2022-2023学年四川省成都市四县区高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省成都市四县区高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知命题：，，则命题的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用含有一个量词的命题的否定求解作答.

【详解】因命题：，，则命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，

所以命题的否定是：，.

故选：A

2．若全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交集的定义运算即得.

【详解】因为，，

所以.

故选：C.

3．在新冠核酸检测时，成都某社区部分党员参加了扫码或秩序的抗疫志愿服务工作，其中参与扫码的有20名，参与维持秩序的有40名，既参与扫码又参与维持秩序的有5名，则该社区参与抗疫的党员人数为（    ）

A．65名 B．60名 C．55名 D．50名

【答案】C

【分析】根据给定的条件，利用集合的容斥原理计算作答.

【详解】依题意，该社区参与扫码的党员形成集合A，参与维持秩序的党员形成集合B，

则有，

所以该社区参与抗疫的党员人数为.

故选：C

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】当时，不一定成立，如满足，不满足，

当时，成立，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

5．已知函数，则（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】D

【分析】由题可得，进而即得.

【详解】由题可得，

所以.

故选：D.

6．下列各组函数是同一函数的是（    ）

①与；

②与；

③与.

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用相同函数的定义判断作答.

【详解】函数定义域为R，定义域为R，且，则①是同一函数；

函数定义域为，而定义域为R，则②不是同一函数；

函数与定义域均为R，并且法则相同，则③是同一函数，

所以①③是同一函数.

故选：C

7．已知集合，，，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围.

【详解】由题可得，又且，

所以，即.

故选：B.

8．已知关于的方程的两个不相等的实根均在区间内，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定的条件，利用一元二次方程实根分布，列式求解作答.

【详解】因关于的方程的两个不相等的实根均在区间内，

则有，解得，

所以的取值范围为.

故选：C

二、多选题

9．如果，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据不等式的性质判断A、C、D，利用特殊值判断B；

【详解】解：因为，所以，故A正确；

对于B：当，时，满足，但是，故B错误；

对于C：因为，所以，故C正确；

对于D：因为，所以，，故，故D错误；

故选：AC

10．下列命题中，为假命题的是（    ）

A．，都有 B．函数的最小值为2

C．对任意非零实数，，都有 D．，使得

【答案】ABC

【分析】取特值判断选项A，C；利用对勾函数性质求出最小值判断B；利用存在量词命题真假判断方法判断D作答.

【详解】对于A，当时，不等式不成立，A是假命题；

对于B，原函数化为，令，显然函数在上单调递增，

因此当，即时，，B是假命题；

对于C，当实数，异号时，，C是假命题；

对于D，当时，，即，使得，D是真命题.

故选：ABC

11．已知函数，则下列正确的为（    ）

A．函数的定义域为

B．，

C．函数的定义域为

D．若的值域为，则其定义域必为

【答案】AB

【分析】选项A，由根式定义，求解，即可判断；

选项B，代入验证，即可判断；

选项C，令，求解即可得到定义域；

选项D，当定义域为，值域也为，故可判断.

【详解】选项A，由题意，即，解得，故函数定义域为，正确；

选项B，，，正确；

选项C，由题意，解得，即函数的定义域为，错误；

选项D，当定义域为，即，此时，，，即的值域为，错误.

故选：AB

12．已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则下列正确的为（    ）

A．

B．函数在区间上的最大值为2

C．的解析式可表示为：

D．，不等式的解集为

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再逐项判断作答.

【详解】依题意，当时，令，则，解得，，

当时，令，则，解得，，

因此，

对于A，，A不正确；

对于B，函数在上递减，在上递增，而，因此函数在区间上的最大值为2，B正确；

对于C，因当时，，当时，，

则当时，，C正确；

对于D，因，观察图象知，当时，不等式的解集为，D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．已知全集，集合，，则________.

【答案】8

【分析】由题可得，进而即得.

【详解】因为全集，集合，，

所以，即，

所以.

故答案为：8.

14．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________.

【答案】

【分析】利用给定的单调区间及单调性，结合二次函数性质求解作答.

【详解】函数的单调递增区间是，依题意得：，

所以实数的取值范围为.

故答案为：

15．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为________.

【答案】

【分析】由题可得在R上恒成立，根据二次不等式的解法即得.

【详解】因为函数的定义域为，，

所以在R上恒成立，

则，

解得：.

故答案为：.

16．符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数，则下列四个结论中正确的编号为________.

