2023-2024学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={2,3,5}，B={1,4,5,7}，则( )
A. A∩B=⌀B. A⊆BC. A∪B=AD. 5∈A∪B
2.命题“∀x>0，x2>0”的否定是( )
A. ∀x>0，x2≤0B. ∀x≤0，x2>0
C. ∃x>0，x2≤0D. ∃x≤0，x2>0
3.cs330°=( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
4.“两个三角形全等”是“两个三角形的周长相等”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.函数f(x)=x+1x图象的对称中心为( )
A. (0,0)B. (0,1)C. (1,0)D. (1,1)
6.已知定义在R上的函数f(x)满足：∀x1，x2∈R且x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0.若f(a)≥f(1)，则实数a的取值范围是( )
A. (1,+∞)B. [1,+∞)C. (−∞,1)D. (−∞,1]
7.已知a=0.91.1，b=lg23，c=lg34，则( )
A. a8.函数f(x)=sinx2+lnx的零点个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若a>b，则a2>b2
B. 若a>b，c>d，则a−d>b−c
C. 若a>b，则1a<1b
D. 若a>b>0，c>d>0，则ac>bd
10.下列四个函数中，以π为最小正周期，且为奇函数的是( )
A. y=tanxB. y=sinxC. y=cs2xD. y=sin2x
11.已知函数f(x)=lg2(1−x)+lg2(1+x)，则( )
A. f(x)的定义域为(−1,1)B. f(x)为偶函数
C. f(x)在(0,1)上单调递增D. f(x)的最大值是0
12.已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，例如，[−3.5]=−4，[2.1]=2.则( )
A. [2x]=2[x]B. [x]≤x<[x+1]
C. [x]+[x+12]=[2x]D. x2+14>[x]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.432−3lg32的值是______ ．
14.若tanθ=43，则sinθ−csθsinθ+csθ= ______ ．
15.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x+1)是偶函数.若f(1)=2，则f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值是______ ．
16.若关于x的方程(1x−1)2−a|1x−1|+14=0恰好有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知全集U=R，集合A={x|x2−4x+3<0}，B={x|x>a}．
(Ⅰ)当a=2时，求A∩B，A∪(∁UB)；
(Ⅱ)若A⊆B，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(12x+π3).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；
(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π]上的值域．
19.(本小题12分)
如图所示，一条笔直的河流l(忽略河的宽度)两侧各有一个社区A，B(忽略社区的大小)，A社区距离l上最近的点A0的距离是2km，B社区距离l上最近的点B0的距离是1km，且A0B0=4km.点P是线段A0B0上一点，设A0P=akm．
现规划了如下三项工程：
工程1：在点P处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；
工程2：将直角三角形AA0P地块全部修建为面积至少1km2的文化主题公园，且每平方千米造价为(1+92a2)亿元；
工程3：将直角三角形BB0P地块全部修建为面积至少0.25km2的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元．
记这三项工程的总造价为W亿元．
(Ⅰ)求实数a的取值范围；
(Ⅱ)问点P在何处时，W最小，并求出该最小值．
20.(本小题12分)
已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x+1x．
(Ⅰ)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性，并用定义给出证明；
(Ⅱ)解关于x的不等式f(2x)<52．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=(lgx)2+algx+54(a∈R)．
(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)在区间[110,100]上的最小值；
(Ⅱ)若存在x0∈(1,+∞)，使得f(x0)=a成立，求a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−4 2+|x−a|，g(x)=2 2−x2−x，其中a>0．
