四川省成都市九县区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份四川省成都市九县区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】集合，，
则.
故选：B．
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】因为命题“，”，则其否定为“，”
故选：D
3. 下列四个命题中的真命题有（ ）
①若，，则②若，，则③若，则④若，则
A. ②③B. ②④C. ①④D. ③④
【答案】C
【解析】对于①：若，，根据同向可加性可得：，故①为真命题；
对于②：例如，满足，，但，故②为假命题；
对于③：例如，若，则，故③为假命题；
对于④：若，显然，可得，故④为真命题；
综上所述：真命题有①④.
故选：C.
4. 函数的图象大致为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，选项AC错误；
又，所以选项B错误.
选项D满足以上特征.
故选：D．
5. 函数的定义域为，则（ ）
A. 2B. －2C. －1D. 1
【答案】A
【解析】因为的定义域为，
所以的解集为，
得 ，解得，，故.
故选：A．
6. 已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A. －2B. －1C. 0D. 1
【答案】C
【解析】因为为定义在R上奇函数，
所以得，
所以，故，
则，
故选：C．
7. 高一某班共有45名学生，该班参加数学强基班的学生有25人，参加物理强基班的学生有18人，既参加数学强基班又参加物理强基班的学生有8人，则既没有参加数学强基班又没有参加物理强基班的学生有（ ）
A. 10人B. 11人C. 12人D. 13人
【答案】A
【解析】
由图可知，既没有参加数学强基班又没有参加物理强基班的学生有（人），
故选：A．
8. 集合的所有子集中的元素之和为（ ）
A. 126B. 128C. 130D. 132
【答案】B
【解析】，集合的所有子集有：，，
1，3，5，7分别在子集中各出现8次，8*（1+3+5+7）=128.
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列函数为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以函数为偶函数，A正确；
对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，B错误；
对于C，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以函数为偶函数，C正确；
对于D，函数定义域为，定义域关于原点对称，
，
故，，，
所以函数不偶函数，D错误；
故选：AC
10. 下列函数的最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】A选项，当时，，故A错误；
B选项，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
C选项，化简可得，当且仅当时，等号成立，故C正确；
D选项，易知，当，即时，等号成立，最小值为，故D错误，
故选：BC．
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 从集合到集合的函数有个
B. 已知，，对，使得成立，则实数的取值范围为
C. 已知实数x，y，z，记，则的最小值为
D. 已知，，则
【答案】ABD
【解析】对于A选项，集合中每个元素都有种对应方法，则共（种），
即从集合到集合的函数有个，故A正确；
对于B选项，由，则，
对于，，令，
则，当时，，即，
由题意，即，解得，故B正确；
对于C选项，，
可得，即，当时，的最小值为，故C错误；
对于D选项，由，，，，，
可知当时，是周期为的周期函数，
故，则，故D正确，
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数为偶函数，则实数______．
【答案】
【解析】由函数为偶函数，得，
当时，，，
而当时，，则，即，
当时，，，符合题意，
所以.
故答案为：3
13. 已知集合，，且，则实数______．
【答案】
【解析】，或，由互异性，.
故答案为：．
14. 已知函数且关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围为______．
【答案】
【解析】易知，即为奇函数，
由幂函数的单调性知在R上是增函数，
所以，
则得在R上恒成立，
若时，显然不成立，
若时，显然恒成立成立，
若时，则当且仅当时成立，
综上：实数k的取值范围为．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，，且．
（1）求xy的最大值；
（2）求的最小值．
解：（1）方法一：∵，，，
∴，当且仅当，即，时等号成立，
∴，∴，的最大值为；
方法二：，解得，
，，
当时，的最大值为，此时；
（2）∵，
又∵，，∴，，
∴，当且仅当时等号成立，
∵，∴，，∴，
∴当，时，的最小值为9．
16. 已知集合，集合．
（1）求集合；
（2）若集合C为关于x的不等式的解集，且是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：（1）令，解得，可得，
令，解得，可得，
所以；
（2）因为，解得或，可得或，
因为是的必要不充分条件，可知集合是集合的真子集，
可得或，解得或，
所以实数a的取值范围为．
17. 已知函数．
（1）求函数的表达式和值域；
（2）根据函数单调性的定义证明函数在区间上为增函数，若在区间上恒成立，求实数m的取值范围．
解：（1）令，，，则，
∴，∴，
当时，，当时等号成立，
当时，，
，当时等号成立，∴函数的值域为；
（2）设，
则
，
∵，∴，，，
∴，∴，
∴函数在区间上为增函数，
由题意在区间上恒成立，
∵在区间上为增函数，∴，
∴，，∴实数m的取值范围为．
18. 已知二次函数满足，，函数．
（1）求函数的表达式并解关于x的不等式；
（2）求函数在区间上的最小值的表达式，若对任意，都有成立，求实数m的取值范围．
解：（1）设，∵，，
∴.
∴，
∴，
，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.
（2）当即时，，
当即时，，
当即时，，
综上.
由题意得，∴或或
解得或或，∴，
∴实数m的取值范围为．
19. 经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是．
（1）已知函数，且，求的值；
（2）证明函数图象的对称中心为；
（3）已知函数，求的值．
（1）解：∵，∴，
∴，∴，∴；
∵函数为奇函数，∴函数的图象关于点对称，
∴，∴，∴；
（2）证明：∵，
令，则
∵，定义域关于原点对称，，
∴为奇函数.
∴函数图象的对称中心为
（3）假设函数图象有对称中心且对称中心为，
则，∴，
∴，∴∴，，
∴函数有对称中心，∴，
令，，
相加得，
∴．