安徽省合肥市瑶海区众望初级中学2024-2025学年下学期九年级5月月考 数学试卷（含解析）

这是一份安徽省合肥市瑶海区众望初级中学2024-2025学年下学期九年级5月月考 数学试卷（含解析），共24页。
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将"试题卷"和"答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A．B．C．D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数，进行作答即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故选：B．
2. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握：俯视图是从上面看到的图形．据此可得答案．
【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，且四条线段连接对应顶点，
A．该图形不是“斗”的俯视图，故此选项不符合题意；
B．该图形不是“斗”的俯视图，故此选项不符合题意；
C．该图形是“斗”的俯视图，故此选项符合题意；
D．该图形不是“斗”的俯视图，故此选项不符合题意．
故选：C．
3. 2025年我国安排3000亿元超长期特别国债支持消费品以旧换新，资金总量比去年增加一倍．数据“3000亿”用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：3000亿．
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的除法和乘法，幂的乘方和积的乘方，根据各计算法则分别计算即可判断．
【详解】解：A．两项不是同类项，不能合并，原计算错误，故不符合题意；
B．，原计算错误，故不符合题意；
C．，原计算正确，故符合题意；
D．，原计算错误，故不符合题意；
故选：C．
5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识点，正确求得不等式的解集成为解题的关键．先求得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
∴，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
∴，
解得：，
在数轴上表示如下：
故选D．
6. 如图，直线，AG平分，，则的度数为

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据，，即可得到，，再根据AG平分，可得，进而得出．
【详解】解：，，
，
，
又平分，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查的是平行线的性质和角平分线的定义，理解两直线平行，内错角相等是解题的关键．
7. 若点，是反比例函数图象上的两点，下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．熟练掌握该知识点是关键．
【详解】解：反比例函数的，反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
A、无法确定的正负，故无法确定，故说法不符合题意；
B、当时，，，故说法正确，符合题意；
C、当时，，，故说法错误，不符合题意；
D、当时，，，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
8. 已知实数a，b，c满足，，，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，代数式求值，等式的性质，根据题意逐项分析判定，即可求解．
详解】解：A. 若，则，故A正确，不合题意；
B. 若，则，
∵
∴，即，故B正确，不合题意；
C.∵，
∴
若，则
∴，故C正确，不合题意
D.根据C可得， 若，则
∴
∵
∴
∴，即所以D选项不正确，符合题意．
故选：D．
9. 如图，点是线段的中点，点在上．分别以为边，在同侧作正方形和正方形，连接和．设，且，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件得到，再根据题意得到的值．
【详解】解：∵，
∴，，
∵点是线段的中点，
∴,，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴,
故选．
【点睛】本题考查了正方形的性质，中点的定义，正方形的面积和三角形的面积，掌握正方形的性质是解题的关键．
10. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
I．当P在线段AD上时，即时，如解图1
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误；
II．当P在线段CD上时，即时，如解图2：
依题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分）
11. 比较大小： _____．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】将和平方，进行比较即可得到答案．
【详解】解：，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握比较方法是解此题的关键．
12. 不透明袋子中装有20个球，其中有5个红球、4个绿球、3个蓝球和8个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，它是彩球的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率公式．用彩球的个数除以总球的个数即可得出答案．
【详解】解：不透明袋子中装有20个球，其中有5个红球、4个绿球和3个蓝球，8个白球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是彩球的概率是；
故答案为：．