(Ⅰ)当a= 2时，若f(x)=− 2，求x的值；
(Ⅱ)证明：g(x)≤ 10；
(Ⅲ)若函数h(x)=|f(x)+g(x)|的最大值为2 2，求a的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A，A∩B={5}，错误；
选项B，∵2∈A，2∉B，∴A⊈B，错误；
∵A∪B={1,2,3,4,5,7}，∴A∪B≠A，C错误；5∈A∪B，D正确．
故选：D．
根据元素与集合的关系，集合间的运算法则求解即可．
本题考查集合间的关系，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：“∀x>0，x2>0”的否定是：∃x>0，x2≤0．
故选：C．
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：cs330°=cs(360°−30°)=cs(−30°)=cs30°= 32，
故选C．
由cs(α+2kπ)=csα、cs(−α)=csα解之即可．
本题考查余弦函数的诱导公式．
4.【答案】A
【解析】解：当两个三角形全等时，可推出它们的对应边长相等，故两个三角形的周长相等；
当两个三角形的周长相等时，两个三角形不一定全等．
根据充要条件的定义，可知“两个三角形全等”是“两个三角形的周长相等”的充分不必要条件．
故选：A．
根据充分必要条件的定义，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查全等三角形的判定与性质、充要条件的定义等知识，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=x+1x=1+1x即y−1=1x，可设y′=y−1，x′=x得到y′=1x′，
所以y′与x′成反比例函数关系且为奇函数，则对称中心为(0,0)
即y′=0，x′=0得到y=1，x=0
所以函数y的对称中心为(0,1)
故选：B．
把原函数解析式变形得到y−1=1x，设y′=y−1，x′=x得到y′=1x′为反比例函数且为奇函数，求出对称中心即可．
考查学生灵活运用奇偶函数图象对称性的能力．考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新精神．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，定义在R上的函数f(x)满足：∀x1，x2∈R且x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0．
则f(x)为R上的减函数，
若f(a)≥f(1)，则有a≤1，即a的取值范围为(−∞,1]．
故选：D．
根据题意，分析函数的单调性，由此可得a的取值范围，即可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的单调性，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：∵0<0.91.1<0.90=1，∴0∵lg23>lg22=1，∴b>1，
∵lg34>lg33=1，∴c>1，
∵2b=2lg23=lg29>lg28=3，∴b>32，
∵2c=2lg34=lg316∴a故选：A．
利用指数函数和对数函数的性质求解．
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=sinx2+lnx的零点个数，
即y=−sinx2与y=lnx在同一直角坐标系中的交点个数，
如图：
结合图象可知，两个函数的交点有1个．
故函数f(x)=sinx2+lnx的零点有1个．
故选：B．
原问题等价于y=−sinx2与y=lnx在同一直角坐标系中的交点个数，结合图象即可求解结论．
本题考查根的存在性和个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，当a=1，b=−1时，满足a>b，但a2=b2=1，故A不正确；
对于B，由c>d可知−d>−c，结合a>b将两不等式相加，得a−d>b−c，故B正确；
对于C，当a>0>b时，1a>1b，故C不正确；
对于D，若a>b>0，c>d>0，则ac>bc且bc>bd，所以ac>bd成立，故D正确．
故选：BD．
根据不等式的基本性质，对各项中的不等式逐一判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的基本性质及其应用，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A，由于函数y=tanx的最小正周期为π且为奇函数，故正确；
对于B，由于函数y=sinx的最小正周期为2π，故错误；
对于C，由于函数y=cs2x的最小正周期为π，但为偶函数，故错误；
对于D，由于函数y=sin2x的最小正周期为π且为奇函数，故正确．
故选：AD．
由题意利用三角函数的周期性和奇偶性即可得出结论．
本题主要考查诱导公式，三角函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：函数f(x)=lg2(1−x)+lg2(1+x)，
则1−x>01+x>0，解得−1故函数f(x)的定义域为(−1,1)，故A正确；
f(x)=lg2(1−x)+lg2(1+x)，
则f(−x)=lg2(1+x)+lg2(1−x)=f(x)，故B正确；
