四川省成都市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份四川省成都市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 命题“，”的否定是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】命题“，”为全称量词命题，
命题“，”的否定是“，”.
故选：D.
2. 如图所示的曲边三角形（图中实线）是机械加工使用的某种钻头的横截面．它是分别以正（图中虚线）的三个顶点为圆心，以其边长a为半径所作的三段圆弧，，构成的封闭图形，称做鲁洛克斯（F．Reuleaux）三角形．则鲁洛克斯三角形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】鲁洛克斯三角形的周长为.
故选：B.
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，又，所以，
所以当时，“”可推出“”，
所以当时，“”是“”充分条件，
取，则，，但，
所以当时，由“”不能推出“”，
所以当时，“”不是“”的必要条件，
所以当时，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数可化为，
所以函数在上单调递增，函数在上单调递减，
又，选项ACD，不能同时满足以上要求，又选项B满足以上要求.
故选：B.
5. （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】.
故选：D.
6. 已知一个直角三角形的斜边长为8，则其面积的最大值是（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
【答案】C
【解析】设直角三角形的两条直角边分别为，则，
直角三角形的面积为，当且仅当时取等号.
故选：C.
7. 已知，且，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，故，
又，所以，，
又，所以.
故选：A.
8. 设，，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数为增函数，又，，
所以，，故，
所以，，
又，所以，
又，所以.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合，，若，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】因为，，所以且且，
所以且且且，
因为，所以或，所以或或（舍去）.
故选：BD.
10. 设函数，则（ ）
A. 的定义域为RB. 是偶函数
C. 在上单调递增D. 的值域为R
【答案】BCD
【解析】由，显然定义域为，A错；
由，即是偶函数，B对；
由在上单调递增，则在上单调递减，
所以在上单调递增，则在上单调递增，C对；
令，则在上值域为R，即的值域为R，D对.
故选：BCD.
11. 关于的不等式的解集可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】当时，，不等式不成立，
所以不是不等式的解；
当时，，此时，即，
当时，显然不成立；
当时，则，此时无解；
当时，则，又，则解集为；
当时，，此时，即，
当时，恒成立，则解集为；
当时，可得，又，则解集为；
当时，可得，此时无解.
综上，解集可能为、、.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是函数（，且）的反函数，则的图象经过的定点坐标为______．
【答案】
【解析】是函数的反函数，所以，
所以的图象经过的定点.
13. 声压级（单位：）与声压（单位：）的关系为，其中为人在空气中能听到的最低声压．已知飞机发动机声音的声压级比人正常说话声音的声压级大，则______．
【答案】
【解析】由题设，所以，所以.
14. 设函数，若，则=______；若有三个零点，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】由，得，
即；
当时，在上单调递增，
当时，，
若有三个零点，则时函数必有一个零点，在时函数必有两个零点，
不妨设时两零点为，
则需满足，解得，
（其中需比较的大小，如下：，而，即可得）
即a的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
解：（1）化简．
所以或．
当时，．
所以．
（2）因为．
又等价于．所以，解得的取值范围是．
16. 已知函数．
（1）分别计算，，和的值；
（2）根据（1）的计算结果，你发现了什么恒等关系？并证明你的结论．
解：（1）；
；
；
．
（2）发现结论：．
下面给予证明：，且，
有
．
17. 已知函数的图象由曲线段OA：（其中，且）和射线AB构成，如图所示．
（1）求的解析式；
（2）在同一坐标系中，作出函数的大致图象，并从“形”的角度直观判断方程的实根个数，再从“数”的角度加以严格验证．
解：（1）在曲线段OA中，由，即，
又，且，解得，
设射线AB：．由，解得，
故所求解析式为.
（2）函数的大致图象如图：
从“形”的角度直观判断：
因为函数与图象有且仅有两个交点，
所以方程，即有且仅有个不等实根．
从“数”的角度严格论证如下：
显然，只考虑的情形．
①当时，函数在上单调递增．
而且，，所以在有且仅有一个零点．
所以方程，即在有且仅有个实根．
②当时，由，得，即．
解得，或（舍去）．
所以方程在有且仅有个实根．
或：因为函数在上单调递增．
且，，所以在有且仅有一个零点．
综上所述，方程有且仅有个不等实根．
18. 利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）．
（1）求a与b满足的关系式；
（2）求仓库占地（即底面）面积S的最小值；
（3）求仓库的储物量（即容积V）的最大值．
解：（1）由题设，
则，
且.
（2）由，得，
易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值．
故仓库占地面积的最小值为，此时．
（3）解法一：由，得．
因为（当且仅当时取等号）．
所以，故，解得，
故（当且仅当时取等号）．
所以仓库容积的最大值为，此时．
解法二：由，得．
故．
因为（当且仅当时取等号）．
所以（当且仅当时取等号）．
故仓库容积的最大值为，此时．
19. 已知函数，其中．
（1）判断并证明在上的单调性；
（2）我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．据此，求图象的对称中心；
（3）把集合称作函数关于函数在区间上的倍集．是否存在，使得关于在上的倍集不为空集？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（1）在上单调递增．证明如下：
，，且，
有
．
因为，所以，，．
故，即．
所以上单调递增．
（2）函数的定义域为．
令，其定义域为，
则，所以为奇函数，
所以图象的对称中心为．
（3）假设存在，使得关于在上的倍集不为空集，
则不等式有解，所以有解．
令，则，即．
整理，得．
设函数即在内有解．
这里，否则不合题意；此时抛物线的开口向上．
又因为有解，所以．
化简，得，解得或．
①当时，抛物线对称轴．
所以在内恒有解（至少有）．
②当时，抛物线的对称轴．
要使在内有解，则．
解得，或．又，所以．
综上可知，存在常数，使关于在上的倍集不为空集，
其取值范围是．