13. 如图，是半圆O的直径，弦，弦，连接，若，则图中两个阴影部分的面积和为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形的面积，弧、弦、圆心角的关系．连接，由弧、弦、圆心角的关系得到，，从而，由扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：连接，
∵弦，弦，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 如图，在正方形中，，，分别是边，上的动点，，交于点，连接．
（1）若，分别是边，上的中点，则______；
（2）若，则的最小值为______．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
（1）证明，推出，得到，再证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）同（1）可证明，得到点在以为直径的上，当、、共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可．
【小问1详解】
解： 正方形中，，，分别是边，上的中点，
，，，
，，
，
，
，
，
，即，
．
故答案为：．
【小问2详解】
在正方形中，，
，
，即，
∴点在以为直径的上，如图，
当、、共线时，最小值为的长，
，，
∴DG的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式除法运算法，是解题的关键．先根据分式除法运算法则进行化简，然后再代入数据进行求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
16. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为 ，，．
（1）画出关于轴对称的图形，并直接写出点坐标；
（2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标；
【答案】（1）作图见解析，点的坐标为；
（2）作图见解析，点的坐标为．
【解析】
【分析】（）根据关于对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到对称点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，顺次连接点，得到，即为所求；
（）根据位似图形的性质，分别找到点的位置，顺次连接，得到，即为所求，由图可得到点的坐标；
本题考查了作轴对称图形和位似图形，掌握轴对称图形和位似图形的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，由图可得点的坐标为．
【小问2详解】
解：如图，即为所求，由图可得，点的坐标为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 中国无人机是低空经济应用的主要载体之一，农业无人机是我国低空经济中发展成熟度高的领域．某县用甲，乙两种型号的无人机吊运某农作物到集中收货点，甲型机比乙型机平均每分钟多运送15公斤，甲型机运送1700公斤所用时间与乙型机运送1400公斤所用时间相等，两种无人机平均每分钟分别运送多少公斤农作物？
【答案】甲种型号的无人机平均每分钟运送85公斤农作物，乙种型号的无人机平均每分钟运送70公斤农作物．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙种型号的无人机平均每分钟运送x公斤农作物，则甲种型号的无人机平均每分钟运送公斤农作物，利用工作时间工作总量工作效率，结合甲型机运送1700公斤所用时间与乙型机运送1400公斤所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即乙种型号的无人机每分钟运送农作物的质量，再将其代入中，即可求出甲种型号的无人机每分钟运送农作物的质量．
【详解】解：设乙种型号的无人机平均每分钟运送x公斤农作物，则甲种型号的无人机平均每分钟运送公斤农作物，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（公斤），
答：甲种型号的无人机平均每分钟运送85公斤农作物，乙种型号的无人机平均每分钟运送70公斤农作物．
18. 【观察思考】
【规律发现】
（1）第10个图案中“△”的个数为_________；
（2）第n（n为正整数）个图案中“〇”的个数为_________，“△”的个数为_________；（用含n的式子表示）
【规律应用】
（3）结合上面图案中“〇”和“△”的排列方式及规律，第35个图案中共需要多少个“〇”和“△”才能组成？
【答案】（1）46；（2），；（3）1373
【解析】
【分析】本题考查图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现“〇”和“△”个数变化的规律是解题的关键．
（1）依次求出图形中“△”的个数，发现规律即可解决问题．
（2）依次求出图形中“〇”，“△”的个数，发现规律即可解决问题．
（3）根据（1）（2）发现规律即可解决问题．
【详解】解：（1）由所给图形可知，
第1个图案中“△”的个数为：；
第2个图案中“△”的个数为：；
第3个图案中“△”的个数为：；
第4个图案中“△”的个数为：；
…，
所以第n个图案中“△”的个数为个，
当时，（个），
即第10个图案中“△”的个数为46个．
故答案为：46．
（2）由所给图形可知，
第1个图案中“〇”的个数为：；
第2个图案中“〇”的个数为：；
第3个图案中“〇”的个数为：；
第4个图案中“〇”的个数为：；
，
所以第n个图案中“〇”的个数为个．
由（1）知，
第n个图案中“△”的个数为个．
故答案为：，．
（3）由题知，第n（n为正整数）个图案中“〇”的个数与“△”的个数为，
当时，图案中“〇”的个数与“△”的个数为个．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 挖掘机从发明到现在已经有140年历史，世界上第一台液压挖掘机由法国波克兰工厂发明成功．由于液压技术的应用，20世纪40年代有了在拖拉机上配装液压反铲地悬挂式挖掘机．图①是某型号挖掘机，该型号挖掘机是由基座、大臂、主臂和伸展臂构成．图②是停机状态下该型号挖掘机的侧面结构示意图．已知基座高度为，大臂长为，主臂长为，在伸展臂与地面垂直的情况下，相关构件的夹角如图②所示，请计算伸展臂的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）