f(x)=lg2(1−x2)，由复合函数的单调性可知，f(x)在(0,1)上单调递减，故C错误；
f(x)=lg2(1−x2)≤lg21=0，故D正确．
故选：ABD．
列出不等式，求出定义域，再结合偶函数的定义，复合函数的单调性，对数函数的单调性，即可求解．
本题主要考查函数的性质，以及函数的最值，属于基础题．
12.【答案】BD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当x=23时，[23]=0，2[23]=0，[2×23]=1，此时[2x]≠2[x]，A错误；
对于B，[x]表示不超过x的最大整数，则有[x]≤x<[x+1]=[x]+1，B正确；
对于C，当x=−5时，[x]=−5，[−5+12]=−4，[2x]=−10，此时[x]+[x+12]≠[2x]，C错误；
对于D，当x≤0时，x2+14>[x]显然成立；
当x>0时，x2≥[x]2，
故x2+14≥[x]2+14，
又[x]2+14−[x]=([x]−12)2>0，
故[x]2+14>[x]，即x2+14>[x]，D正确．
故选：BD．
依题意，依次分析选项是否正确，即可得到答案．
本题考查取整函数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】6
【解析】解：432−3lg32=23−2=6．
故答案为：6．
由已知结合指数幂的运算及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数幂的运算性质及对数恒等式的应用，属于基础题．
14.【答案】17
【解析】解：∵tanθ=43，
∴sinθ−csθsinθ+csθ=sinθcsθ−1sinθcsθ+1=tanθ−1tanθ+1=43−143+1=17．
故答案为：17．
分式上下同除以csθ，化弦为切，代入tanθ=43求值即可．
本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
15.【答案】−2
【解析】解：由题意知f(x)是定义域为R的奇函数，f(1)=2，
故f(−x)=−f(x)，则f(−1)=−f(1)=−2，f(0)=0，
由f(x+1)是偶函数，得f(−x+1)=f(x+1)，
令x=1，则f(−1+1)=f(1+1)，即f(2)=f(0)=0；
令x=2，则f(−2+1)=f(2+1)，即f(3)=f(−1)=−2，
故f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=−2+0+2+0−2=−2．
故答案为：−2．
根据函数的奇偶性可得f(0)的值，结合已知求出f(−1)；由f(x+1)是偶函数推出f(−x+1)=f(x+1)，利用赋值法求出f(2)，f(3)，即可得答案．
本题考查抽象函数求值的问题，属于中档题．
16.【答案】(1,54)∪(54,+∞)
【解析】解：令t=|1x−1|，则t≥0，作出函数t=|1x−1|的图象如图所示，
若关于x的方程(1x−1)2−a|1x−1|+14=0恰好有四个不同的实数根，
则由图象可知关于t的方程t2−at+14=0恰有两个不同的正实数根t1，t2，且t1≠1，t2≠1，
所以a2>0a2−4×14>012−a×1+14≠0，解得a>1且a≠54，
即实数a的取值范围是(1,54)∪(54,+∞)．
故答案为：(1,54)∪(54,+∞)．
令t=|1x−1|，则t≥0，作出函数t=|1x−1|的图象，由图象可将已知转化为关于t的方程t2−at+14=0恰有两个不同的正实数根t1，t2，且t1≠1，t2≠1，由二次函数图象可得关于a的不等式组，求解即可．
本题主要考查函数与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)A={x|x2−4x+3<0}={x|1当a=2时，B={x|x>a}={x|x>2}，所以∁UB={x|x≤2}，
所以A∩B={x|2(Ⅱ)若A⊆B，则1≥a，
即实数a的取值范围(−∞,1]．
【解析】(Ⅰ)求出集合A，B，进而求出A∩B{x|2(Ⅱ)由题意直接求出a的范围．
本题考查二次不等式的解法及集合的运算性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)对于函数f(x)=2sin(12x+π3)，令2kπ−π2≤x2+π3≤2kπ+π2，k∈Z，
求得4kπ−5π3≤x≤4kπ+π3，k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为[4kπ−5π3,4kπ+π3]，k∈Z．
(Ⅱ)在[0,π]上，12x+π3∈[π3,5π6]，sin(12x+π3)∈[12,1]，f(x)∈[1,2]，
故函数f(x)在[0,π]上的值域为[1,2]．
【解析】(Ⅰ)由题意，利用正弦函数的单调性，求得结论．
(Ⅱ)由题意，利用正弦函数的定义域和值域，求得结论．
本题主要考查正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为直角三角形BB0P地块全部修建为面积至少0.25km2的湿地公园，
所以S△BB0P=12|B0P|⋅|BB0|=12×1⋅(4−a)≥0.25，解得：a≤72，
直角三角形AA0P地块全部修建为面积至少1km2的主题公园湿地公园，
所以S△AA0P=12|A0P|⋅|AA0|=12×2⋅a≥1，解得：a≥1，
故实数a的取值范围为[1,72]；
(2)依题意可得：W=(1+92a2)⋅a+1×4−a2+0.1
