinβ=ssin(π−α−β)⇒BC=s⋅sinβsin(α+β)，
在直角三角形ABC中，tan∠ACB=BABC⇒BA=s⋅sinβtanθsin(α+β)，
故选：A．
运用正弦定理和锐角三角函数定义进行求解即可．
本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，属中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：z=1+2i1−i=(1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−12+32i，虚部为32，A错误；
复数z=12−12i在复平面内对应的点为(12,−12)，位于第四象限，B正确；
取z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|，
又z12=1,z22=−1，显然z12=z22不成立，C错误；
设z=a+bi，a，b∈R，则1z=1a+bi=a−bi(a+bi)⋅(a−bi)=a−bi a2+b2，
因为1z∈R，所以b=0，故z∈R，D正确．
故选：BD．
根据复数运算求z，由此确定其虚部，判断A，根据复数的几何意义确定其对应点，判断B，举反例，判断C，根据复数的运算，结合条件判断D．
本题考查复数的运算，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：若直线a不平行于平面α，则a⊂α或a与α相交．
若a⊂α，则α内的直线与a的位置关系是平行或相交，
若a与α相交，则α内的直线与a的位置关系是相交或异面．
∴α内的所有直线均与a异面错误；α内不存在与a平行的直线错误；
α内直线均与a相交错误；直线a与平面α有公共点正确．
故选：ABC．
由题意可得a⊂α或a与α相交，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查正弦定理和余弦定理、二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题．
由正弦定理可判断A；由余弦定理可判断B；由余弦定理和二倍角公式可判断C；由正弦定理可判断D．
【解答】
解：由(a+b)：(a+c)：(b+c)=9：10：11，
可设a+b=9t，a+c=10t，b+c=11t t>0，
解得a=4t，b=5t，c=6t，
由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=a：b：c=4：5：6，故A正确；
由c为最大边，可得csC=a2+b2−c22ab=16t2+25t2−36t22⋅4t⋅5t=18>0，
即角C为锐角，故B错误；
可知：A为△ABC的最小内角，C为△ABC的最大内角，
由csA=b2+c2−a22bc=25t2+36t2−16t22⋅5t⋅6t=34，
由cs2A=2cs2A−1=2×916−1=18=csC，
由2A，C∈(0,π)，可得2A=C，故C正确；
若c=6，可得2R=csinC=6 1−164=16 7=16 77，
故△ABC外接圆半径R=8 77，故D正确．
故选：ACD．
12.【答案】(1,5)
【解析】解：设D(x,y)则
在平行四边形ABCD中
∵AB=(4,1), DC=(5−x,6−y)
又∵AB=CD
∴4=5−x1=6−y解得x=1y=5
故答案为：(1,5)
设出点D，利用向量的坐标的求法求出两个向量的坐标，再利用向量相等的坐标关系列出方程组，求出点的坐标．
本题考查向量的坐标的求法；相等向量的坐标相同．
13.【答案】 22
【解析】解：根据题意，如图：正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1=1，
上底面中心为O1，下底面中心为O，连接OO1，
过点A1作A1M⊥AO，且交AO于点M，
易得OO1⊥面ABCD，A1M//OO1且A1M=OO1，
正四棱台的上、下底面正方形的对角线的一半分别为 22， 2，
即AO= 2，A1O1= 22，AM=AO−A1O1= 22，
所以该正四棱台的高为 AA12−AM2= 12−( 22)2= 22．
故答案为： 22．
构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
本题考查正四棱台的结构特征，属基础题．
14.【答案】 5− 3
【解析】解：复数z满足|z−(2+i)|=3，
则复数z对应的点Z的轨迹是以C(2,1)为圆心， 3为半径的圆．
|z|的最小值=|OC|− 3= 22+12− 3= 5− 3，
故答案为： 5− 3，
复数z满足|z−(2+i)|=3，可得复数z对应的点Z的轨迹是以C(2,1)为圆心， 3为半径的圆．|z|的最小值=|OC|− 3．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15.【答案】−1；
p=16，q=40．
【解析】(1)复数z为纯虚数，则m2−2m−3=0m2−5m+6≠0，解得m=−1；
(2)当m=1时，z=−4+2i，
z是方程2x2+px+q=0的一个根，则z−=−4−2i是方程2x2+px+q=0的一个根，
则z+z−=−p2z⋅z−=q2，即−p2=−8q2=20，
解得p=16，q=40．
(1)根据复数z为纯虚数，利用复数的概念，列出方程组，求得m的值；
(2)当m=1时，得到z=−4+2i，根据题意，得到z−是方程2x2+px+q=0的一个根，结合方程根与系数的关系，列出方程组，即可求解．
本题考查纯虚数的定义，属于基础题．
16.【答案】解：(1)∵在△ABC中，acsC+ 3asinC−b−c=0，
利用正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入上式并约去2R得：
sinAcsC+ 3sinAsinC=sinB+sinC，
而sinB+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcsC+sinCcsA+sinC，
∴sinAcsC+ 3sinAsinC=sinAcsC+sinCcsA+sinC，
∴ 3sinAsinC=sinCcsA+sinC，
∵C为三角形内角，∴0°