【答案】伸展臂的长度为．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，熟练掌握锐角三角函数是解题关键．过点作于点，于点，过点作于点，则四边形和四边形是矩形，先利用三角函数求出，进而得出，再利用三角函数求出，即可求出伸展臂的长度．
【详解】解：如图，过点作于点，于点，过点作于点，
则四边形和四边形是矩形，
，，
在中，，，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
即伸展臂的长度为．
20. 如图，是的直径，弦与点，已知，，点为上一点，（点不与，重合），连接并延长与交于点，连，，．
（1）求的长；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理及勾股定理，全等三角形的判定和性质：
（1）根据勾股定理及垂径定理可得答案；
（2）连接，证，得，根据圆周角定理即可得证；
【小问1详解】
解：如图，连接，
因为是的直径，弦，
所以，
因为，，所以，，
由勾股定理得，
所以．
【小问2详解】
证明：如图，连接，
因为是的直径，弦，
所以垂直平分，
所以，，
因为，，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以．
六、（本题满分12分）
21. 在大课间活动中，体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）频数分布表中，________，________，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生200人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？
（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，请你用列表或树状图的方法，求所选两人正好都是甲班学生的概率．
【答案】（1）0.30，4，图见解析
（2）110人 （3）
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率以及频数分布直方图：
（1）由各组频率之和为1可得a的值，根据第一组频数及频率求出总数，乘以第四组频率可得b的值，继而将统计图补充完整；
（2）用样本估计总体即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
解：，
抽取学生总数为：
，
第二组频数为：，
补充完整后的统计图如下：
；
【小问2详解】
解：（人），
答：估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有110人
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况，
∴所选两人正好都是甲班学生的概率是．
七、（本题满分12分）
22. 如图，矩形中为对角线上一动点，过点作交于点，作交于点，连接、．
（1）若，
①求证：平分；
②求证：；
（2）已知，且为的中点，求矩形的周长．
【答案】（1）①见解析；②见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）①由矩形得到，然后根据等边对等角和平行线得到，等量代换得到，然后结合即可求解；
②证明出，得到，然后等量代换即可证明；
（2）如图所示，过点D作，由相似得到，代数求出，利用三线合一求出，然后利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
①∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
②∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴整理得，；
【小问2详解】
如图所示，过点D作，
∵，且为的中点，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴矩形的周长．
【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线经过点和．
（1）求抛物线函数表达式；
（2）如图，设该抛物线与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．若直线与抛物线交于点E，与直线交于点F．
①求长度的最大值，并求出此时m的值；
②若点P在y轴上，则是否存在以点E，F，C，P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①时，长度最大，最大为 ②点P的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图像和性质，菱形的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①先求出直线的解析式，根据点E的坐标为，点F的坐标为，表示，计算解题即可；
②根据题意过点作轴于点，则，则，根据菱形的性质得到，求出m的值，然后得到点P的坐标即可．
【小问1详解】
解：和代入得：
，解得，
∴函数关系式为：；
【小问2详解】
①令，则，解得，，
∴点B的坐标为，点A的坐标为，
当时，，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，代入得：
，解得，
∴，
∵点E的坐标为，点F的坐标为，
∴，
∴当时，长度最大，最大为；
②解：∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∴，
过点作轴于点，则，
∴，
∵E，F，C，P为顶点的四边形是菱形，且，
∴，
即，
解得：（舍），，
点P的纵坐标为：，或，
∴点P的坐标为或．
分组
频数
频率
第一组（）
3
015
第二组（）
a
第三组（）
7
0.35
第四组（）
b
0.20