=a+92a+4−a2+0.1=a2+92a+2.1≥2 a2⋅92a+2.1=2×32+2.1=5.1，
当且仅当a2=92a，即a=3时取等，
所以当点P满足|A0P|=3时，W最小，最小值为5.1亿元．
【解析】(1)由直角三角形BB0P地块全部修建为面积至少0.25km2的湿地公园和直角三角形AA0P地块全部修建为面积至少1km2的文化主题公园，列不等式求解即可求解；
(2)由题意可得W=(1+92a2)⋅a+1×4−a2+0.1，由基本不等式求解即可．
本题考查了基本不等式在解决实际问题上的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，函数f(x)=x+1x在(1,+∞)上单调递增，
证明：设1则有f(x1)−f(x2)=(x1+1x1)−(x2+1x2)=(x1−x2)+(1x1−1x2)=(x1−x2)(x1x2−1x1x2)，
又由10，
则有f(x1)−f(x2)<0，
函数f(x)在(1,+∞)上单调递增；
(Ⅱ)函数f(x)=x+1x，(x>0)，
设0则有f(x1)−f(x2)=(x1+1x1)−(x2+1x2)=(x1−x2)+(1x1−1x2)=(x1−x2)(x1x2−1x1x2)，
又由0则有f(x1)−f(x2)>0，
函数f(x)在(0,1]上单调递减；
有f(2)=2+12=52，f(12)=2+12=52，
f(2x)<52，则有2x<22x>1或2x>120<2x≤1，
解可得：−1【解析】(Ⅰ)由作差法分析可得结论；
(Ⅱ)先分析f(x)在(0,1]上的单调性，利用特殊值构造关于x的不等式，解可得答案．
本题考查函数单调性的判断以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
21.【答案】解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=(lgx)2+lgx+54，
当x∈[110,100]时，设t=lgx，则t∈[−1,2]，
则g(t)=t2+t+54=(t+12)2+1，
所以当t=−12，即x= 1010时，g(t)min=1，
所以函数f(x)在区间[110,100]上的最小值为1．
(Ⅱ)若x0∈(1,+∞)时，t=lgx0，则t∈(0,+∞)，
则f(x0)=a，可化为t2+at+54=a，
即方程t2+at+54−a=0存在大于零的解，
所以Δ=a2−4(54−a)≥0t=−a2>0或Δ=a2−4(54−a)>0t=−a2≤054−a<0，解得a≤−5或a>54，
故a的取值范围为(−∞,−5]∪(54,+∞)．
【解析】(Ⅰ)令t=lgx，把函数转化为二次函数，再求出最小值；
(Ⅱ)令t=lgx0，转化为方程t2+at+54−a=0存在大于零的解，列出不等式组，求出a的取值范围即可．
本题考查了二次函数的性质，利用方程有解求参数的取值范围，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)当a= 2时，f(x)=x−4 2+|x− 2|，
当x< 2时，f(x)=x−4 2−x+ 2=−3 2≠− 2，不合题意；
当x≥ 2时，f(x)=x−4 2+x− 2=2x−5 2，
由f(x)=− 2得，2x−5 2=− 2，所以x=2 2，符合题意，
故x=2 2．
(Ⅱ)证明：g(x)=2 2−x2−x的定义域为[− 2, 2]，
要证明g(x)≤ 10，只需证2 2−x2≤x+ 10,x∈[− 2, 2]，
只需证：4(2−x2)≤x2+2 10x+10,x∈[− 2, 2]，
只需证：5x2+2 10x+2≥0,x∈[− 2, 2]，
只需证：( 5x+ 2)2≥0,x∈[− 2, 2]，该式显然成立，
当且仅当x=− 105时等号成立，
故g(x)≤ 10．
(Ⅲ)h(x)=|f(x)+g(x)|=|2 2−x2+|x−a|−4 2|，
令H(x)=2 2−x2+|x−a|−4 2，x∈[− 2, 2]，
由题意可知|H(x)|的最大值为2 2，
则|H(− 2)|≤2 2，所以2 2≤|a+ 2|≤6 2，
而a>0，故2 2≤a+ 2≤6 2，即 2≤a≤5 2，
从而H(x)=2 2−x2−x+a−4 2=g(x)+a−4 2,x∈[− 2, 2]，
因为g(x)=2 2−x2−x≥0− 2=− 2，当且仅当x= 2时等号成立，
由(Ⅱ)知g(x)≤ 10，当且仅当x=− 105时等号成立，
故g(x)的值域为[− 2, 10]，故H(x)的值域为[a−5 2,a+ 10−4 2]，
令a−5 2=−2 2，则a=3 2，
令a+ 10−4 2=2 2，则a=6 2− 10，
当a=3 2时，H(x)的值域为[−2 2, 10− 2]，
此时h(x)的最大值为2 2，符合题意；
当a=6 2− 10时，H(x)的值域为[ 2− 10,2 2]，
此时h(x)的最大值为2 2，符合题意；
故a的值为3 2或6 2− 10．
【解析】(Ⅰ)化简函数解析式，分类讨论去掉绝对值符号，解方程，可得答案．
(Ⅱ)利用分析法，要证明g(x)≤ 10，只需证2 2−x2≤x+ 10,x∈[− 2, 2]，一步步逆推，直到找到不等式成立的条件，即可证明原不等式成立．
(Ⅲ)令H(x)=2 2−x2+|x−a|−4 2,x∈[− 2, 2]，确定a的范围，从而H(x)=g(x)+a−4 2，结合g(x)的取值范围，可得H(x)的范围，结合函数最值分类讨论求解，即可得答案．
本题考查函数的单调性和最值，属于中档题．