①函数的定义域是，值域为；

②函数是增函数；

③；

④方程有无数个解.

【答案】①③④

【分析】利用及的定义，可画出函数的大致图象，根据图象结合条件逐项分析即得.

【详解】由题可知当时，，，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

所以可得函数的大致图象，

由图象可得函数的定义域是，值域为，故①正确；

函数在定义域上不具有单调性，故②错误；

由题可知，所以函数是周期为1的周期函数，故，故③正确；

因为方程的解即为函数与交点的横坐标，由图象可知方程有无数个解，故④正确，

故答案为：①③④.

四、解答题

17．已知集合，集合.

(1)当时，求；

(2)若______，求实数的取值范围.

在①；②“”是“”的必要不充分条件；③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）解一元二次不等式化简集合B，把代入，利用并集的定义求解作答.

（2）选①，利用列式求解作答；选②，转化为列式求解作答；选③，利用给定的交集结果列式求解作答.

【详解】（1）依题意，，当时，，

所以.

（2）选①，，由（1）知，，

因此，解得，

所以实数的取值范围是.

选②，因“”是“”的必要不充分条件，则，由（1）知，，

因此或，解得或，即有，

所以实数的取值范围是.

选③，，由（1）知，，

因此或，解得或，

所以实数的取值范围是或.

18．已知二次函数满足：，.

(1)求函数的解析式；

(2)若，求函数的解析式.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）设，根据求出，再根据得到方程组，解得、，即可得解；

（2）令，则，利用换元法计算可得.

【详解】（1）解：设，

因为，所以，，

所以，

即，解得，所以；

（2）解：依题意可得，

令，则，所以，

所以，

所以，.

19．已知函数.

(1)若，求在上的最大值和最小值；

(2)求在上的最小值.

【答案】(1)最大值为22，最小值为-3；

(2).

【分析】（1）把代入，利用二次函数在闭区间上的最值问题求解作答.

（2）按二次函数图象的对称轴与区间的关系，分类求解作答.

【详解】（1）当时，，因，则当时，，

而，则，

所以在上的最大值为22，最小值为-3.

（2）函数的图象对称轴为，

当，即时，函数在上单调递增，，

当，即时，函数在上单调递减，，

当时，，

所以在上的最小值为.

20．成都市某高中为了促使学生形成良好的劳动习惯和积极的劳动态度，建设了“三味园”生物研学基地.某班级研究小组发现某种水果的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足关系，且投入的肥料费用不超过6百元.另外，还需要投入其它的费用百元.若此种的水果市场价格为18元/千克（即18百元/百千克），且市场始终供不应求.记这种水果获得的利润为（单位：百元）.

(1)求函数的关系式，并写出定义域；

(2)当肥料费用为多少时，这种水果获得的利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)，

(2)肥料费用为元时，该水果获得的利润最大，最大利润是元．

【分析】（1）根据收入减去成本为利润，即可得到函数解析式，再写出函数的定义域即可；

（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解.

【详解】（1）解：依题意可得，

因为，所以，；

（2）解：，

当且仅当，即时取等号．

当投入的肥料费用为元时，该水果获得的利润最大，最大利润是元．

21．已知函数.

(1)若命题“，”为真命题，求实数的取值范围；

(2)当时，求关于的不等式的解集.

【答案】(1)；

(2)分类讨论见详解.

【分析】（1）转化为当，，其中，结合二次函数的图像及性质求解即可；

（2）转化，分三种情况讨论，结合二次函数图像及性质求解即可.

【详解】（1）由题意，命题“，”为真命题，

即不等式在有解，

，

即当，，

函数开口向上，对称轴为，故当时，取得最大值，

即，解得.

（2）由题意，，为开口向上的二次函数，

令，

①当时，不等式的解集为；

②当时，不等式的解集为;

③当时，不等式的解集为.

22．定义：对于定义域为的函数，若，有，则称为的不动点.已知函数，.

(1)若，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；

(2)设且的两个不动点为，且，求实数的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定的定义，利用一元二次方程有两个不等实根列式，再借助一元二次不等式恒成立求解作答.

（2）利用定义结合韦达定理列式，再利用均值不等式求解作答.

【详解】（1）方程，即，有，，

于是得方程有两个不等实根，即，

依题意，，不等式恒成立，，

整理得，解得，

所以实数的取值范围是.

（2）由（1）知，当时，，又，于是得，

，则，

当且仅当，即时取等号，

所以当时，实数的最小值为.